精品解析：天津市南开大学附属中学津南学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

2025－2026学年度第一学期南开学校第一次质量检测 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试时间100分钟.考试结束后，上交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上. 1. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 2. 若，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程一般式转化为斜截式，从而求得正确答案. 【详解】依题意，，，则， 直线可化为， 其中， 所以直线不经过第四象限. 故选：D 3. 已知直线l过点（2，0），且一个方向向量为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方向向量，结合直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】因为直线一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 所以直线l的方程为， 故选：C 4. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以， 故选：A 5. 对任意实数，直线所经过的定点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把直线方程化为点斜式，联立方程组即可求得直线经过的定点. 【详解】直线方程可化为， 令，得， 所以直线所经过的定点是. 故选：A 6. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， 由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为， 故选：C. 7. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行系数满足的关系，列出方程，即可得到结果. 【详解】由，且， 解得或， 故是直线与直线平行充分不必要条件， 故答案选:A 8. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，找到与直线平行并且和相交的直线，即可找到异面直线所成的角，解三角形可求得结果. 【详解】连接如下图所示， 分别是棱和棱的中点， ， 正方体中可知， 是异面直线所成的角， 为等边三角形， . 故选：C. 【点睛】此题是个基础题，考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想. 9. 经过点且在两轴上截距相等的直线是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】讨论直线截距是否为0，应用待定系数法或直接法求直线. 【详解】若所求截距不为，设直线为，则，故所求直线为， 若所求直线过原点和，所以直线方程为. 故选：C 10. 直线过点，与轴、轴的正半轴分别交于，两点，则的面积取得最小值时直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线方程为，将点的坐标代入可得，再利用基本不等式可求出的最小值，从而可求出的值，进而可得直线方程 【详解】设直线方程为， 把点代入得，可得， 从而，当且仅当时等号成立，这时，， 从而所求直线方程为． 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题，共80分） 二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将正确的答案填写到答题纸上. 11. 若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以该直线的斜率. 故答案为： 12. 直线与直线的交点坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】把直线方程联立成方程组，解方程组可得交点坐标. 【详解】由. 所以直线与的交点坐标为. 故答案为： 13. 已知，，三点共线，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三点共线有，结合斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题意，则，即. 故答案为： 14. 在空间直角坐标系中，点，，，的坐标分别是，，，，若，，，四点共面，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据四点共面的性质列式求值. 【详解】设，则， 所以. 又，，，四点共面，所以. 由. 所以. 故答案为： 15. 如图，直三棱柱中，侧棱长为4，，，是的中点，是上的动点，，交于点，要使平面，则线段的长为________. 【答案】1 【解析】 【分析】先把空间中的线面垂直转化为平面上的线线垂直，再利用直线垂直求线段的长. 【详解】因为为等腰直角三角形，且，是的中点， 所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面， 平面平面，平面，所以平面. 平面，所以. 要使平面，只需即可. 在平面中，以为原点建立平面直角坐标系，如图： 则，，，设. 因为，所以.即. 故答案为：1 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： （1）斜率是，经过点； （2）在轴和轴上的截距分别是，； （3）经过两点、. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）应用点斜式、截距式、两点式依次写出直线方程，并化为一般式即可. 【小问1详解】 由点斜式有，整理得； 【小问2详解】 由截距式知，整理得； 【小问3详解】 由两点式知，整理得. 17. 已知直角中，点，，在轴上. （1）求点的坐标； （2）求斜边中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直求直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，最后令可求点坐标. （2）先确定斜边的中点，利用两点式写出斜边中线的方程，再化简即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以. 所以直线的方程为，即. 令，可得. 所以点的坐标为. 【小问2详解】 的斜边为，设中点为，则. 所以直线的方程为：，即. 所以斜边中线所在直线的方程为. 18. 如图，在正方体中， E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （Ⅰ）[方法一]：几何法 如下图所示： 在正方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面； [方法二]:空间向量坐标法 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、，，， 设平面的法向量为，由，得， 令，则，，则. 又∵向量,, 又平面，平面； （Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明； （Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 . 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）[方法一]：几何法 延长到，使得，连接，交于， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵,∴,所以平面即平面, 连接，作,垂足为,连接, ∵平面,平面,∴， 又∵,∴直线平面, 又∵直线平面,∴平面平面, ∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角， 根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角. 设正方体的棱长为2，则,,∴, ∴, ∴, 即直线与平面所成角的正弦值为. [方法二]：向量法 接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量， 又∵,∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. [方法三]：几何法+体积法 如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P． 因为， 所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角． 设正方体的棱长为2，在中，易得， 可得． 由，得， 整理得． 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． [方法四]：纯体积法 设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h， 在中，， ， 所以，易得． 由，得，解得， 设直线与平面所成的角为，所以． 【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明； （II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法. 19. 已知直线的方程为． （Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程； （Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 【答案】（1）（2）直线的方程为：或 【解析】 【详解】试题分析：（1）由直线与垂直，可设直线的方程为：，将点 代入方程解得，从而可得直线的方程；(2)由直线与平行，可设直线的方程，由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得可得直线的方程. 试题解析：（1）设直线的方程为： 直线过点（1，-3）， 解得 直线的方程为：． (2)设直线的方程为： 令，得；令，得 则，得 直线的方程为：或． 20. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，点在线段上运动. （1）判断直线是否垂直于平面，请说明理由； （2）是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）平面， AI 因为三棱柱为直三棱柱，且， 所以两两垂直. 如图以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为，，分别为，，的中点，所以，，. 又点在线段上运动，可设（）. 所以，，，. 因为，， 所以，，平面，且， 所以平面. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直. （2）利用空间向量，结合已知二面角的余弦值，可确定点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则， 令得，，所以. 所以，，. 因为平面与平面的夹角余弦值为， 所以， 又，所以. 故存在点使得平面与平面的夹角余弦值为. 此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期南开学校第一次质量检测 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试时间100分钟.考试结束后，上交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上. 1. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线l过点（2，0），且一个方向向量为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 5. 对任意实数，直线所经过的定点是（ ） A. B. C. D. 6. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ） A. B. C. D. 9. 经过点且在两轴上截距相等的直线是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 直线过点，与轴、轴的正半轴分别交于，两点，则的面积取得最小值时直线方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共80分） 二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将正确的答案填写到答题纸上. 11. 若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为______. 12. 直线与直线的交点坐标为________. 13. 已知，，三点共线，则________. 14. 在空间直角坐标系中，点，，，的坐标分别是，，，，若，，，四点共面，则________. 15. 如图，直三棱柱中，侧棱长为4，，，是的中点，是上的动点，，交于点，要使平面，则线段的长为________. 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： （1）斜率是，经过点； （2）在轴和轴上的截距分别是，； （3）经过两点、. 17. 已知直角中，点，，在轴上. （1）求点的坐标； （2）求斜边中线所在直线的方程. 18. 如图，在正方体中， E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知直线的方程为． （Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程； （Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 20. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，点在线段上运动. （1）判断直线是否垂直于平面，请说明理由； （2）是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $