第四章 数学建模 建立函数模型解决实际问题导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦自建函数模型解决实际问题，以茶水温度随时间变化为情境导入，通过问题链引导学生确定变量关系、依据散点图选择函数类型、求解参数并检验拟合效果，衔接函数概念与散点图分析旧知，搭建从实际问题到数学建模的学习支架。 资料突出真实情境与问题驱动，通过企业利润、积雪深度等例题覆盖拟合函数与图表分析，强调建模四步骤（审题-建模-求模-还原），训练数据分析与逻辑推理能力，助力学生提升数学建模素养，落实用数学语言表达现实世界的学科要求。

第4章 数学建模--自建函数模型解决实际问题 【学习目标】 1.能自建确定性函数模型解决实际问题.(数学建模) 2.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性.(逻辑推理) 3.在实际问题中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律(数据分析)。 【重点难点】： 重点：建立函数模型解决实际问题的步骤 难点：如何选择合适函数，建立函数模型 【导问引领，新知生成】 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。经验表明，某种绿茶用85°C的水泡制，再等到茶水温度降至60°时饮用，可以产生最佳口感，那么，在25°C室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 问题1：此问题需要建立那两个量之间的关系？ 问题2：某研究人员每隔1min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/0C 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.10 由上表可以看出温度是时间的函数，通过散点图，你可以选择怎样的一个函数来刻画水温和时间的关系？ 问题3：如果问题2中你建立的是指数型函数，那么你如何确定参数k，a的值？从而得到水温和时间的函数解析式是什么？ 问题4：把问题3中得到的函数图像与实际散点图画在一个坐标系中，看拟合的是否合适？那么利用求出的函数解决此问题，需要多长时间？ 1.建立函数模型解决问题的基本过程 2.利用函数知识和函数观点解决实际问题时： 一般按以下几个步骤进行，一，审题；二，建模；三，求模；四，还原。这些步骤用框图表示如下： 【展示交流，新知应用】： 例题1 某企业为打入国际市场，决定从 A，B两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元) 项目 类别 年固定 成本 每件产品成本 每件产品 销售价 每年最多可 生产的件数 A产品 20 m 10 200 B产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交万美元的特别关税。假设生产出来的产品都能在当年销售出去。 （1）写出该厂分别投资生产 A，B两种产品的年利润与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域； （2）如何投资才可获得最大年利润? 请你作出规划。 【方法总结，新知升华】 （1）当实际应用题中没有给出函数模型而函数模型又唯一时，其解题步骤是： 第一步，认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景； 第二步，恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化； 第三步，运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；第四步，将所得函数问题的解还原成实际问题的结论. （2）解决函数应用题关键在于理解题意，这就要求： 一要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景。把数学问题生活化； 二要不断拓宽知识面，提高自己的问接生活阅历； 三要抓住题目中的关键词或关键量，特别是关于变量的相等关系，这是函数解析式的原型。 【及时训练】 某车间生产 A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资额x成正比，其关系如图甲，B产品的利润y与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图乙。(注：利润与投资额的单位为万元) (1)分别将 A，B两种产品的利润y表示为投资额x的函数关系式. (2)该车间已筹集到 10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产。问：怎样分配这10万元资金，才能使车间获得最大利润，最大利润是多少万元? 【导问引领，新知生成】： 问题1：用函数构建数学模型解决实际问题，首先应该分析出什么？ 问题2：明确问题的运动变化基本特征后，需要做什么？ 问题3：确定数学问题后，再通过 、 、 函数模型，然后依据函数模型的解说明实际问题、解决实际问题； 问题4：在构建函数模型时若没有现成的数据时，应先干什么？ 3，自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务. 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量. 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等. 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等 【展示交流，新知应用】 （1）建立拟合函数模型解决实际问题 例题3. 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，某测量队在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度 x与灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表： 年序 最大积雪深度 x/cm 灌溉面积y/公顷 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 36.6 5 26.4 49.8 6 23.4 45.0 7 13.5 29.2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8 10 19.1 36.9 (1)描点画出灌溉面积 y随最大积雪深度x变化的图象； (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象； (3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为 25 cm，则可以灌溉土地多少公顷. （2）、图表法刻画函数模型解决实际问题 例题3 “龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当它醒来后看到乌龟已经领先了，因此它用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点.则符合故事的路程S 与时间t 的图象为( ). 【方法总结，新知升华】： 建立拟合函数与预测的基本步骤 当根据题意不易建立函数模型时，应根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案。 【课堂检测】： 1. 张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象如图所示.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( ). 2. 在一次数学实验中，小军同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x -4 -2 0 2 4 6 y 1.01 1.11 1.99 10.03 81.96 729.36 在以下四个函数模型中，a，b为常数，最能反映x，y间函数关系的可能是( ). A. y=ax+b C. y=ax²+b 3. 已知一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( ). A. y=20-2x(x≤10) B. y=20-2x(x<10) C. y=20-2x(5≤x≤10） D. y=20-2x(5<x<10) 4.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的 ，要使存留的污垢不超过1％，则至少要清洗的次数是 .(lg 2≈0.3010) 5.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，又可以美容保健，因此深受人们欢迎.某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元每十千克)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表： t 50 110 250 Q 150 108 150 (1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：，，，，并说明理由. (2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本. 学科网（北京）股份有限公司 $