4.5.3 函数模型的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 4.5.3　函数模型的应用 (教师独具内容) 课程标准：收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义． 教学重点：建立函数模型刻画实际问题． 教学难点：函数模型的建立． 核心素养：通过本节内容的学习，认识函数模型的作用，提升数学建模素养和数据分析素养． 知识点　建立函数模型解决问题的基本过程 1．(拟合数据构建函数模型)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组对应数据如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 答案：D 2．(指数型函数模型的应用)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%.如果按此速度，设2025年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2025年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　) A．y＝0.95·m B．y＝(1－0.05)·m C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m 答案：A 3．(对数型函数模型的应用)某农学院研究员发现，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均相同的条件中，成熟后甜瓜的甜度y(单位：度)与昼夜温差x(单位：℃，5≤x≤35)近似满足函数模型y＝·ln (x－3)＋10.当温差为30 ℃时，成熟后甜瓜的甜度约为(参考数据：log23≈1.585)(　　) A．14.4 B．14.6 C．14.8 D．15.1 答案：C 题型一　指数型函数模型的应用 例1　某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液，经1小时培养真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y＝10eλt，其中λ为常数，t表示培养时间(单位：小时)，y表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为(　　) A．640 B．1280 C．2560 D．5120 [解析]　因为原来的真菌个数为10，由题意可得在函数y＝10eλt中，当t＝1时，y＝20，所以20＝10eλ，即eλ＝2，所以y＝10×eλt＝10×2t.当t＝8时，真菌个数为y＝10×28＝2560. [答案]　C 【感悟提升】指数型函数模型的特点及应用 (1)特点：形如y＝abx＋c(a≠0，b>0，b≠1)的函数，其特点为当a>0，b>1时，y随自变量x的增大而增大，且函数值增大的速度越来越快． (2)应用：指数型函数模型是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出的指数型函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数． 【跟踪训练】 1．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间存在函数关系y＝c·(c，m为常数)． (1)求c，m的值； (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问：至少排气多少分钟，才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？ 解：(1)由题意可得 解得故c，m的值分别为128，. (2)由(1)知y＝128×，令128×≤，即≤，解得t≥32，即至少排气32分钟，才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态． 题型二　对数型函数模型的应用 例2　有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2≈0.30，31.2≈3.74，31.4≈4.66)． (1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，候鸟的飞行速度约为多少？ (2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为多少个单位？ (3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ [解]　(1)由题意，x0＝2，x＝8100， 得v＝log3－lg 2≈1.7， 故候鸟的飞行速度约为1.7 km/min. (2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0 km/min， 可得0＝log3－lg 5， 即log3＝2lg 5＝2(1－lg 2)， 解得x≈466， 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位． (3)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟的耗氧量为x2， 由题意得 两式相减，可得1＝log3，解得＝9， 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 【感悟提升】对数型函数模型的特点及应用 (1)特点：形如y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)的函数，其特点为当a>1，m>0时，y随自变量x的增大而增大，且函数值增大的速度越来越慢． (2)应用：根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 【跟踪训练】 2．某科研单位与企业合作，为该企业研发并安装了新的清除企业产品中某杂质的设备．在清除过程中，产品中某杂质含量M(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系满足ln M＝－kt＋ln M0(M0为杂质含量的初始值，k为常数)．已知经过1 h，新设备可清除掉产品中40%的某杂质，则经过3 h，产品中某杂质的含量与下列四个值中最接近的是(　　) A．32%M0 B．28%M0 C．25%M0 D．21%M0 答案：D 解析：因为经过1 h，新设备可清除掉产品中40%的某杂质，所以ln (0.6M0)＝－k＋ln M0，即得－k＝ln 0.6，设经过3 h，产品中某杂质的含量为M，则ln M＝－3k＋ln M0＝ln 0.63＋ln M0＝ln (0.216M0)，即M＝0.216M0＝21.6%M0.故选D. 题型三　建立拟合函数模型解决实际问题 例3　18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表： 行星 1(金星) 2 (地球) 3(火星) 4 (　　) 5(木星) 6 (土星) 7(　　) 距离 0.7 1.0 1.6 5.2 10.0 他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，并计算在土星外面的行星与太阳的距离大约是多少？ [解]　由数值对应表作散点图如图． 由图知采用指数型函数作模型， 设f(x)＝abx＋c. 代入(1，0.7)，(2，1.0)，(3，1.6)， 得 (③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②， 得解得 ∴f(x)＝·2x＋. ∵f(5)＝＝5.2，f(6)＝10，符合对应表值， ∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6， ∴谷神星大约在离太阳2.8天文单位处，在土星外面的行星与太阳的距离大约是19.6天文单位． 【感悟提升】建立拟合函数与预测的基本步骤 【跟踪训练】 3．为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图记录了样本树的生长时间t(单位：年)与树高y(单位：米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常数)，生长时间与树高的关系拟合最好的是________(填序号)，估计该树生长8年后的树高为________米． 答案：②　 解析：由散点图的走势，知模型①③不合适．曲线过点，则模型②④的解析式分别为②y＝＋log2t，④y＝＋，当t＝1时，代入④中，得y＝，与散点图不符，易知拟合最好的是②，将t＝8代入②中，得y＝＋log28＝，所以估计该树生长8年后的树高为米． 1．在一次数学实验中，采集到如下一组数据： x －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则下列函数(其中a，b为待定系数)中，与x，y的函数关系最接近的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝bx C．y＝ax2＋b D．y＝ 答案：B 解析：散点图如图，由散点图可知，此函数图象不是直线，排除A；此函数图象是上升的，是增函数，排除C，D.故选B. 2．某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M与该品种水果中氢离子的浓度N有关，酿醋成功指数M与浓度N满足M＝2.8－lg N．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋的成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为(≈1.259)(　　) A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 答案：D 解析：由题意知，2.9＝2.8－lg N，整理得lg N＝－0.1，解得N＝10－0.1，又10－0.1＝≈≈0.8，故N≈0.8.故选D. 3．(多选)某科研团队对某一生物生长规律进行研究，开始在某水域投放一定面积的该生物，已知该生物覆盖面积y(单位：平方米)与时间t(单位：月)之间的函数关系式是y＝at－1(a>0，且a≠1)，它的图象如图所示，下列命题中正确的是(　　) A．开始在水域中投放的该生物的面积是0.5平方米 B．第8个月该生物的覆盖面积超过60平方米 C．该生物每月增加的面积都相等 D．若该生物面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2>t1＋t3 答案：ABD 解析：该生物覆盖面积y(单位：平方米)与时间t(单位：月)之间的函数关系式是y＝at－1(a>0，且a≠1)，函数的图象经过点(2，2)，所以2＝a2－1，解得a＝2.当t＝0时，y＝，故A正确；第8个月时，y＝28－1＝27＝128>60，故B正确；当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月增加的面积不相等，故C错误；根据函数的解析式，得2t1－1＝10，解得t1＝log210＋1，同理t2＝log220＋1，t3＝log230＋1，所以2t2＝2log220＋2＝log2400＋2>t1＋t3＝log2300＋2，所以2t2>t1＋t3，故D正确．故选ABD. 4．工厂生产某种产品的月产量y(单位：万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件． 答案：1.75 解析：由题意知解得所以y＝－2×0.5x＋2.将x＝3代入，得y＝1.75. 5．生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断．已知土壤中某药品的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝alog2(a≠0)，其中a是残留系数，则大约经过________年后，土壤中该药品的残留量是2年后残留量的.(精确到0.1，参考数据：≈1.41) 答案：7.5 解析：当t＝2时，y＝alog2＝2a，由alog2＝a，得t＝6－1≈7.5. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 分段函数、指数衰减型函数模型的应用——图象识别 拟合数据构建函数模型 指数增长型函数模型的应用——求解析式问题 对数型函数模型的应用——温度变化问题 指数衰减型函数模型的应用——糖块溶解问题 对数型函数模型的应用——物理学中的应用 指数衰减型函数模型的应用——求自变量的值 对数型函数模型的应用——航天问题 拟合数据构建函数模型 对数型函数模型的应用——化学中的应用 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 二次函数、指数增长型函数模型的应用 指数增长型函数模型的应用——求函数值 指数型函数模型的应用 对数型函数模型的应用——生物学中的应用 指数衰减型函数模型的应用——二氧化碳浓度问题 指数衰减型函数模型的应用——平面几何问题 对数型函数、二次函数模型的应用——安全距离问题 对数型函数模型的应用——最值问题、不等式问题 建立拟合函数模型解决实际问题 一、单项选择题 1．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t(单位：h)变化的图象是(　　) 答案：B 解析：在2 h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C.故选B. 2．某班研究小组的同学为了研究活性炭对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性炭污水净化装置．现污水中该种污染物含量为W0(单位：mg/L)，测得污水通过长度为l(单位：m)的净化装置后污染物的含量W如下表： l 0 1 2 3 W W0 0.5W0 0.25W0 0.125W0 研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型，则与表格中数据吻合的函数模型是(　　) A．W＝W0＋0.5l B．W＝W0·log0.5(l＋1) C．W＝0.5W0l D．W＝W0·0.5l 答案：D 解析：由表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为[0，3]；第二，在定义域内单调递减且递减速度越来越慢；第三，函数图象过点(0，W0)．函数W＝W0＋0.5l单调递增，故A不符合题意；函数W＝0.5W0l和W＝W0·log0.5(l＋1)的图象不过点(0，W0)，不符合条件，故B，C不符合题意；函数W＝W0·0.5l满足上述条件，故D符合题意．故选D. 3．半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用f(t)表示从t＝0开始，晶体管数量随时间t变化的函数，f(0)＝1000，若t是以年为单位，则f(t)的解析式为(　　) A．f(t)＝1000＋t B．f(t)＝1000×2t C．f(t)＝1000×2 D．f(t)＝1000＋2t 答案：C 解析：晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍，因为时间t以年为单位，以及f(0)＝1000，所以f(t)＝1000×2.故选C. 4．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：T＝－12ln (T为时间，单位为min，w0为特殊环境温度，w1为该物质在特殊环境下的初始温度，w为该物质在特殊环境下冷却后的温度)，假设一开始该物质的初始温度为100 ℃，特殊环境温度是20 ℃，则经过12 min，该物质的温度最接近(参考数据：e≈2.72)(　　) A．48 ℃ B．50 ℃ C．52 ℃ D．54 ℃ 答案：B 解析：由题设知，w1＝100，w0＝20，T＝12，代入T＝－12ln ，得12＝－12ln ，解得w≈49.4.故选B. 5．经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则k＝(　　) A. B. C．ln 2 D．ln 3 答案：A 解析：由题意，当t＝0时，S＝a＝7，当t＝5时，S＝7e－5k＝3.5，则e－5k＝，则－5k＝ln ＝－ln 2，即k＝.故选A. 6．2020年12月8日，中尼两国联合对外宣布，经过两国团队的扎实工作，珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米．已知大气压强p(单位：Pa)随高度h(单位：m)的变化满足关系式ln p0－ln p＝kh，p0是海平面大气压强，k＝0.000126 m－1，则珠穆朗玛峰峰顶的大气压强约是海平面大气压强的(0.000126×8848.86≈1.1)(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由ln p0－ln p＝kh可得＝e－kh，设珠穆朗玛峰峰顶的大气压强为p1，则＝e－0.000126×8848.86≈. 7．某研究机构通过统计分析发现，教师的工作效率E与工作年数r(r>0)、劳累程度T(0<T<1)有关，并建立了数学模型E＝10－10T·2－0.14r，已知李老师工作了20年，根据上述公式，与工作10年时相比，如果他的工作效率不变，则他现在的劳累程度是工作10年时劳累程度的(　　) A．2－2.8倍 B．21.4倍 C．22.8倍 D．25.6倍 答案：B 解析：设李老师现在的劳累程度是T1，工作10年时的劳累程度是T2，依题意，10－10T1·2－0.14×20＝10－10T2·2－0.14×10，所以＝21.4.故选B. 8．1903年，科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基提出了单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v(单位：km/s)满足公式：v＝v0ln ，其中m1，m2分别为火箭结构质量和推进剂的质量，v0是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8 km/s，则火箭发动机的喷气速度约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 4≈1.4)(　　) A．10 km/s B．20 km/s C. km/s D．40 km/s 答案：B 解析：由所给信息，可得8＝v0ln ，m1＝2m2，则8＝v0ln ＝v0(ln 3－ln 2)≈0.4v0，故v0≈20.故选B. 二、多项选择题 9．某数学小组在进行“数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系”时，根据所收集的数据，得到时间x(单位：分钟)与水温y(单位：℃)的散点图(如图)，则下列可能作为该散点图对应的函数模型的是(　　) A．y＝logax(a>1) B．y＝kax＋b(k>0，0<a<1) C．y＝kx＋b(k>0) D．y＝＋b(k>0) 答案：BD 解析：y＝logax(a>1)，y＝kx＋b(k>0)单调递增，故A，C不可能作为散点图对应的函数模型；y＝kax＋b(k>0，0<a<1)，y＝＋b(k>0)单调递减，B，D可能作为散点图对应的函数模型．故选BD. 10．化学中会用pH值来判断溶液的酸碱度，pH值是溶液中氢离子浓度的负常用对数值，若设某溶液所含氢离子浓度为x(mol/L)，可得pH＝－lg x，则下列说法正确的是(参考数据：lg 5≈0.7)(　　) A．若氢离子浓度扩大为原来的10倍，则pH值降低1 B．若氢离子浓度扩大为原来的10倍，则pH值升高1 C．若氢离子浓度扩大为原来的4倍，则pH值大约降低0.6 D．若氢离子浓度扩大为原来的4倍，则pH值大约降低0.7 答案：AC 解析：－lg (10x)＝－1－lg x，氢离子浓度扩大10倍，则pH值降低1，所以A正确，B错误；－lg (4x)＝－lg 4－lg x＝－2lg 2－lg x＝－2(lg 10－lg 5)－lg x≈－2×(1－0.7)－lg x＝－0.6－lg x，所以C正确，D错误．故选AC. 11．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(单位：万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a2·3x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．下列结论正确的是(　　) A．甲工厂今年5月份的利润为86万元 B．乙工厂今年3月份的利润为18万元 C．今年4月份，甲工厂的利润大于乙工厂的利润 D．从6月开始，甲工厂的利润小于乙工厂的利润 答案：ACD 解析：依题意，由有解得∴f(x)＝4x2－4x＋6.由有解得∴g(x)＝×3x＋5＝3x－1＋5.∴甲工厂今年5月份的利润为f(5)＝86万元，A正确；乙工厂今年3月份的利润为g(3)＝14万元，B错误；作函数图象如图，从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润情况：当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；当1<x<5时，有f(x)>g(x)；当5<x≤12时，有f(x)<g(x)．∴今年4月份，甲工厂的利润大于乙工厂的利润，C正确；从6月开始，甲工厂的利润小于乙工厂的利润，D正确．故选ACD. 三、填空题 12．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林________亩． 答案：17280 解析：设第x年造林y亩，则y＝10000(1＋20%)x－1，所以当x＝4时，y＝10000×1.23＝17280(亩)． 13．五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第x(1≤x≤5，x∈N)天进店消费的人数为y，且y与([t]表示不大于t的最大整数)成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为________． 答案：18 解析：由题意可设比例系数为k，∴y＝k(k≠0)，∵15＝k，∴k＝3，∴当x＝2时，y＝3×＝3×6＝18. 14．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足ln y＝－ln t－x2＋a，其中k，a为非零常数．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处________米的位置，信息素浓度为. 答案：4 解析：由题意可知，当t＝1，x＝2时，y＝m，则ln m＝－4k＋a　①，当y＝，t＝4时，ln ＝－ln 4－x2＋a，即ln m－ln 2＝－ln 2－x2＋a，则ln m＝－x2＋a　②，联立①②，解得x＝4.故释放信息素4秒后，距释放处4米的位置，信息素浓度为. 15．按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于0.15%，经测定，刚下课时，空气中含有0.18%的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝0.03＋λe (λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t(单位：分钟)的最小整数值为(参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)(　　) A．1 B．3 C．5 D．10 答案：B 解析：当t＝0时，y＝0.03＋λ＝0.18，解得λ＝0.15，所以y＝0.03＋0.15e.令y＝0.03＋0.15e≤0.15，即e≤，即－≤ln ＝2ln 2－ln 5≈1.386－1.609＝－0.223，所以t≥2.23，故所需时间t的最小整数值为3.故选B. 16．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB(长度为107单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB＝y)．令P与Q同时分别从A，C出发，定义x为y的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x与y的对应关系就是y＝107(e＝2.71828…)，当点P从线段AB靠近A的三等分点移动到中点时，经过的时间为(　　) A．ln 2 B．ln 3 C．ln D．ln 答案：D 解析：由题意，点P的初始速度107即为点Q的速度．当P在靠近A的三等分点时，×107＝107，解得x＝107 ln ，当P在中点时，×107＝107，解得x＝107ln 2，所以经过的时间为÷107＝ln .故选D. 17．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为s，驾驶员反应时间内汽车所行距离为s1，刹车距离为s2，则s＝s1＋s2.而s1(单位：m)与反应时间t(单位：s)有关，s1＝10ln (t＋1)，s2(单位：m)与车速v(单位：km/h)有关，s2＝bv2.某人刹车反应时间为(－1) s，当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20 m，则b＝________；若在限速100 km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为________ m(精确到1)． 答案：　61 解析：∵刹车反应时间为(－1) s，∴s1＝10ln (－1＋1)＝10ln ＝5.当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20 m，则s2＝b·602＝20，解得b＝，∴s2＝v2.若v＝100，则s2＝×1002≈56，则该汽车的安全距离s＝s1＋s2≈5＋56＝61(m)． 18．某化工厂一天中污水污染指数f(x)与时刻x(单位：时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1)． (1)若a＝，求一天中哪个时刻该厂的污水污染指数最低； (2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？ 解：(1)若a＝，则f(x)＝＋2≥2. 当f(x)＝2时，log25(x＋1)－＝0， 得x＋1＝25＝5，即x＝4， 所以一天中凌晨4点该厂的污水污染指数最低． (2)设t＝log25(x＋1)， 则当0≤x≤24时，0≤t≤1. 设g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0，1]， 则g(t)＝ 显然g(t)在[0，a]上是减函数，在(a，1]上是增函数， 则f(x)max＝max{g(0)，g(1)}． 因为g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2， 所以解得a≤. 又a∈(0，1)， 故调节参数a应控制在内． 19．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%. (1)设奖励方案的函数模型为f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的条件； (2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型： ①f(x)＝＋2；②f(x)＝4lg x－2. 试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求． 解：(1)由题意，知公司对奖励方案的基本要求是： 当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数； ②f(x)≥1恒成立；③f(x)≤恒成立． (2)①对于函数模型f(x)＝＋2： 当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数， 且f(x)≥f(10)＝≥1，即f(x)≥1恒成立， 而若使函数f(x)＝＋2≤在[10，1000]上恒成立， 则29x≥300在[10，1000]上恒成立． 又当x＝10时，29x＝29×10＝290<300， 所以f(x)≤在[10，1000]上不恒成立． 故该函数模型不符合公司的要求． ②对于函数模型f(x)＝4lg x－2： 当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数， 且f(x)≥f(10)＝4lg 10－2＝2>1， 所以f(x)≥1在[10，1000]上恒成立． 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝4lg x－2和y＝的图象，如图所示． 由图象可知，当x∈[10，1000]时，4lg x－2≤恒成立． 故该函数模型符合公司的要求． 18 学科网（北京）股份有限公司 $