4.3.1 对数函数的概念教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第四章 对数运算与对数函数 4.3.1 对数函数的概念 · 教学目标 1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的对应关系，初步理解对数函数的概念及意义． 2.知道对数函数与指数函数互为反函数(，且)． · 教学重难点 · 重点：理解对数函数的概念﹒ 难点：理解对数函数与指数函数互为反函数(，且)． · 教学过程 1、 新课导入 某种细胞进行分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……， 1个这样的细胞分裂x次后得到的细胞个数y如何表示？ 答案：． 如果一个细胞经过x次分裂后得到了1024个细胞，该如何求解x的值呢？ 二、新知探究 问题1：前面我们已经学习了指数函数的概念：已知正数，且，指数函数是定义在R上、值域为(0，)的单调函数．即对于每一个实数，都存在唯一确定的正数，使得．反之对于每一个正数，是否都存在唯一确定的实数与之对应呢？即能否把表示成的函数呢？ 答案：由于指数函数是定义在R上、值域为(0，)的单调函数．所以对于每一个正数，都存在唯一确定的实数，使得．由函数的定义，就是的函数，记作﹒我们把这样的函数称为以为底的对数函数． 追问：函数是否符合我们的书写习惯呢？想要写成我们习惯的方式，该如何写呢？ 答案：我们习惯上将自变量写成，函数值写成，因此，一般将对数函数写成 (，且)，其中称为底数﹒特别地，我们称以10为底的对数函数为常用对数函数，记作；称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作﹒ 问题2：能否直接由对数函数的定义得出它的一些性质呢？ 答案：由定义可知，对数函数具有以下基本性质： (1)定义域是； (2)图象过定点﹒ 问题3：想一想指数函数和对数函数有什么关系呢？ 答案：指数函数和对数函数刻画的是同一对变量，之间的关系，所不同的是：在指数函数中，是自变量，是的函数，其定义域是R；而在对数函数中，是自变量，是的函数，其定义域是(0，)﹒我们称对数函数是指数函数的反函数，同时，也称指数函数是对数函数的反函数﹒ 追问：对数函数(，且)是否是指数函数(，且)的反函数呢？ 答案：是反函数，习惯上，对数函数表示为(，且)，指数函数表示为(，且)．因此，指数函数是对数函数 的反函数，对数函数也是指数函数的反函数﹒即它们互为反函数﹒ 三、应用举例 例1 (1)已知函数是对数函数，则 ﹒ (2)已知对数函数的图象过点，①求的解析式；②解方程﹒ 解：判断一个函数是不是对数函数的依据:①形如;②底数，且;③真数为，而不是的函数﹒ (1)由对数函数的定义可得，即，解得，又，且，所以﹒ (2)①由题意设，且，由函数图象过点可得，即，所以，解得，故﹒ ②解方程，即，所以﹒ 例2 (1)当1，2，4时，求对数函数的函数值； (2)当0.1，1，10时，求对数函数的函数值﹒ 解：(1)由，得； 由，得； 由，得2﹒ (2)由，得； 由，得； 由，得﹒ 例3 写出下列对数函数的反函数：（1）；（2）﹒ 解：(1)因为对数函数的底数是10，所以它的反函数是指数函数 ； (2)因为对数函数的底数是，所以它的反函数是指数函数﹒ 例4 写出下列指数函数的反函数：（1）；（2）﹒ 解：(1)因为指数函数的底数是5，所以它的反函数是对数函数； (2)因为指数函数的底数是，所以它的反函数是对数函数﹒ 四、课堂练习 1﹒(1)计算对数函数 当0.25，0.5，1，2，4，8时的函数值； (2)计算常用对数函数 当0.00001，10000时的函数值﹒ 2﹒写出下列对数函数的反函数： （1）；（2）；（3）﹒ 3﹒写出下列指数函数的反函数： （1）；（2）；（3）﹒ 参考答案：1﹒(1)由，得； 由，得； 由，得； 由，得； 由，得； 由，得﹒ (2)由，得； 由，得4﹒ 2﹒(1)因为对数函数的底数是2﹒5，所以它的反函数是指数函数 ； (2)因为对数函数的底数是，所以它的反函数是指数函数； (3)因为对数函数的底数是，所以它的反函数是指数函数﹒ 3﹒(1)因为指数函数的底数是4，所以它的反函数是对数函数； (2)因为指数函数的底数是，所以它的反函数是对数函数； (3)因为指数函数的底数是，所以它的反函数是对数函数﹒ 五、课堂小结 1﹒对数函数的概念 (1)一般地，函数 (，且)叫作对数函数，其中称为底数； 对数函数具有以下基本性质:①定义域是；②图象过定点﹒ (2)指数函数(，且)与对数函数 (，且)互为反函数﹒两者的定义域与值域正好互换﹒ 2﹒两种特殊的对数函数 以10为底的对数函数为常用对数函数，记作； 以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作﹒ 六、布置作业 教材第113页习题4-3A 组第1-2题﹒ 学科网（北京）股份有限公司 $$