湖北省随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高三上学期7月开学考数学试卷

《2025年秋高三数学综合测试训练卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C C B D C D A BC BCD AD 12．120 13．③ 14． 11．AD 因为为奇函数，所以，所以函数图象关于点成中心对称，且①，因为为偶函数，故②，且函数图象关于直线轴对称，由①②可得，，则，所以的一个周期为4.在①中令有，因为时，，所以，，故， 所以，，故A正确； 由②可得，，则，即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数，所以是上的减函数， 因为8是的周期，所以是上的减函数，故B错误； 因为函数图象关于轴轴对称，且关于点成中心对称，周期为4， 所以函数图象关于直线轴对称，且关于点成中心对称，故C错误； 函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数，由题意得与的图象如图： 当时，， 当时，，当时，， 结合图象可知，函数在上存在1个零点， 当时，，当时，， 由此可得与的图象有5个交点，所以有5个零点，故D正确.故选：AD. 15．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关 (2)分布列见解析，， （1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下. 项目 “非体育选” “体育选” 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 .因为，所以没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关. （2）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取1名“体育迷”的概率为.由题意知， ，， ，， 从而X的分布列如下： X 0 1 2 3 P ，. 16．(1)分布列见解析， (2) （1）根据题意.；；. 1 2 3 所以的分布列为 故随机变量的期望.所以的方差. （2）设事件“选手甲抽到道会做的题目，”，事件“选手甲通过预赛”， 则，，，两两互斥，. 由（1）知，.又.所以. 同理，.. 由全概率公式得，选手甲通过预赛的概率. 17．(1)证明见解析 (2) （1）证明：设，连接，因为四边形为平行四边形，所以为中点，又因为为中点，所以，因为平面，平面，所以平面，得证． （2）取中点，连接、，因为底面，平面，所以，因为是正三角形，是的中点，所以，又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，又因为，所以， 又，，平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，，所以直线与平面所成的角的正弦值为． 18．(1) (2)证明见解析 (3) （1）设，，，得到； 又因为，所以，，．即椭圆方程为． （2）设，，根据对称性，有，因为，都在椭圆上，所以，，二式相减得，，所以为定值． （3）由题意得，直线的倾斜角不为，由对称性得四边形为平行四边形，， ，设直线的方程为，代入，得．显然，，．所以 ，设，所以，．所以．当且仅当即时等号成立，所以．所以平行四边形面积的最大值为．  19．(1)极小值为，无极大值(2)当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增(3)证明见解析 （1），， 令，解得，当时，，，得，单调递减， 当时，，，得，单调递增， 因此，是的极小值点，极小值为，综上，极小值为，无极大值. （2）定义域为，， 当时，在上恒成立，在上单调递增，当时，令，解得，当时，，得，单调递减，当时，，得，单调递增，综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，定义域为，， ，即，，，令，定义域为，，其中，恒成立， 假设解得，当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 因此的最小值为， 由可知，， 所以，即的最小值为0， 综上，，得证. 答案第1页，共2页 答案第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曾都一中2025年高三数学7月开学考测试 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．下列函数在定义域内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（    ）种． A． B． C． D． 6．设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 7．已知，则x､y､z的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和、，若，则总体方差 B．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 C．设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则的值域为 B．若时，的最大值为 C．函数的最小值为 D．设为正实数，则的最小值为 11．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（    ） A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点 三、填空题 12．在的展开式中，的系数为 ． 13．有下列命题： ①所有的素数都是奇数；②是无理数，是无理数； ③是无理数，是无理数；④至少有一个整数，是4的倍数. 其中，真命题有 .（填序号） 14．用符号表示不超过的最大整数（称为的整数部分），如，已知函数 有两个不同的零点，若，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．某电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图. 将日均收看该体育节目时间不低于40分的观众称为“体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关. 项目 非“体育迷” 体育迷 合计 男 女 10 55 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样的方法，每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望和方差. 附：，其中. 0.05 0.010 3.841 6.635 16．以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题. (1)设表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量的分布列和方差； (2)假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率. 17．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 18．已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 19．已知函数，. (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若且时，求证. 第2页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $