云南省昆明市第一中学2025-2026学年高三上学期第三次联考数学试题

密★启用前 【考试时间：10月29日 14: 30—16: 30】 昆明市第一中学2026 届高三年级第三次联考 数学试卷 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华 刘皖明 莫利琴 毛孝宗 凹婷波 王佳文 顾先成 丁茵 张远雄 蔺书琴本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合A={x|x³=4x}, B={-2, 1,2}, 则A∩B= A.{-2, 0,1, 2} B.{-2, 2} C.{2} D.{0, 1} 2函数 的最小正周期是 A. 2π B.π D. 3. 已知i为虚数单位,复数z满足(1+i)z=3-i, 则|z|= A. B. 5 C. 2 4. 已知向量m,n满足m+n=(-2,- 3),m-n=(4,- 1), 则 A. 5 B. - 5 C. - 11 D. 11 5.已知双曲线 则顶点到渐近线的距离为 数字-第1页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 6.若一个圆锥与一个圆柱的体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的 倍的高为3，则该圆锥的体积为 B. 3π C. 6π D. 9π 7. 在△ABC中, AB=4, AC=2, ∠BAC=,∠BAC的平分线交BC于D，则AD= C. 8.设实数m>0，若对任意的正数x，不等式 恒成立，则m的最小值为 A. B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设抛物线C: 的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，则下列选项中正确的是 A.抛物线C的准线方程为y=-1 B. 若|MF|=3, 则点M 的纵坐标为2 C.以 MN为直径的圆与直线y=-1 相切 D.以 MF 为直径的圆与直线y=-1 相切 10. 函数f(x)=Acosω+b(A>0, ω>0)的图象如图所示, 若f(x)的图象与 的图象在 处有公切线，其中 则 A. A=1, b=1 为奇函数 D. f(x)的图象与g(x) = 的图象在x=处的公切线为 11. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 底面ABCD为正方形. E为棱 上的一个点，平面AEC1与棱DD1交于点F，则下列结论正确的有 A. 当点 E为棱BB1的中点时, AE⊥CD1 B.当点 E为棱BB1的中点时，点 D 到平面AEC的距离为 C. 存在点E,使得平面ACE⊥平面ACD1 D.四边形AEC1F的周长的最小值是 数学·第2页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 一、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-*-= 13.盒子中有5个小球，分别标有数字为1，2，3，4，5，这些小球除数字外完全相同，现从中依次随机抽取2个小球(不放回)，记取出的两个小球数字分别为m和n，使得关于x的一元二次方程 有实数根的概率为 . 14. 已知实数,,,满足: 则 |的最大值为 ： 四、解答题:本题共5小题, 其中第15题13 分, 第16、17题15 分, 第18、19 题17分, 共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试(满分100分)，经统计，全部测试成绩均位于[50，100]内, 按区间[50, 60), [60, 70),[70, 80), [80, 90), [90, 100]分成5组, 绘制频率分布直方图如图，其中在[90，100]内的人数为6. (1)求a的值，并估计参加测试的职工的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)； (2)现将[50, 60)和[90, 100]内的所有职工的工号貼在形状、大小和质地均相同的小球上(每个小球贴一个工号)，并放入盒内，从盆中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭档组”.若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内.记取得“黄金搭档组”的次数为X，求X=2的概率和X的数学期望. 16.(15分) 已知数列{}的首项 且满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和 Sn. 数学·第3页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 17. (15分) 已知函数 的图象记为曲线C. (1)若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程； (2)若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值. 18. (17分) 已知椭圆E: 的左焦点为F(-1,0),，过点F且与x轴不重合的直线l交E于A，B，当直线l的斜率为1时，直线l恰好过椭圆的顶点. (1)求椭圆E 的标准方程； (2)若在x轴上存在异于F 的定点Q，使得直线 QA 与直线QB的斜率比值为定值， ①求定点 Q 的坐标； ②求△ABQ 面积的最大值. 19. (17分) 如图，在三棱锥P-ABC中. (1)若PA⊥BC, PB⊥AC, 证明: PC⊥AB; (2)若AB⊥AC, PB⊥平面PAC, AB=AC=4, ①求三棱锥 P-ABC体积的最大值； ②D为平面ABC 内一点, 且点 D 与点A 位于 BC两侧, BD⊥CD, 当 时，求直线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值的最小值. 数学·第4页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第一中学2026届高三年级第三次联考 数学参考答案 命题、审题组教师 杨昆华 刘皖明 莫利琴 毛孝宗 凹婷波 王佳文 顾先成 丁茵 张远雄 蔺书琴 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B C B D A 1．解析：由，可得，解得或或，所以，又，所以，选B． 2. 解析：由题意，，选C． 3．解析：，故，选A． 4．解析：由，得，，所以，选B． 5．解析：顶点坐标为，渐近线方程为，根据点到直线的距离公式，得顶点到渐近线的距离为，选C． 6．解析：设该圆锥的高为，圆柱底面半径为，圆锥底面半径为，则，解得，圆锥的体积为，选B． 7．解析由余弦定理得：，所以，所以，所以为直角三角形，所以，所以，选D． 8．解析：因为，，所以， 设，，则，所以在上单调递增． 当时，，则恒成立， 当时，则恒成立，即恒成立，即， 设，则，所以，在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的最小值为，选A． 二、多选题 题号 9 10 11 答案 ABC ACD BC 9．解析：由抛物线的方程得，对于A，抛物线C的准线方程为，A正确； 对于B，根据抛物线的定义，若，则点到准线的距离为3，则点的纵坐标为2，B正确；对于C，由抛物线定义可知，以为直径的圆与准线相切，C正确；对于D，设，则的中点坐标为，由的长度的一半（圆的半径）为，而中点的纵坐标为，即中点到轴的距离等于圆的半径，D错误，选ABC． 10．解析：由图可知，，A正确；因为，图象不关于原点对称，不是奇函数，B错误；因为，，所以，解得，，C正确；所以的图象与的图象在处的公切线方程为，D正确. 选ACD． 11． 解析：对于A，当点为棱的中点时，取的中点，并连接，则，在长方形中，易知不垂直，所以A错误； 对于B，当点为棱的中点时，可知△是等边三角形，由，可得点到平面的距离为，故B正确； 对于C，在长方体中，平面，连接交于点，则即为二面角的平面角，设由，解得，故C正确； 对于D，如图，在棱上取一点，使，可证，，四边形为平行四边形，周长，将长方体展开在同一平面内，可知：，当点为棱的中点时，四边形的周长的最小值，最小值是，故D错误，选BC． 三、填空题 12．解析：原式=． 13．解析：方程要有实数根，即判别式，满足条件的有10种情况，所以概率为. 14．解析：由，，，可设点，且，因此，点在以原点为圆心，半径为2的圆上，故，所求最大值可转化为点到直线的距离的和的最大值的倍，可看作点的中点到直线距离的最大值的倍，设，由得，即，故点的中点坐标为，则点的中点到直线的距离为，当时，，则的最大值为． 四、解答题 15．解：(1)由题意，得，解得．参加测试的职工的平均成绩估计为（分） ………5分 (2)在上的频率为，由题意得总人数为， 所以在内的人数为． 每次抽取取得“黄金搭档组”的概率，因此， ，的数学期望． ………13分 16．解：(1)由于，则，化简得， 又，则是以为首项，为公比的等比数列， 得，所以． ………7分 (2)由(1)得，，则，则 ，① ，② ①②：，化简后得 ． ………15分 17．解：(1)函数对应图象为曲线，因为点在曲线上，所以，所以，求导得，设切点为，切线方程为:，即，切线过点，所以，即，所以或 ， 所以切点为或，所以切线方程为：或． ………7分 (2)函数，求导得，设切点为，切线方程为，即，切线过点，则，依题意方程有三个不同解，且成等差数列，设三个不同解为， ， 则，结合，得，，所以， 所以． 　　　　　　　　　　　　　　　　 ………15分 18． 解：（1）由题意知，，当直线的斜率为时，直线恰好过椭圆的顶点，所以，所以，所以椭圆的标准方程为． ………4分 (2) (i)由题意知，设，，，设直线的方程为， 联立，得 则，，得， 故 要使为定值，则，解得或(舍去)，此时， 故在轴上存在异于点的定点，使得为定值．　　　　　　　　　　　　 ………12分 (ii) 由(i)可得，， 则 由，故 ， 当且仅当时等号成立，所以△面积的最大值为 ． ………17分 19． 解：（人教A选择性必修一P10第9题）（1）设，，，则， 因为，所以，所以，所以， 所以 ① 又且，所以，所以， 所以，所以 ② 由①②知 ， 所以， 所以，又 ，所以，即． ………6分 （2）(i) 平面，所以，又因为，， 所以平面，所以平面平面， 作，则平面， 由平面，则，故， 所以，当且仅当时取等号， 由，得， 而，所以， 所以三棱锥体积的最大值为． ………11分 （ii）取的中点，以为原点，为轴，过点且平行于的直线为轴，过点且平行于 的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，所以， 即，所以，设与轴交于点，则， 而，点在以为直径的半圆上， 设点，其中 ()， 所以， 平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 所以 ， 因为， 当，时，等号成立， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的最小值为． ………17分 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $