第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

湘教版高中数学必修第一册第二章《一元二次函数、方程与不等式》 单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 2．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知正数、满足，求的最小值是（    ） A． B．9 C． D．4 6．已知正数 满足 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 8．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10.设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ） A．xy的最大值是 B．＋的最小值为9 C．4x2＋y2最小值为 D．＋最大值为2 11．已知函数，且的解集为，则（    ） A．函数图象的对称轴为直线 B．且 C．若，则不等式的解集为 D．若，，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 13.已知，若不等式恒成立，则的最大值为________． 14．若不等式的解集是则不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 16．（15分）（1）已知，且，求证，． （2）若，求证：； 17．（15分）已知函数. (1)对任意，函数恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集. 18.（17分）已知关于的不等式的解集为或. （1）求、的值； （2）当，且满足时，有恒成立，求实数范围. 19.（17分）已知，，求的最小值. 解法如下：， 当且仅当，即，时取到等号，则的最小值为. 应用上述解法，求解下列问题： （1）已知，，求的最小值； （2）已知，求的最小值； （3）已知正数，满足.求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学必修第一册第二章《一元二次函数、方程与不等式》 单元测试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、单项选操题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1 1.若x>1,则函数y=x+ +x一+1的最小值是() A.√5+1 B.4 c.5+1 D.√5-1 2 【答案】B 【分析】将函数解析式变形，利用基本不等式可求答案， 【详解】y=x-1+1 +23c-02=4,当且仅当=2时玫等号 故选：B 2.下列结论正确的是() A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>6,则1<} C.若a>b,则ab>b2D.若d>bl,则ad>b a b 【答案】D 【分析】通过反例、作差法和不等式的性质依次判断各个选项即可。 【详解】对于A,若a>b,c=0,则ac2=bc2=0,A错误： 对于B,若a>0>b,则后0>方B错误： 1 对于C,若a>b,b<0,则ab-b2=b(a-b)<0,即b<b2,C错误： 对于D,若4>b,则d>b,即d>b2,D正确 故选：D 3.若关于x的不等式2x+2 0的解集为{x|-1<x<4,则关于x的不等式ar<b的解集为() ax+b xx>- x<-1 C.{xx<-4} D.{x|x>4} 4 【答案】D 【分析】根据不等式解的情况得到4a+b=0,a<0,代入求解不等式即可。 【详解】由题意得-1,4是方程(2x+2)(ax+b)=0两根，且a<0,则4a+b=0, 则b=-4a,所以不等式<b,即<-4a,所以x>4, 故选：D 4.设a,b∈R,则“a2-b2>0”是“a>b>0”的() A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合不等式性质，判断“α2-b2>0”和“a>b>0”之间的逻辑推理关系，即可得答案 【详解】当a2-b2>0时，不妨取a=-2,b=-1,满足条件，但推不出a>b>0: 当a>b>0时，一定有2>b2,.a2-b2>0, 故“a2-b2>0”是“a>b>0”的必要不充分条件， 故选：C 5.已知正数x、y满足x+y=1,求+，4 x1+y 的最小值是() A号 B.9 月 D.4 【答案】C 【分析】根据基本不等式“1”的妙用，可得答案 【详解】因为x,y均为正数，x+y+1=2, x= 2 x 1+y ,即 时，等号成立 v= 3 故选：C 6.已知正数a,b满足(a+b)-4=ab(3a+3b-2),则a+b的取值范围为() 2 A. B.(/2,+∞ C 03》 D.(42 3 3 【答案】D 【分析1根聚和的立方公式计算化筒得出得口+®[和--地]：2边=4，换元得出由一子0。 画结合基本不等武得出b≤十=子，最后计算球解即回 【详解】因为(a+b)=a3+b3+3ab(a+b),故原题干等式可转化为d+b+2ab=4,得 （a+b)(a+b)-3b+2ab=4, 设a+b=5，则s(s2-3b)+2ab=4,解得b=-4 35-2 因为a>0,b>0,5=a+b>0,所以b=s-4 >0, 35-2 期4政0号，又四为生-好· 所以 5-4<15,整理得 (s-2)(s2+4s+8) 0,解得<552， 35-24 4(3x-2) 3 当且仅当a=b=1时，等号成立 因此4<5≤2，即4<a+b≤2，所以a+b的取值范围是(4,2]. 故选：D 7.已知x<0,y<0,则 2y-y的最大值为() x+2y x+y A.2-√2 B.1 C.3-22 D.3+2√2 【答案】C 【分析】对题中代数式进行变形，利用基本不等式进行求解即可 【详解】因为x<0,y<0,所以x+y<0,x+2y<0三x+上 >0 x+2y 于是有，，，e-30*冰 x+2y x+y x+2y x+v =3-*+2y+2(x+2≤3-2 x+2y2x+2=3-2W2 x+y x+2y Vx+y x+2y 当且仅当x+2y=V5(x+),即-2时等号成立. 所以原式的最大值为3-2√2. 故选：C 8.若关于x的不等式x+x+c≤0的解集为[-2,3]，则不等式+之0的解集为《) x-b B D 【答案】D 【分析】由一元二次不等式解集的性质求出b=-1,C=-6,再由分式不等式的解法求出解集即可： -2+3=-b 【详解】由题意可得 -2x3=c，即b=-1c=-6, 所以+b ≥0即-6x1≥0，等价于 (6.x+1)(x+1)≤0 x-b x+1 x+1≠0 解得-1kx≤ 6 所以不等式受名0的解集为(1引 x-b 故选：D 二、多项选泽题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法中正确的是() A.若ac2>bc2,则a>b B.若-2<a<3,1<b<2,则-3<a-b<1 C.若a>b>0,m>0,则"< D.若a>b,c>d,则ac>bd a b 【答案】AC 【分析】利用不等式的性质，逐项判断即可 【详解】对于A,由c2>b2,得c2>0,则a>b,A正确： 对于B,由1<b<2,得-2<-b<-1,而-2<a<3,则-4<a-b<2,B错误； ，11 对于C,由a>b>0,得二 a6,而m>0,则业< a6,C正确： 对于D,由3>1，-1>-2，知3×(-1)<1×(-2)，D错误 故选：AC 10.设正实数x,y满足2x十y=1,则() A.y的最大值是！B.2+1的最小值为9C.42+y严最小值为 D.V2x十y最大值为2 x V 【答案】BC 【解析】法一：由题意可知，对于选项A,因为x,y为正数，所以2x+≥22xy解得w< 当且仅当 2=y一时取等号，故选项A错误： 对于选项B,2+1-2+2x+0=4+1+2+2≥5+21202=9，当且仅当2-=2x,且2x+y=1,即x x y x y x V x v x V =y=1时取等号，故选项B正确： 3 对于选项C,42+≥(2x+2_1 22 当且仅当2x=y= 时取等号，故选项C正确： 2 对于选项D,(N2x+y)2=2x十y+2V2xy≤1+212 -2,所以V2x+≤2，当且仅当2x=y=时取等号， 8 故选项D错误； 综上，答案选BC 法二：由思意可知，对于选项A,因为x,y为正数，所以w=2x<2+= 21 22 81 当且仅当2x=y=时 2 取等号，故选项A错误： 对于选项B,2+1=2+2x+0=4+1+2y+2≥5+222x=9,当且仅当2-2x,且2x+=1,即x x v x V x v Vx v x y =y=时取等号，故选项B正确： 3 选项C,4K2+y=2x+y4w21一4×82+v≥即当且仅当2公 时取等号，故选项C 2 正确： 对于选项D,2x+y≥N2x十h,即1≥02x十呼，所以2x+w≤2，当且仅当2x=y=时取等号，故 2 2 选项D错误； 综上，答案选BC 11.已知函数y=ax2+b.x-c,且y>0的解集为{x2<x<4,则() A.函数图象的对称轴为直线x=3 B.a<0且c<0 C.若c=4,则不等式ax2+x-b<0的解集为R D.若c=2,m>0,则y<+m+1 m+1 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解可得方程2+bx-c=0的根为2和4，且a<0,即可根据对称性求解A, 根据韦达定理求解B,由一元二次不等式的性质即可求解C,利用基本不等式即可求解D, 【详解】由m2+bx-c>0的解集为{x2<x<4},可知方程ar2+bx-c=0的根为2和4，且a<0, 对于A对称轴为直线x=2十43，A正确： 2 对于B,由韦达定理得，b=6,C=8,则c=-8a>0,B错误： 对于C,若c=4,则a=号b3,所以+30， 即a=1-4((0恒立，且对次数和向下 故不等式a心2+x-b<0的解集为R,C正确： 对FD,若c=2,则a=寻6-子所以y=+ 4 4 -2-4x-3+} 44 因为m+m+1 +1 m+1 m+1+1 n+1 122±1十上山，显然等号取不到 所以1>0，y< m2+m+1 ,D正确 m+1 故选：ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若命题3x∈R,x2-心+1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是 【答案】{d-2<a<2} 【分析】根据已知命题的否定为真命题，转化为不等式恒成立问题，即可求解 【详解】因为命题x∈R,x2-心+1≤0”是假命题， 所以其否定“x∈R,x2-ax+1>0”是真命题， 即x2-a+1>0在R上恒成立，所以△=a2-4<0,解得-2<a<2 故答案为：{a-2<a<2} 13.已知a>0.b>0,若不等式3+1≥m恒成立，则m的最大值为 a b a+3b 【答案】：12 【解析1由3+≥，m得m≤a+36)3+》-6++6. a b a+3b a b)a b 又9b++6≥25+6=12，m<12,÷m的最大值为12. a b 14.若不等式2+bx-1>0的解集是{1<x<2}则不等式+！ >0的解集为」 bx-1 【答案】 【分析】根据不等式的解集求出参数，b,将分式不等式转化为整式不等式，利用二次不等式求解 【详解】因为不等式m2+bx-1>0的解集是{x1<x<2}, (b≥3 所以 a 且a<0.解得a=号b 2 a 所以r+1 -x+1 bx-1 0呵装化为0©专51k0,解得号 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)解下列不等式： (1)2x2+5x-3<0: (2)-3x2+6x-2≤0： (3)4x2+4x+1>0 【答案】3<< 3或r3+V5 ②xxs3- 3 3x≠-2xeR 【分析】 (1)因式分解可得结果： (2)配方法可得结果： (3)配方法可得结果 【详解】1)由2r+5r-3<0得+32-)<0，得-3<x<分， 所以不将式2+5-3<0的解集为3分引 (2)由-3x2+6x-2≤0得3x2-6x+2≥0，得x2-2x+2≥0， 3 得-少有-1s5或x15即35成35 3 （3)由4+4+1>0得(2x+广>0，所以-号 所以原不等式的解突为x上cR 16,15分)0已知a6c,且ab1c=0,求证，aec (2)若a>0,b>0,求证：+ ≥a+b; a b 【答案】证明过程见解析 【分析】(1)作差法比较大小： (2)变形后利用基本不等式证明出结论， 10vE:。a88 因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,a-c>0,b-c>0,b-a<0, 所以c-c=_(b-amc a-cb-e(a-c(6-0>0, 二 故 ua-c-b-c: (2)证明：因为a>0,b>0, 所以 b2 a+b≥2a+2b0=1中” a 当且仅当b=2 d b =b,即a=b时，等号成立， 故a ≥a+b a b 17.(15分)已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+2,a∈R (1)对任意a∈[2,3]，函数f(x)>10-a恒成立，求实数x的取值范围： (2)当a∈R时，求不等式f(x)≥0的解集. 【答案】(1)(-0，-1)U(3,+∞) (2)答案见解析 【分析】(1)通过转换主参变量的方法来列不等式，从而求得x的取值范围 (2)对a进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法求得不等式f(x)≥0的解集 【详解】(1)依题意，a2-(a+2)x+2>10-a恒成立， (x2-x+1)×a-2x-8>0恒成立， 国为r1--大于0， 所以(x2-x+1)×2-2x-8>0, 即x∈(-o,-1)U(3,+o). (2)f(x)=x2-(a+2)x+2=(x-1)(ax-2), 当a=0时，f(x)=-2x+2,由f(x)≥0，解得x≤1： 当a≠0时，令f()=0,解得x=1x,=召 a 当a<0时，2<0<1，即x,<x,由f≥0，解得2sx≤1： 当0<a<2时，2>1，即x>x,解得x之2或x≤1 当a=2时，21，由f)≥0，解得xeR 当a>2时，2<1，即x,<,由f)≥0，解得x≤2或x≥1 综上所述：当<0时，不等式J)20的解案为[后] 当a=0时，不等式f(c)≥0的解集为(-∞，1]： 当0<a<2时，不等式f树≥0的解集为(-小[层+ 当a=2时，不等式f(x)≥0的解集为R; 当a>2时，不等式f(x)≥0的解集为 -m,孔[l+） a 18.(17分)己知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{xx<1或x>b} (1)求a、b的值： (2)当m>0,>0且满足9+-1时，有2m+≥k:+k+2恒成立，求实数k的范围. mn 【解析】(1)因为不等式ax2-3x+2>0的解集为{xx<1或x>b} 所以，关于x的方程x2-3x+2=0有两个实根分别为x=1,x2=b,且有a>0, a-3+2=0 3 a=1 所以得1+b= b=2 a>0 1.2 (2)由(1)知+二=1，不等式2m+n≥k2+k+2恒成立，则(2m+n）≥k2+k+2, m n 1.2 .2m+n=(2m+n) n,4m、 =4+ 4+2, n4=8, m n 当且仅当n=2m时，取等号， 所以：8≥k2+k+2,即k2+k-6≤0，即-3≤k≤2. 19.(17分)已知ab∈(0，+m),a+b=1,求y=1+2的最小值 a b 虾日君a行335 当且仅当2= 。=6,即a三2-1b=2-V2时取到等号， 则y-上+2的最小值为3+2W5 a b 应用上述解法，求解下列问题： 1)已知a6,cc(0,+o,a+b+c=l,求y=+2+ +二的最小值： a b c 2少已e0》求y8、的微小位： 1 x1-2x (3)己知正数4,42,43，，4n,满足41+a2+4++an=1.求证： 41+a242+434+4 a,+a-2 【解析】 (1):a+b+c=1, y-+a+b++-3+++8+ a bc a b c a b a cb c 当组仅有a==e一写时取等5，甲y分行的朵为9 3 2 2,8 (2)y= 8= 2x+1-2x)=10+2.12+82x 2x1-2x2x1-2x 2x 1-2x 2.1-2x+8.2x≥2 21-2x.8:2x=8 2x 1-2x V 2x 1-2x 当且仅当21-2x) 2x 8·2x即x=时取到等号，则y218, 1-2x 6 1， .函数y=二十 8的最小值为18， x1-2x (3):4+42+a3+..+an=1, .2S= 。+正t++2(a+a)-(a*ataa小 a+azaz+as as+as a+a G+因石aa+a片g4+a+a了 a2+43 a+a G_(a+a)+} 41+42 ≥(g+aG++a)+(2aa,+2aa++2a.a)=(a+a++a.)}=1 且仪当4=a==Q=二时取到等号，则S湘教版高中数学必修第一册第二章《一元二次函数、方程与不等式》 单元测试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、单项选操题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. +x一1的最小值是() 1 1.若x>1,则函数y=x+ A.√5+1 B.4 c.5+1 D.√5-1 2 2.下列结论正确的是() A.若a>b,则ac2>bc2 R若a6,则2方 C.若a>b,则ab>b D.若ad>b,则a2>b2 3.若关于x的不等式2x+2>0的解集为x-1<x<4华，则关于x的不等式m<b的解集为() ax+b B.<- C.{xlx<-4} D.{x|x>4} 4.设a,b∈R,则“a2-b2>0”是“a>b>0”的() A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知正数x、y满足x+y=1,求+1+ 14 的最小值是() 14 9 A.3 B.9 c.2 D.4 6.已知正数a,b满足(a+b)-4=ab(3a+3b-2),则a+b的取值范围为() B.(2+∞) D.(42 7.已知x<0,<0,则2上的最大值为() x+2y x+y A.2-V2 B.1 C.3-2√2 D.3+2√2 8。若关于x的不等式2+x十c≤0的解集为[-2,3]，则不等式+≥0的解集为《) x-b A.（石U+j B. c(%u名时 D.（1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法中正确的是() A.若ac2>bc2,则a>b B.若-2<a<3,1<b<2,则-3<a-b<1 C.若a>b>0,m>0,则< D.若a>b,c>d,则ac>bd 10.设正实数x,y满足2x十y=1,则（) A.y的最大值是 B.2+1的最小值为9 4 xV C.4x2+y2最小值为 D.V2x+1y最大值为2 11.已知函数y=ax2+bx-c,且y>0的解集为x2<x<4,则() A.函数图象的对称轴为直线x=3 B.a<0且c<0 C.若c=4,则不等式ax2+x-b<0的解集为R D.若c=2,>0,则y<m+m+ m+1 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若命题3x∈R,x2-+1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是」 3已知a>0b>0,若不等武+号≥，恒成立，则m的最大值为 4.若不等式公+b1>0的解集是1<x<2则不等式众>0的解集为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)解下列不等式： (1)2x2+5x-3<0; (2)-3x2+6.x-2≤0： (3)4x2+4x+1>0 16.(15分)(1)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证，ac>b-e 一> b+≥a+b: (2)若a>0,b>0,求证：0 ab 17.(15分)已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+2,a∈R, (1)对任意a∈[2,3]，函数f(x)>10-a恒成立，求实数x的取值范围： (2)当a∈R时，求不等式f(x)≥0的解集. 18.(17分)己知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{xx<1或x>b} (1)求a、b的值： (2)当m>0,>0且满足+。-1时，有2m+≥k:+k+2恒成立，求实数k的范围。 m n 19.(17分)已知a,b∈(0，+0)，a+b=1,求y=1+2的最小值 a b r号动a-创名g+925, 当且仅当 。=,即2，h=2-2时取到跨号，则y=+的最小值为3+2W2 一二 a b 应用上述解法，求解下列问题： (1)已知ab,c∈(0，+o),a+b+c=1,求y=1++1的最小值， a b c x1-2x (3)已知正数4,4,4，，a,满足4+a,+4++a,=1求证：三++g+a之号 a+a,a,+a,4+a4ata之2 湘教版高中数学必修第一册第二章《一元二次函数、方程与不等式》 单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】将函数解析式变形，利用基本不等式可求答案. 【详解】，当且仅当时取等号． 故选：B. 2．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】通过反例、作差法和不等式的性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，，则，即，C错误； 对于D，若，则，即，D正确. 故选：D. 3．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式解的情况得到，，代入求解不等式即可. 【详解】由题意得是方程两根，且，则， 则，所以不等式，即，所以， 故选：D. 4．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合不等式性质，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】当时，不妨取，满足条件，但推不出； 当时，一定有， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：C 5．已知正数、满足，求的最小值是（    ） A． B．9 C． D．4 【答案】C 【分析】根据基本不等式“1”的妙用，可得答案. 【详解】因为，均为正数，， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 6．已知正数 满足 ，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和的立方公式计算化简得出得 ，换元得出 ，再结合基本不等式得出 ，最后计算求解即可. 【详解】因为，故原题干等式可转化为 ，得 ， 设 ，则 ，解得 ， 因为 ，所以 ， 解得 或 ，又因为 ， 所以 ，整理得 ，解得 ， 当且仅当 时，等号成立. 因此 ，即 2，所以的取值范围是 . 故选：D. 7．已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】对题中代数式进行变形，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 于是有 当且仅当，即时等号成立， 所以原式的最大值为． 故选：C 8．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式解集的性质求出，再由分式不等式的解法求出解集即可； 【详解】由题意可得，即， 所以即，等价于， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【分析】利用不等式的性质，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，得，而，则，C正确； 对于D，由，知，D错误. 故选：AC 10.设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ） A．xy的最大值是 B．＋的最小值为9 C．4x2＋y2最小值为 D．＋最大值为2 【答案】BC 【解析】法一：由题意可知，对于选项A，因为x，y为正数，所以2x＋y≥2，解得xy≤，当且仅当2x＝y＝时取等号，故选项A错误； 对于选项B，＋＝(＋)(2x＋y)＝4＋1＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且2x＋y＝1，即x＝y＝时取等号，故选项B正确； 对于选项C，4x2＋y2≥＝，当且仅当2x＝y＝时取等号，故选项C正确； 对于选项D，(＋)2＝2x＋y＋2≤1＋2＝2，所以＋≤，当且仅当2x＝y＝时取等号，故选项D错误； 综上，答案选BC． 法二：由题意可知，对于选项A，因为x，y为正数，所以xy＝2xy≤()2＝，当且仅当2x＝y＝时取等号，故选项A错误； 对于选项B，＋＝(＋)(2x＋y)＝4＋1＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且2x＋y＝1，即x＝y＝时取等号，故选项B正确； 对于选项C，4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy≥1－4×＝，4x2＋y2≥，即当且仅当2x＝y＝时取等号，故选项C正确； 对于选项D，2x＋y≥，即1≥，所以＋≤，当且仅当2x＝y＝时取等号，故选项D错误； 综上，答案选BC． 11．已知函数，且的解集为，则（    ） A．函数图象的对称轴为直线 B．且 C．若，则不等式的解集为 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解可得方程的根为2和4，且即可根据对称性求解A，根据韦达定理求解B，由一元二次不等式的性质即可求解C，利用基本不等式即可求解D. 【详解】由的解集为，可知方程的根为2和4，且 对于A,对称轴为直线，A正确； 对于B，由韦达定理得，，，则，B错误； 对于C，若，则，所以， 即恒成立，且对应二次函数开口向下， 故不等式的解集为，C正确； 对于D，若，则，所以， 因为，显然等号取不到， 所以，D正确． 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据已知命题的否定为真命题,转化为不等式恒成立问题,即可求解. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“，”是真命题， 即在上恒成立，所以,解得. 故答案为： 13.已知，若不等式恒成立，则的最大值为________． 【答案】： 【解析】：由，得． 又，∴，∴的最大值为． 14．若不等式的解集是则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的解集求出参数，将分式不等式转化为整式不等式，利用二次不等式求解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以，且，解得，， 所以可转化为，解得， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】 （1）因式分解可得结果； （2）配方法可得结果； （3）配方法可得结果. 【详解】（1）由，得，得， 所以不等式的解集为. （2）由得，得， 得，得或，即或， 所以原不等式的解集为或. （3）由得，所以. 所以原不等式的解集为. 16．（15分）（1）已知，且，求证，． （2）若，求证：； 【答案】证明过程见解析 【分析】（1）作差法比较大小； （2）变形后利用基本不等式证明出结论. 【详解】（1）证明：， 因为，且，所以，， 所以， 故； （2）证明：因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 17．（15分）已知函数. (1)对任意，函数恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）通过转换主参变量的方法来列不等式，从而求得的取值范围. （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集. 【详解】（1）依题意，恒成立， 恒成立， 又因为恒大于0， 所以， 即. （2）， 当时，，由，解得： 当时，令，解得. 当时，，即由，解得； 当时，，即，解得或 当时，，由，解得； 当时，，即，由，解得或 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18.（17分）已知关于的不等式的解集为或. （1）求、的值； （2）当，且满足时，有恒成立，求实数范围. 【解析】（1）因为不等式的解集为或. 所以，关于的方程有两个实根分别为，，且有， 所以得； （2）由（1）知，不等式恒成立，则， ， 当且仅当时，取等号， 所以：，即，即. 19.（17分）已知，，求的最小值. 解法如下：， 当且仅当，即，时取到等号， 则的最小值为. 应用上述解法，求解下列问题： （1）已知，，求的最小值； （2）已知，求的最小值； （3）已知正数，满足.求证：. 【解析】 （1）∵， ∴ ， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. （2）， 而 当且仅当即时取到等号，则， ∴函数的最小值为18， （3）∵， ∴ 当且仅当时取到等号，则. 学科网（北京）股份有限公司 $