3.2.2第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用 导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 学案 学习目标 1．理解判断直线与双曲线位置关系的方法. 2.会求解双曲线有关弦长问题.3.会解决直线与双曲线的综合问题．　　 情境导入 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的关键，这节课，我们将在已有知识的基础上进一步掌握双曲线的标准方程及几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题． 新知探究 知识点一　直线与双曲线的位置关系 问题引导 　1.类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线有哪几种位置关系？ 提示：直线与双曲线的位置有三种，分别为相交、相切、相离． 2．画出一条双曲线，观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位置关系？ 提示：当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但并非相切关系，所以不能用公共点个数来区分． 知识点总结 直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，　① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，　② 将①代入②， 得Ax2＋Bx＋C＝0. a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． b．当A≠0时． ①Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； ②Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； ③Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离． (1)相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交． (2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行． 典例探究 例1已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 解：由消去y，整理得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.　① (1)直线l与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根． ∴ 解得－<k<，且k≠±1， ∴实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)． (2)直线l与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解． 当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一解； 当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0， 解得k＝±， ∴k的值为±1或±. (3)直线l与双曲线没有公共点，则①式方程无解． ∴ 解得k<－或k>， ∴实数k的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)． 1．直线与双曲线位置关系的判断方法： (1)方程思想的应用 判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去y(或x)，则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；二次项系数不为0时，若Δ>0，则直线与双曲线有两个公共点，若Δ＝0，只有一个公共点，若Δ<0，无公共点． (2)数形结合思想的应用 ①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系． ②直线斜率一定时，通过平移直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系． 2．求直线与双曲线相交弦长，一般将两方程联立，消元化为一元二次方程，结合根与系数的关系求解． 变式训练 1．已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k. 解：①当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意． ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程， 得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 当4－k2＝0时，k＝±2， l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点； 当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝. 综上，k＝或k＝±2或k不存在． 知识点二　双曲线的弦长及中点弦问题 问题引导 　3.若过双曲线焦点的弦与双曲线同支相交，问弦长有没有最小值？ 提示：有．过焦点且与焦点轴垂直的弦长最短，为. 4．能否像椭圆一样，用“点差法”推导中点弦公式？ 提示：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，点M(x0，y0)为线段AB的中点，那么 两式相减可得·＝， 即kAB·＝. 知识点总结 1．弦长公式：若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝． 2．已知弦AB的中点为P(x0，y0)，若双曲线方程为－＝1，则直线AB的斜率为k＝·；若双曲线方程为－＝1，则直线AB的斜率为k＝·． 典例探究 例2　(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　) A．4x－3y＋1＝0　　　 B．2x－y－1＝0 C．3x－4y＋6＝0 D．x－y＋1＝0 解析：A　设弦的两端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则2x－y＝2，2x－y＝2， 两式相减，得2(x1－x2)·(x1＋x2)－(y1－y2)·(y1＋y2)＝0. 又x1＋x2＝4，y1＋y2＝6， ∴8(x1－x2)－6(y1－y2)＝0⇒kPQ＝， 因此直线PQ的方程为y－3＝(x－2)， 即4x－3y＋1＝0，经验证，直线4x－3y＋1＝0与双曲线相交． 因此符合题意的直线方程为4x－3y＋1＝0. (2)斜率为2的直线l与双曲线－＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为______． 解析：设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝2x＋m代入双曲线的方程2x2－3y2－6＝0， 得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0， 由Δ>0得m<－或m>. 故x1＋x2＝－m，　① x1x2＝.　② 由已知，得|AB|2＝(1＋4)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16.　③ 把①②代入③，解得m＝±，满足题意． ∴直线l的方程为y＝2x±. 答案：y＝2x± 双曲线中有关弦长的问题，解决方法与椭圆中的类似，解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围． 变式训练 2．已知双曲线的方程为x2－＝1. 试问：是否存在被点B(1，1)平分的弦．如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 解：法一：设被点B(1，1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－＝1，整理得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0， ∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0， 解得k<且k≠±.设弦的两端点为 M(x1，y1)， N(x2，y2)，则x1＋x2＝. ∵B(1，1)是弦的中点，∴＝1， ∴k＝2>， ∴不存在被点B(1，1)所平分的弦． 法二：设存在被点B平分的弦MN， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 且 ①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴kMN＝＝2， ∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)． 由消去y，整理得2x2－4x＋3＝0， Δ＝－8<0， 这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B平分的弦不存在． 思维提升 　直线与双曲线的综合问题 例3　已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为坐标原点)，求实数k的取值范围． 解：(1)设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)． 由已知得a＝，c＝2，所以b＝1. 故所求双曲线的方程为－y2＝1. (2)将y＝kx＋代入－y2＝1，可得(1－3k2)x2－6kx－9＝0， 由题意知 解得k2≠且k2<1.　① 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝. 由·>2，得x1x2＋y1y2>2. 而x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋) ＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2 ＝(k2＋1)×＋k·＋2 ＝. 所以>2， 解得<k2<3.　② 由①②得－1<k<－或<k<1， 故实数k的取值范围为(－1，－)∪(，1)． 解决直线与双曲线的综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线的位置关系进行求解． 变式训练 3．设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1，2)．求： (1)直线AB的方程； (2)△OAB的面积(O为坐标原点)． 解：(1)显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k. 由消去y，整理得 (2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则1＝＝(2－k2≠0)， 解得k＝1. 当k＝1时，满足Δ>0， ∴直线AB的方程为y＝x＋1. (2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3， ∴|AB|＝·＝×＝4. 又点O到直线AB的距离d＝＝， ∴S△AOB＝|AB|·d ＝×4×＝2. 课堂小结 1．知识网络 2．特别提醒 (1)解决与双曲线的焦点弦有关的问题及弦长问题的方法类似椭圆，处理双曲线性质的综合问题体现了数形结合的思想． (2)直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用判别式Δ来判断直线与双曲线的位置关系． 课堂练习 1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．1或2 D．0 解析：A　由题知直线与双曲线的渐近线平行，故选A． 2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点．若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　　) A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9 C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25 解析：B　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，与y＝x联立，得x2＝a2，∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3. 3．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　) A．(－2，2)　　　　　 B．[－2，2) C．(－2，2] D．[－2，2] 解析：A　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16，得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0，解得－2<k<2. 4．已知A，B是双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝________． 解析：由题意可得A(－a，0)，B(a，0)， 设P(m，n)(m>0，n>0)， 可得－＝1，即＝， 又k1＝，k2＝， 所以k1k2＝·＝＝， 所以k1k2为定值． 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 学案 学习目标 1．理解判断直线与双曲线位置关系的方法. 2.会求解双曲线有关弦长问题.3.会解决直线与双曲线的综合问题．　　 情境导入 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的关键，这节课，我们将在已有知识的基础上进一步掌握双曲线的标准方程及几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题． 新知探究 知识点一　直线与双曲线的位置关系 问题引导 1.类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线有哪几种位置关系？ 2．画出一条双曲线，观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位置关系？ 知识点总结 直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，　① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，　② 将①代入②， 得Ax2＋Bx＋C＝0. a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． b．当A≠0时． ①Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； ②Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； ③Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离． (1)相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交． (2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行． 典例探究 例1已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 1．直线与双曲线位置关系的判断方法： (1)方程思想的应用 判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去y(或x)，则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；二次项系数不为0时，若Δ>0，则直线与双曲线有两个公共点，若Δ＝0，只有一个公共点，若Δ<0，无公共点． (2)数形结合思想的应用 ①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系． ②直线斜率一定时，通过平移直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系． 2．求直线与双曲线相交弦长，一般将两方程联立，消元化为一元二次方程，结合根与系数的关系求解． 变式训练 1．已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k. 知识点二　双曲线的弦长及中点弦问题 问题引导 3.若过双曲线焦点的弦与双曲线同支相交，问弦长有没有最小值？ 4．能否像椭圆一样，用“点差法”推导中点弦公式？ 知识点总结 1．弦长公式：若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝． 2．已知弦AB的中点为P(x0，y0)，若双曲线方程为－＝1，则直线AB的斜率为k＝·；若双曲线方程为－＝1，则直线AB的斜率为k＝·． 典例探究 例2　(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　) A．4x－3y＋1＝0　　　 B．2x－y－1＝0 C．3x－4y＋6＝0 D．x－y＋1＝0 (2)斜率为2的直线l与双曲线－＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为______． 双曲线中有关弦长的问题，解决方法与椭圆中的类似，解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围． 变式训练 2．已知双曲线的方程为x2－＝1. 试问：是否存在被点B(1，1)平分的弦．如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 思维提升 　直线与双曲线的综合问题 例3　已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为坐标原点)，求实数k的取值范围． 解决直线与双曲线的综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线的位置关系进行求解． 变式训练 3．设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1，2)．求： (1)直线AB的方程； (2)△OAB的面积(O为坐标原点)． 课堂小结 1．知识网络 2．特别提醒 (1)解决与双曲线的焦点弦有关的问题及弦长问题的方法类似椭圆，处理双曲线性质的综合问题体现了数形结合的思想． (2)直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用判别式Δ来判断直线与双曲线的位置关系． 课堂练习 1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．1或2 D．0 2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点．若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　　) A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9 C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25 3．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　) A．(－2，2)　　　　　 B．[－2，2) C．(－2，2] D．[－2，2] 4．已知A，B是双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $$