4.3.1 对数函数的概念（教学课件）数学北师大版2019必修第一册

4.3.1 对数函数的概念 第四章 对数运算与对数函数 北师大版2019必修第一册·高一 前情回顾 性质1： 性质2： 性质3： （1）对数的运算性质 （2）换底公式 学 习 目 标 1 2 3 理解对数函数的概念，以及对数函数与指数函数间的关系.(重点、难点) 会求与对数函数有关的定义域问题.(重点) 了解对数函数在生产实际中的简单应用． 读教材 阅读课本P110-P111，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“对数函数的概念”吧！ 1.什么是对数函数？ 2.什么是反函数，指数函数与对数函数的关系？ 3.对数函数的定义域需要满足什么条件？ 新课引入 从盛有1L纯酒精的容器中倒出Ｌ，然后用水填满；再倒出Ｌ，又用水填满…; 连续进行x次，容器中的纯酒精还剩 y L. 试写出x与y的关系式. y=0.75x (x≥0) 指数函数 x 是 y 的函数吗？ 若已知容器中的纯酒精还剩 y L，能否求上述操作进行了多少次？ 学习过程 01 03 02 目录 1 对数函数的概念 3 题型训练 2 反函数 新知探究 由于指数函数y=0.75x (x≥0)是定义在x≥0上、值域为(0，)的单调函数．所以对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y=0.75x (x≥0)． 由函数的定义，x是y的函数，记作 ﹒ 思考：y=0.75x (x≥0) 是指数函数，那么 x 是 y 的函数吗？ 底数推广到 抽象概括 对数函数 形如（且）的函数叫做对数函数，其中是底数，是自变量. 对数函数的特征 底数a为大于0且不等于1的常数． 自变量x在真数的位置上，且x的系数是1. logax系数是1. 牛刀小试 1.给出下列函数： ①y＝loga x2(a>0，且a≠1)； ②y＝log2x－1；③y＝2log8x； ④y＝logxa(x>0，且x≠1)；⑤y＝log5 x. 其中所有对数函数的序号是( ) 解：①真数不是自变量x，不是对数函数． ②对数式后减1，∴不是对数函数． ③log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数． ④底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数． ⑤是对数函数． ⑤ 新知探究 方法总结 从“三方面”判断一个函数是否是对数函数 新知探究 （2）两个特殊的对数函数: ①常用对数函数:以10为底的对数函数,记作 y=lg x ;  ②自然对数函数:以无理数e为底的对数函数,记作 y=ln x. （1）对数函数的性质 由定义可知，对数函数（且）具有以下基本性质： （1）定义域是（0，+∞)，值域是R. （2）图象过定点（1，0) 典例剖析 例1.（1）当时，求对数函数的函数值 （2）当时，求对数函数的函数值 解：(1)由，得; 由，得 由，得2﹒ (2)由，得 由，得 由，得﹒ 学习过程 01 03 02 目录 1 对数函数的概念 3 题型训练 2 反函数 新知探究 思考：指数函数和对数函数有什么关系？ 指数函数和对数函数刻画的是同一对变量之间的关系， 所不同的是： 在指数函数中，是自变量，是的函数，其定义域是，值域为. 在对数函数中，是自变量，是的函数，其定义域是，值域为 我们称对数函数是指数函数的反函数，同时，也称指数函数是对数函数的反函数﹒ 新知探究 对数函数表示为,且)， 指数函数表示为,且， 因此，指数函数是对数函数的反函数，对数函数是指数函数的反函数，即指数函数与对数函数互为反函数. 根据上面的思考，指数函数,且)和对数函数,且)有什么关系？ 新知探究 反函数的值域是原函数的定义域，反函数的定义域是原函数的值域， 即原函数与反函数的定义域与值域相反。 互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称， 即若函数y＝f(x)的图象上有一点(a,b)，则点(b,a)必在其反函数的图象上. 互为反函数的两个函数的单调性相同. 反函数的性质 例题剖析 例2.写出下列对数函数的反函数： （1）； （2） 解：(1)因为对数函数的底数是10，所以它的反函数是指数函数； (2)因为对数函数的底数是，所以它的反函数是指数函数 例题剖析 例3. 写出下列指数函数的反函数： 解：(1)因为指数函数的底数是5，所以它的反函数是对数函数； (2)因为指数函数的底数是，所以它的反函数是对数函数 学习过程 01 03 02 目录 1 对数函数的概念 3 题型训练 2 反函数 题型训练 题型一 对数函数的概念 练习1：下列函数是对数函数的是（ ） 且 且 解：A和C中自变量不是x,所以不是对数函数; D中底数是x,不是常数; B符合对数函数的特征,所以是对数函数. B 题型训练 题型一 对数函数的概念 练习2：若函数的反函数的图象过点(4,2),则=　　　. 解：因为的反函数的图象过点(4,2), 所以的图象过点(2,4), 所以, 所以. 4 题型训练 题型二 求对数函数解析式 练习3：已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3),则f=　　　.  解：设对数函数,且), 的图象过点 ,解得 题型训练 题型三 对数型函数求定义域 练习4：函数的定义域是 . 解：要使函数有意义，需有 解得-3＜x＜0，所以函数的定义域为（-3，0）. 题型训练 题型三 对数型函数求定义域 题型训练 题型三 对数型函数求定义域 归纳总结: 求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0； (2)根指数为偶数时，被开方数非负； (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1； (4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形. 题型训练 题型四 反函数的应用 练习6：若函数是函数，且）的反函数，其图象经过点，则（ ） A. B.C. D. 解：函数y=ax的反函数为y=logax，将点 代入得 所以 B 课堂小结 （1）对数函数 （2）反函数 指数函数是对数函数的反函数，对数函数是指数函数的反函数，即指数函数与对数函数互为反函数. 形如（且）的函数叫做对数函数，其中是底数，是自变量. 定义域是（0，+∞)，值域是R. 图象过定点（1，0) 感谢聆听! 练习5：求下列函数的定义域. (1)y=; (2)y=; 解：(1)要使函数式有意义,需解得x>1,x≠2. ∴函数y=的定义域是{x|x>1,且x≠2}. (2)要使函数式有意义,需 即解得x≥4. ∴所求函数的定义域是{x|x≥4}. $