第2章 一元二次函数、方程和不等式（单元测试·基础卷）数学湘教版2019高一必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 一元二次函数、方程和不等式 · 基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．不等式的解集为（   ） A．- B． C． D． 2．若，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 3．若，，则与的关系是（ ） A． B． C． D．与的值有关 4．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，当取最小值时，则a等于（    ） A． B．6 C．9 D．12 6．不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设，若恒成立，则的最大值为（    ） A．9 B．18 C．20 D．27 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题中，为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．时，的最小值是2 10．下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 11．若函数的图像与轴有且只有一个交点，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，，则c=4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为 ． 13．若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 14．已知两个正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1）解不等式； （2）用作差法比较大小与. 16．（本小题满分15分） 为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，现有甲、乙两个公司参与竞标，甲公司给出的报价方式为：应急室正面的报价为每平方米400元，左、右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元；公司乙给出的整体报价为：（元）；设应急室的左、右两侧的长度均为x米（），若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由 17．（本小题满分15分） 已知函数. (1)若不等式的解集是，求，的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 18．（本小题满分17分） 已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 19．（本小题满分17分） 某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知年内付出的各种维护费用之和满足二次函数，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元. (1)扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地年共获得的纯利润之和（用只含有的表达式表示）； (2)若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案： ①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地； ②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地. 问该水产养殖户会选择哪种方案？请说明理由. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 一元二次函数、方程和不等式 · 基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．不等式的解集为（   ） A．- B． C． D． 【答案】D 【分析】直接解出不等式即可. 【详解】，解得，则其解集为. 故选：D. 2．若，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】举出反例检验选项A，B，D，结合不等式性质检验选项C即可． 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D错误； 故选：C 3．若，，则与的关系是（ ） A． B． C． D．与的值有关 【答案】A 【分析】利用作差法比较数的大小即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 4．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】∵，∴， 又，∴， 即的取值范围是. 故选：C. 5．已知，当取最小值时，则a等于（    ） A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】直接利用基本不等式即可得出答案. 【详解】解：∵，当且仅当，即或（舍去）时， ∴当取最小值时，． 故选：A. 6．不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式与其对应的方程之间的联系可得，结合一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】设是方程的两个根， 由题意知，，解得， 所以不等式可变为， 即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A 7．“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由等价，再结合充分条件、必要条件的概念即可判断． 【详解】由可得， 因为是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 8．设，若恒成立，则的最大值为（    ） A．9 B．18 C．20 D．27 【答案】B 【分析】根据变形后，利用均值不等式求出的最小值即可求解. 【详解】,, , 当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数k的最大值为18， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题中，为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．时，的最小值是2 【答案】BC 【分析】利用作差法比较大小、基本不等式求最值即可求解. 【详解】因为,所以对恒成立, 所以A错误; 因,所以对恒成立, 所以B正确; 因为,所以对恒成立,故C正确; 因为,当且仅当即时取得等号, 但是,所以等号取不到,故D错误. 故选:BC. 10．下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】对于AD，举例判断，对于BC，利用不等式的性质分析判断. 【详解】对于A，当时，满足，此时，所以A错误， 对于B，因为，，所以，所以B正确， 对于C，因为，所以，即， 因为，所以，所以C正确， 对于D，当，时，满足，， 此时，， 则，所以D错误. 故选：BC 11．若函数的图像与轴有且只有一个交点，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，，则c=4 【答案】ABD 【分析】函数的图像与轴有且只有一个交点，，得到关系式，代入判断即可，ＣＤ选项用韦达定理判断． 【详解】因为函数的图像与轴有且只有一个交点 所以,所以，， 即,故A正确. ,故B正确. 若不等式的解集为，则,故C错误， 若不等式的解集为，则 因为，所以 ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为 ． 【答案】或． 【分析】变形得到，得到不等式解集. 【详解】变形得到， 解得或 故答案为：或 13．若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分是否等于0进行讨论，然后结合二次函数恒成立问题列出不等式即可求解. 【详解】若，则不等式即，显然恒成立，故满足题意； 若，不等式恒成立， 则当且仅当，解得， 综上所述，所求的的取值范围为. 故答案为：. 14．已知两个正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件等式结合基本不等式求出即可； 【详解】因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）解不等式； （2）用作差法比较大小与. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）应用一元二次不等式的解法求解集； （2）作差法得，即可比较大小. 【详解】（1）由， 则， 所以不等式的解集为； （2） 故. 16．为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，现有甲、乙两个公司参与竞标，甲公司给出的报价方式为：应急室正面的报价为每平方米400元，左、右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元；公司乙给出的整体报价为：（元）；设应急室的左、右两侧的长度均为x米（），若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由 【答案】公司乙竞标成功 【分析】先求得甲公司的整体报价，再比较分两个公司的整体报价的大小，进而依据最低价中标规则选定公司. 【详解】甲公司的整体报价为（元） 又乙给出的整体报价为：（元） 由，可得 又，则， 则公司乙给出的整体报价最低.则公司乙竞标成功. 17．已知函数. (1)若不等式的解集是，求，的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）由题意可知，为方程的两根，结合韦达定理列式即可求； （2）分两种情况讨论即可. 【详解】（1）不等式的解集是， ，2为方程的两根，且，， ， 解得，. （2）当时，符合题意. 当时，要使恒成立， 只需满足，解得. 综上所述， . 故实数的取值范围为. 18．已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 【答案】(1),．(2)答案见解析. 【分析】（1）分离参数a，转化为函数最值问题求解；（2）分类讨论求解即可． 【详解】（1）不等式即为：， 当,时，可变形为：， 即, 又，当且仅当，即时，等号成立， ，即， 实数的取值范围是：,． （2）不等式， 即， 等价于， 即， 当时， 当时，因为，解不等式得：； 当时，因为，不等式的解集为； 当时，因为，解不等式得：； 综上所述，不等式的解集为： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 19．某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知年内付出的各种维护费用之和满足二次函数，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元. (1)扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地年共获得的纯利润之和（用只含有的表达式表示）； (2)若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案： ①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地； ②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地. 问该水产养殖户会选择哪种方案？请说明理由. 【答案】(1)；(2)方案①，理由见解析． 【分析】（1）直接由第一、二年的维护费用列方程组求得，然后由收入减去维护费用与投资费用可得； （2）分别计算出两种方案中最大时的年份，求出总利润后比较可得． 【详解】（1）由题意，解得， 所以； （2）选择方案①： 年时年平均利润为，当且仅当时取等号， 此时以138万元出售该龙虾养殖基地，所获得的利润为（万元） 年时纯利润总和为，，， 此时以30万元出售该龙虾养殖基地，所获得的利润为， 两种方案获得的最大总利润相同，而方案①时间短，因此选择方案①较好． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 一元二次函数、方程和不等式 · 基础通关 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A C A A A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．或 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）由， 则， 所以不等式的解集为； ……………………6分 （2） ……………………7分 ……………………12分 故. ……………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】甲公司的整体报价为（元）……3分 又乙给出的整体报价为：（元） ……………………6分 ……………………10分 由，可得 ……………………12分 又，则， ……………………14分 则公司乙给出的整体报价最低.则公司乙竞标成功. ……………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）不等式的解集是， ，2为方程的两根，且，， ……………………3分 ， ……………………5分 解得，. ……………………7分 （2）当时，符合题意. ……………………9分 当时，要使恒成立， 只需满足，解得. ……………………12分 综上所述， . ……………………14分 故实数的取值范围为. ……………………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）不等式即为：， ……………………1分 当,时，可变形为：， ……………………3分 即, ……………………5分 又，当且仅当，即时，等号成立， …………6分 ，即， 实数的取值范围是：,． ……………………7分 （2）不等式， 即，等价于， 即， ……………………10分 当时， 当时，因为，解不等式得：； ……11分 当时，因为，不等式的解集为； ………12分 当时，因为，解不等式得：； ………13分 综上所述，不等式的解集为： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． ……………………15分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）由题意，解得， 所以； ……………………6分 （2）选择方案①： ……………………7 分 年时年平均利润为， 当且仅当时取等号， ……………………10分 此时以138万元出售该龙虾养殖基地，所获得的利润为（万元） ……11分 年时纯利润总和为，，， 此时以30万元出售该龙虾养殖基地，所获得的利润为， …………13分 两种方案获得的最大总利润相同，而方案①时间短，因此选择方案①较好． …………15分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 一元二次函数、方程和不等式 · 基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．不等式的解集为（   ） A．- B． C． D． 2．若，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 3．若，，则与的关系是（ ） A． B． C． D．与的值有关 4．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，当取最小值时，则a等于（    ） A． B．6 C．9 D．12 6．不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设，若恒成立，则的最大值为（    ） A．9 B．18 C．20 D．27 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题中，为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．时，的最小值是2 10．下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 11．若函数的图像与轴有且只有一个交点，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，，则c=4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为 ． 13．若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 14．已知两个正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1）解不等式； （2）用作差法比较大小与. 16．（本小题满分15分） 为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，现有甲、乙两个公司参与竞标，甲公司给出的报价方式为：应急室正面的报价为每平方米400元，左、右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元；公司乙给出的整体报价为：（元）；设应急室的左、右两侧的长度均为x米（），若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由． 17．（本小题满分15分） 已知函数. (1)若不等式的解集是，求，的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 18．（本小题满分17分） 已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 19．（本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知年内付出的各种维护费用之和满足二次函数，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元. (1)扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地年共获得的纯利润之和（用只含有的表达式表示）； (2)若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案： ①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地； ②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地. 问该水产养殖户会选择哪种方案？请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$