精品解析：吉林省长春市南关区2025一2026学年上学期八年级期中质量调研数学试题

2025—2026学年度上学期八年级期中质量调研题 数 学 本试卷包括三道大题、共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时、考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 25的算术平方根是（ ） A. B. C. 5 D. 10 2. 的立方根是（ ） A. B. C. 3 D. 6 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 带根号的数都是无理数 B. 圆周率是有理数 C. 无理数无法用数轴上的点表示 D. 无理数是无限不循环小数 6. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 7. 如图，已知，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 16的平方根是_____． 10. 计算：__________． 11. 因式分解：______． 12. 把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________． 13. 若，则x的值为__________． 14. 如图，在，于点D，于点E，与相交于点F，且．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则的面积为12． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“＜”号连接起来： ，0，，3，，，． 19. 已知某正数的两个平方根分别为和． （1）求a的值． （2）求这个正数． 20. 已知整式，，m为任意有理数． （1）的值可能为负数吗？通过计算说明理由． （2）当m是整数时，的值一定是偶数吗？通过计算说明理由． 21. 如图，在和中，，，，且点B、E、C、F在同一条直线上． （1）求证：． （2）求证：． 22. 图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： （1）用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为 ． （2）如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 23. 【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 24. 如图，在中，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作于点E． （1）求证：． （2）用圆规和无刻度的直尺作的平分线与的延长线相交于点F，连接并延长与的延长线相交于点P．（保留作图痕迹） ①求证：． ②若，则的大小为 度．（用含α的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期八年级期中质量调研题 数 学 本试卷包括三道大题、共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时、考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 25的算术平方根是（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，先明确算术平方根的定义，再根据定义计算25的算术平方根，最后判断各选项的正确性即可． 【详解】解：算术平方根一定是非负的，即， ∴25的算术平方根为5，即． 故选：C． 2. 的立方根是（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义，逐一分析每个选项选择正确的选项即可． 【详解】解：A项：，符合题意； B项：，，不符合题意； C项：，不符合题意； D项：，不符合题意； 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方．根据相关运算的法则逐一运算判断即可． 【详解】解：A、，该选项运算错误，不符合题意； B、，该选项运算错误，不符合题意； C、，该选项运算正确，符合题意； D、，该选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式、单项式乘多项式、平方差公式及完全平方公式．根据每个选项用到对应的运算法则并逐一分析选择即可． 【详解】解：A项：，不符合题意； B项：，符合题意； C项：，不符合题意； D项：，不符合题意． 故选：B． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 带根号的数都是无理数 B. 圆周率是有理数 C. 无理数无法用数轴上的点表示 D. 无理数是无限不循环小数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判定、无理数的定义，有理数的定义及数轴与实数的关系，根据无理数、有理数的定义以及数轴与实数的关系，对每个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A项：无理数是无限不循环小数，而带根号的数不一定都是无理数，如，2是有理数，所以带根号的数都是无理数这一说法错误，该选项中命题不是真命题，此选项不符合题意； B项：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，圆周率是无限不循环小数，所以圆周率是无理数，不是有理数，该选项中命题不是真命题，此选项不符合题意； C项：数轴上的点与实数一一对应，实数包括有理数和无理数，所以无理数可以用数轴上的点表示，该选项中命题不是真命题，此选项不符合题意； D项：无理数的定义就是无限不循环小数，所以无理数是无限不循环小数这一说法正确，该选项中命题真命题，此选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，利用判定三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：∵点O为、的中点， ∴ ∵， ∴； ∴； ∴依据的数学基本事实是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选B． 7. 如图，已知，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理及周角的定义应用，根据已知条件得出并利用三角形内角和定理求得其度数，再根据周角为求得的大小． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 根据周角的定义，， 故选：C． 8. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据已知等式可得，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 16的平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，若一个数的平方等于 ，则就是 的平方根，据此求解即可． 【详解】解：， 的平方根是． 10. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式除以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法的步骤及平方差公式的结构特征是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________． 【答案】如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等． 【解析】 【分析】先找出该命题的条件与结论，再将条件放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设为两个角相等，结论为这两个角的余角相等，因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等． 13. 若，则x的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的运算法则及一元一次方程的求解，先根据同底数幂的运算法则对进行变形，然后提取公因式化简方程，最后求解方程得到x的值． 【详解】解：由题意知，， 将代入原方程，可得：， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，解得． 故答案为：2． 14. 如图，在，于点D，于点E，与相交于点F，且．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则的面积为12． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余等知识．根据高的定义得到，根据同角的余角相等即可得到，故①正确；根据“”证明，故②正确；根据得到，而不一定等于，故③不正确；根据，得到，进而求出，即可求出，故④正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴，故②正确； ∵， ∴，而不一定等于，故③不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用多项式除以单项式的计算规则进行计算即可得出答案. 【详解】解： . 【点睛】本题考查整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式的计算规则是解题的关键. 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，将前一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加即可． 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先利用平方差公式和单项式乘多项式法则对原式进行化简，再将给定的a值代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 18. 将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“＜”号连接起来： ，0，，3，，，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较，先对无理数进行估算，再根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，以及两个负数比较大小，绝对值大的反而小的原则，将这些数按从小到大的顺序排列即可． 【详解】解：：因为，根据算术平方根的性质，可得； ：因为，同理可得； ：因为，同理可得； 对于负数和，，， ∵，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以； 根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数的原则，以及前面估算和比较的结果可得：． 19. 已知某正数的两个平方根分别为和． （1）求a的值． （2）求这个正数． 【答案】（1） （2）这个正数是169 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，相反数的性质及求一个数的平方． （1）先根据正数的两个平方根互为相反数的性质列出关于a的方程，求解得到a的值； （2）将a的值代入其中一个平方根表达式，求出平方根后平方得到这个正数即可． 【小问1详解】 解：， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵， ∴这个数是169． 20. 已知整式，，m为任意有理数． （1）的值可能为负数吗？通过计算说明理由． （2）当m是整数时，的值一定是偶数吗？通过计算说明理由． 【答案】（1）的值不可能为负数， 理由：． ， ． 的值不可能为负数． （2）的值一定是偶数， 理由: ． m是整数， 一定是偶数． 的值一定是偶数． 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，平方的非负性，偶数的概念等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）将，代入计算即可； （2）将，代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在和中，，，，且点B、E、C、F在同一条直线上． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． （2） 证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线的性质． （1）根据已知条件及线段的等量关系得出，再利用“”证明，进而求得； （2）通过得出，利用平行线的性质同位角相等得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： （1）用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为 ． （2）如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 【答案】（1） （2）①；②图②中空白部分图形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，解题的关键是求出的长． （1）观察图形将图①中的大正方形拆分成不同的小正方形和长方形，得出表示的面积式子，再通过图①中的大长方形的长与宽表示出面积的式子，此时两个式子相等； （2）①即为大长方形的面积，然后观察出大长方形的长和宽，根据面积相等得到因式分解的结果； ②根据题中条件得出，的值，通过完全平方公式变形求出最终面积． 【小问1详解】 解：由题意知，将图①中的大长方形拆分成不同的小正方形和长方形，此时表示的面积为，已知图①大长方形的长为，宽为，则面积为， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①由图②可知，， 故答案为：． ②由题意知，阴影面积表示为， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴图②中空白部分图形的面积为． 23. 【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【答案】尝试探究：；问题解决：方法①；方法②；比较分析用②的形式求的近似值的精确度更高，理由见解析 【解析】 【分析】尝试探究：根据例题方法解答即可； 问题解决：根据例题方法解答即可； 比较分析：求出两个近似值的平方，跟原数比较即可判断求解； 本题考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：尝试探究： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以； 问题解决： 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中； 用①的形式求的近似值： 因为， 所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 用②的形式求的近似值： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 比较分析： 用②的形式求的近似值的精确度更高，理由如下： ∵，， ∴用②的形式求的近似值的精确度更高． 24. 如图，在中，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作于点E． （1）求证：． （2）用圆规和无刻度的直尺作的平分线与的延长线相交于点F，连接并延长与的延长线相交于点P．（保留作图痕迹） ①求证：． ②若，则的大小为 度．（用含α的代数式表示） 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 解：如图所示为所求： ①证明：∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． ② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图-角平分线，角平分线定义及等腰三角形的性质． （1）根据已知条件，利用“”证明即可； （2）利用画角平分线的方法将题中所要求的角平分线及其他辅助线作出即可；①通过角平分线定义得出，再利用“”证明，得出，通过线段间的等量关系证明出最终结论；②根据题意得到，由于得到，进而得出，此时为等腰三角形，利用三角形内角和定理得到的表达式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $