第2章 一元二次函数、方程和不等式（单元测试·提升卷）数学湘教版2019高一必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 一元二次函数、方程和不等式 · 能力提升 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A B C A A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．7 14．或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）由题设，而，即， ……………………4分 当且仅当时，等号成立， ……………………5分 所以的最大值为. ……………………6分 （2）由， ……………………9分 当且仅当时等号成立，故最小值为， ……………………10分 又恒成立，即， ……………12分 所以. ……………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】设矩形另一边长为，则， ……4分 由，得， ……………………6分 ∴， ……………………8分 ∵，∴， ……………………13分 ∴，当且仅当，即m时，等号成立 所以当m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． ……………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由题意，不等式即的解集为， 所以和1是方程的两个根， ……………………2分 由韦达定理可得，解得， ……………………4分 ∴. ……………………6分 （2）∵关于的方程在区间内有解, ∴在区间内有解， ……………………8分 当时，，当且仅当时取等号， 则. ……………………15分 18．（本小题满分17分） 【详解】（1）由已知，十字形区域面积为矩形面积的四倍与正方形面积之和，………4分 得出与满足的等量关系式为：； ……………………6分 （2）由（1）得 ……………………8分 ； ……………………13分 ， ……………………15分 当且仅当，即时，上式等号成立. 所以当时，最小，最小值为元. ……………………17分 19．（本小题满分17分） 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，即 ……………………2分 所以不等式可转化为， 又，所以，即， ……………………4分 当，即时，解得; ……………………5分 当，即时，解得; ……………………6分 当，即时，解得， ……………………7分 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. ……………………8分 （2）因为当时，，所以， 即，所以， ……………………9分 ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则， ……10分 ， 当且仅当，即时，， ……………………12分 所以，解得或， 即的取值范围是. ……………………14分 ②由，可得， ……………………15分 所以 ， ……………………16分 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. ……………………17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 一元二次函数、方程和不等式 · 能力提升 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知x<3，则的最大值是（    ） A．–1 B．1 C．4 D．7 2．已知不等式，对任意实数都成立，则的取值范围（　　） A． B． C． D． 3．命题“，使得”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A．（0,1） B． C． D． 4．若，则下面结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知甲､乙､丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里数为（    ） A．1080 B．900 C．810 D．540 6．设：，，则使为真命题的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的不等式的解集恰好为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若，，，，则下列说法不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．已知实数，且，则（    ） A．的最小值为18 B．的最小值为64 C．的最小值为128 D．的最小值为 11．已知，且，则下列结论成立的是（   ） A． B． C．存在使得 D．若且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知总体的各个个体的值由小到大依次为，且总体的平均值为10，则的最小值为 ． 13．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 14．已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知，，且. (1)求的最大值； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 16．（本小题满分15分） 围建一个面积为360的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．    17．（本小题满分15分） 设函数．已知关于的不等式的解集为 (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间内有解，求实数m的取值范围. 18．（本小题满分17分） 上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为4200元/ m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/ m2，再在四个空角（如等）上铺草坪，造价为80元/ m2.设AD长为x m，DQ长为y m. (1)写出与满足的等量关系式； (2)设总造价为元，求当为何值时，最小？并求出这个最小值. 19．（本小题满分17分） 已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; (2)已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 一元二次函数、方程和不等式 · 能力提升 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知x<3，则的最大值是（    ） A．–1 B．1 C．4 D．7 2．已知不等式，对任意实数都成立，则的取值范围（　　） A． B． C． D． 3．命题“，使得”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A．（0,1） B． C． D． 4．若，则下面结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知甲､乙､丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里数为（    ） A．1080 B．900 C．810 D．540 6．设：，，则使为真命题的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的不等式的解集恰好为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若，，，，则下列说法不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．已知实数，且，则（    ） A．的最小值为18 B．的最小值为64 C．的最小值为128 D．的最小值为 11．已知，且，则下列结论成立的是（   ） A． B． C．存在使得 D．若且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知总体的各个个体的值由小到大依次为，且总体的平均值为10，则的最小值为 ． 13．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 14．已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知，，且. (1)求的最大值； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 16．（本小题满分15分） 围建一个面积为360的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．    17．（本小题满分15分） 设函数．已知关于的不等式的解集为 (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间内有解，求实数m的取值范围. 18．（本小题满分17分） 上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为4200元/ m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/ m2，再在四个空角（如等）上铺草坪，造价为80元/ m2.设AD长为x m，DQ长为y m. (1)写出与满足的等量关系式； (2)设总造价为元，求当为何值时，最小？并求出这个最小值. 19．（本小题满分17分） 已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; (2)已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 一元二次函数、方程和不等式 · 能力提升 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知x<3，则的最大值是（    ） A．–1 B．1 C．4 D．7 【答案】A 【分析】构造基本不等式, ,转化后可得即可求得最大值. 【详解】因为, ， 所以 当且仅当时取得最大值,此时 所以的最大值是 故选:A 2．已知不等式，对任意实数都成立，则的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况考虑，时，不等式成立；时，需满足，综上可解. 【详解】①当时，不等式成立，∴； ②当时，则有，解得； 综上，． 故选：B． 3．命题“，使得”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A．（0,1） B． C． D． 【答案】A 【分析】先将命题转化为二次函数在R上恒成立问题，然后求出a的范围，最后利用集合法得出答案. 【详解】，使得,等价于在R上恒成立， 令，由二次函数的性质可得 当时，恒成立，解得， 要想是命题“，使得”成立的一个充分不必要条件, 只需要满足为的子集即可， 四个选项中，只有选项A满足题意. 故选：A 4．若，则下面结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用作差法确定A；利用基本不等式确定B；利用消元法确定C；利用不等式的性质确定D. 【详解】对于A：， 当且仅当时等号成立，故，A错误； 对于B：， ， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 对于C：，解得， ，C错误； 对于D：，则，即，D错误. 故选：B. 5．已知甲､乙､丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里数为（    ） A．1080 B．900 C．810 D．540 【答案】C 【分析】每人最多带36天的水和食物，按乙丙两人同时把水和食物交给甲，乙丙先后不同时把水和食物交给甲两种情况分别计算甲行驶的总天数即可判断. 【详解】甲、乙、丙三人一起出发，设天后，乙丙两人同时把水和食物交给甲，乙丙分别给甲天的水和食物， 于是，解得，甲全程共有水和食物的天数， 因此从出发点甲最多往前走天，最远能深入沙漠公里； 甲、乙、丙三人一起出发，设天后乙丙之一独自返回，不妨令丙返回，丙扣除天的水和食物后， 把剩余的水和食物的一半分别分给甲乙，则由，得， 从出发甲乙带的水和食物的天数都为，当且仅当时取等号， 要使前行天数最多，则取，甲乙均有36天的水和食物， 甲乙继续前行，再行天后，乙独自返回， 乙扣除天的水和食物后，把剩余的水和食物给甲，则 由，解得， 此时甲全程共有水和食物的天数是， 因此从出发点甲最多往前走27天，最远能深入沙漠公里，显然， 所以甲最远能深入沙漠公里数为810. 故选：C 6．设：，，则使为真命题的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定使为真命题的充要条件，即可得使为真命题的一个充分非必要条件. 【详解】：，， 若为真命题，则恒成立， 由于，所以，则. 则使为真命题的一个充分非必要条件是. 故选：A. 7．已知关于的不等式的解集恰好为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，知，因此根据和分类讨论． 【详解】令，作出的图象，如图， 可知，则有： 若，则不等式的解集是两段区域，不合题意； 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为，可得， 且是方程的两根，则， 由得或4， 若，由，解得或，不合题意； 若，由，解得，符合题意； 综上所述：． 故选：A． 8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将分离常数为，由，可得，且，，再结合基本不等式求解即可. 【详解】由， 又，所以，且，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为6. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若，，，，则下列说法不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ABC 【分析】利用特殊值判断A、B，利用作差法判断C、D. 【详解】对于A：当，，，，满足，，此时，故A错误； 对于B：当时，故B错误； 对于C：，因为，则，， 所以，所以，故C错误； 对于D：因为，，所以， 所以， 所以，故D正确． 故选：ABC． 10．已知实数，且，则（    ） A．的最小值为18 B．的最小值为64 C．的最小值为128 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】由，结合基本不等式、函数思想等逐项求解. 【详解】已知实数，且， 对于A，， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，即，当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，由B知，，故， 当且仅当时取等号，显然不成立，故C错误； 对于D，令，则由已知得，, 则，当且仅当，即，时取等号，故D正确． 故选：ABD． 11．已知，且，则下列结论成立的是（   ） A． B． C．存在使得 D．若且，则 【答案】ABD 【分析】由不等式的性质即可判断A，可以得出且，结合基本不等式即可判断B，由不等式性质得，由此即可判断C，由基本不等式得，进一步注意到，由此即可判断D. 【详解】对于A，由及，得，所以，A正确． 对于B，由及，得，所以．同理可得． 又，所以，所以，B正确． 对于C，由及，得，所以，得， 所以，得，C错误． 对于D，由，得．由，得． 因为，所以，所以，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知总体的各个个体的值由小到大依次为，且总体的平均值为10，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据平均数得到方程，求出，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得， 解得， 由于， 故， 当且仅当，时，等号成立. 故答案为： 13．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 【答案】7 【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可. 【详解】依题意，年平均利润为, 由于，当且仅当，即时取等号， 此时， 所以当每条生产线运行的时间时，年平均利润最大. 故答案为：7. 14．已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】或 【分析】分类讨论，根据不等式恒成立建立不等式得解. 【详解】当时，或， 时不等式为，不满足题意；时不等式为，符合题意； 当时，即时，不等式恒成立需满足， 解得或； 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，，且. (1)求的最大值； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）应用基本不等式得，进而有，注意等号成立条件，即可得最大值； （2）应用基本不等式“1”的代换求左侧的最小值，根据恒成立有，再解一元二次不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，而，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. （2）由， 当且仅当时等号成立，故最小值为， 又恒成立，即， 所以. 16．围建一个面积为360的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【答案】m时，最小总费用是10440元 【分析】根据题意得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设矩形另一边长为，则， 由，得， ∴， ∵，∴， ∴，当且仅当，即m时，等号成立， 所以当m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 17．设函数．已知关于的不等式的解集为 (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间内有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意，和1是方程的两个根，由韦达定理求解； （2）将问题转化在区间内有解，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，不等式即的解集为， 所以和1是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， ∴. （2）∵关于的方程在区间内有解, ∴在区间内有解， 当时，，当且仅当时取等号， 则. 18．上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为4200元/ m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/ m2，再在四个空角（如等）上铺草坪，造价为80元/ m2.设AD长为x m，DQ长为y m. (1)写出与满足的等量关系式； (2)设总造价为元，求当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1) (2)时，最小，最小为元 【分析】（1）由已知，十字形区域面积为矩形面积的四倍与正方形面积之和，可得答案； （2）由（1）得，，即可建立与的函数关系，再利用均值不等式计算得到最值. 【详解】（1）由已知，十字形区域面积为矩形面积的四倍与正方形面积之和， 得出与满足的等量关系式为：； （2）由（1）得 ； ， 当且仅当，即时，上式等号成立. 所以当时，最小，最小值为元. 19．已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; (2)已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 【答案】(1)答案见解析；(2)①，②36 【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集； （2）由条件得，再利用基本不等式求解问题. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，即 所以不等式可转化为， 又，所以，即， 当，即时，解得; 当，即时，解得; 当，即时，解得， 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）因为当时，，所以， 即，所以， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则， ， 当且仅当，即时，， 所以，解得或， 即的取值范围是. ②由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$