北京市东城区北京汇文中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷（9月份）

2025-2026学年北京市东城区文汇中学九年级（上）第三次月考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是(    ) A. 平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小 B. 平移和旋转的共同点是改变了图形的位置，而图形的形状大小没有变化 C. 图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离 D. 在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行 2.下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，点A的坐标是，将线段OA绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是(    ) A. B. C. D. 4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 正方形 5.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接EF，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，，，可以看作是由绕点O顺时针旋转角度得到的．若点在AB上，则旋转角的大小可以是(    ) A. B. C. D. 7.如图，P是等边三角形内的一点，连接PB、若将绕点B旋转到，则的度数是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在菱形ABCD中，，O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为E，F，G，对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点O到该八边形各顶点的距离都相等； ④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等. 上述结论中，所有正确结论的序号是(    ) A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。 9.将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是       10.如图，绕点A顺时针旋转得到，若，，则图中阴影部分的面积等于      . 11.定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换.如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为          . 三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.本小题11分 如图，正方形网格中，三角形ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： 画出，使它与三角形ABC关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为______. 将三角形ABC绕某点旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______. 13.本小题11分 如图，在菱形ABCD中，，点E在对角线BD上．将线段CE绕点C顺时针旋转，得到CF，连接 求证：； 连接AC，若，求证： 14.本小题11分 如图，中，，，点A为内一点，， 画出将绕点O逆时针旋转得到的三角形； 求的度数. 15.本小题11分 如图所示，已知为等腰直角三角形，，E，F是BC边上的点，且求证： 16.本小题6分 已知和都是等腰直角三角形，，P为AE的中点，连接 如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系； 将图1中的绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上. ①在图2中，按要求补全图形，并证明； ②连接BD，交AE于点判断线段BF与DF的数量关系，并证明. 17.本小题6分 已知，点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点 如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点； 如图2，当点D在内部时，作，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A、平移不改变图形的形状和大小，而旋转同样不改变图形的形状和大小，故A错误； B、平移和旋转的共同点是改变图形的位置，而图形的形状大小没有变化，故B正确； C、图形可以向某方向平移一定距离，而旋转是围绕中心做圆周运动，故C错误； D、在平移和旋转图形中，对应角相等，平移中对应线段相等且平行，旋转图形对应线段相等但不一定平行，故D错误． 故选： 根据平移和旋转的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案． 本题主要考查了几何的类型，解题的关键是正确掌握平移和旋转的定义，即在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动成为平移；旋转就是物体绕着某一点或轴运动．平移和旋转的共同点是改变图形的位置． 2.【答案】A  【解析】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选： 根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答． 本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 3.【答案】B  【解析】解：如图所示， 分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 点A的坐标为， ，， 点B的坐标为 故选： 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确． 故选： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 5.【答案】B  【解析】解：绕点C顺时针方向旋转得到， ，，， 故选： 由旋转前后的对应角相等可知，；一个特殊三角形为等腰直角三角形，可知，把这两个角作差即可． 本题考查旋转的性质和正方形的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 6.【答案】C  【解析】解：，， 可以看作是由绕点O顺时针旋转角度得到的， 是等边三角形． ，即旋转角的大小可以是 7.【答案】B  【解析】解：将绕点B旋转到， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选 根据旋转的性质得到，根据等边三角形的性质得到，于是得到，即可得到结论． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质． 8.【答案】B  【解析】解：延长BD和DB，连接OH， 菱形ABCD，， ，， 菱形ABCD绕点O逆时针旋转得到菱形， 点，，，一定在对角线AC，BD上，且，， ，， ， ≌， ，， 同理可证，，， ，，， ≌， ， ， 该八边形各边长都相等，故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确； 根据题意，得， ，， ， 该八边形各内角不相等，故②错误； ，，， ≌， ，， ， 点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误； 故选： 通过≌和≌可判断①；根据角平分线的性质定理判断④；通过角度计算判断②；通过长度计算判断③． 本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是，即， 与B关于原点对称， 点B的坐标是 故答案为： 根据点平移的特点以及关于原点对称的点的坐标特征两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反解答即可． 本题考查的是坐标与图形变化-平移以及关于原点对称的点的坐标，熟知横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：如图， ，， ， 绕点A顺时针旋转得到， ，，， 是等腰直角三角形， ，，， ， ，，， 和为等腰直角三角形， ，， 图中阴影部分的面积 故答案为： 由旋转的性质可得，，，可证，和为等腰直角三角形，分别求出，的值，即可求解． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质． 11.【答案】  【解析】解：由题知， 将点向上平移2个单位所得点M的坐标为 如图所示， 过点M作x轴的垂线，垂足为F， 则， 在中， ，， 所以 由旋转可知， ，， 所以 过点作y轴的垂线，垂足为E， 则， 所以是等腰直角三角形． 又因为， 所以， 所以点的坐标为 故答案为： 根据题中的定义，画出示意图，结合图形旋转及平移的性质即可解决问题． 本题考查坐标与图形变化-平移及坐标与图形变化-旋转，能根据题意画出示意图及熟知图形平移和旋转的性质是解题的关键． 12.【答案】，     【解析】如图，即为所求． 由图可得， 故答案为： 连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 即旋转中心的坐标为 故答案为： 根据中心对称的性质作图即可． 连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，进而可得答案． 本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 13.【答案】证明：为菱形 ，， 又， ， ，， ≌， 连接AC交BD于O，如图 是菱形， ， ≌， ， ，， ，， ， ，   【解析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，关键是能灵活运用这些性质解决问题． 由题意得：≌，可得结论． 连接AC交BD于O，可得，由，可得，可证即结论可得 14.【答案】     【解析】如图，即为所求． 连接AB， 由旋转得，，，， ， ， ， ， 根据已知条件以及旋转的性质作图即可． 连接AB，由旋转的性质可得，，，则可得，可知，则，从而可得 本题考查作图-旋转变换、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15.【答案】将绕点A按顺时针方向旋转 为等腰直角三角形，， 旋转后AC边与AB边重合，记旋转后的三角形为 ，，， ，， 在与中， ， ≌ ，   【解析】解：将绕点A按顺时针方向旋转 为等腰直角三角形，， 旋转后AC边与AB边重合，记旋转后的三角形为 ，，， ，， 在与中， ， ≌ ， 将绕点A按顺时针方向旋转得，所以，，，，证明≌可得，由勾股定理可得结论． 本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、旋转的性质，正确作出辅助线是解此题的关键． 16.【答案】解：是等腰直角三角形，， ， 为AE的中点， ； ①补全图形如图2所示； 证明：和都是等腰直角三角形，， ，， 为AE的中点， ， ， ， ； ② 证明：如图3，延长CP至G，使连接AG，BG， 是等腰直角三角形，， ，， 为AE的中点， ，，， ≌， ，， ， ， ， ，， ≌， ， ， ， ， ，   【解析】根据是等腰直角三角形，可得，由P为AE的中点，依据等腰三角形性质“三线合一”，即可得到； ①按照题意补全图形，根据等腰三角形性质可得，即可证明结论； ②延长CP至G，使，连接AG，BG，利用SAS证明≌，≌，可得，进而可得，根据平行线分线段成比例定理即可证明结论． 本题考查了等腰直角三角形性质和判定，全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，旋转变换的性质，平行线分线段成比例定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形． 17.【答案】证明：连接CD， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点C是AE的中点； 解：， 在射线AM上取点H，使得，取EF的中点G，连接DG， ， ， ， ， ， ≌， ，， ， ， ，， 是EF的中点， ，， ， ， ， ， ， ，   【解析】证明即可证明点C是AE的中点； 先证明≌，得到，再根据角度计算得到，从而得出EF和AC的数量关系． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $