北京市平谷中学2025-2026学年高二上学期第一次段考数学试题

高二数学第一学期第一次段考试题 2025.10 (满分150分，时间120分钟) 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上) 1.下列直线中，倾斜角为锐角的是(、 .A.y=-2x+1 B.y=1 C.x-y+1=0 D.x=2 2.从数字1、2、3、4、5中，随机抽取两个数字（不允许重复），则这两个数字之和为偶数的概率为 1 A:5 2 B. -5 D. 3.已知直线：y=x-8.则下列结论正确的是（) A.点(2,6在直线1上 B直线1的一个方向向量为)=(1，-1) C.直线1在y轴上的截距为8 D.直线1的倾斜角为 4 4.方程x2+y+2x一y十1=0表示的圆的圆心坐标和半径分别为 A.(1,-3),3B.(-1,3),3C.(1,-3),9 D.（-1,3),9 5.已知ā=（1,2，-y),方=(x1,2),且2川(a-),则() 人xyB2y=号x克y4Dx1y- 6.过点A(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（) A,x-y+3=0 B.x+y-5=0 C.4x-y=0或x-y+3=0 D.4x-y=0或x+y-5=0 7.直线l:m+3y+1=0与Z:2x+(a+1)y+1=0互相平行，则a的值是() A.-3 B.2 C.-3或2 D.3或-2 8.过点(3,1)且与圆x2+y2-4x-6y+12=0相切的直线方程是 (A)3x+4y-13=0 B)2x+3y-9=0或x=3 (C)2x+3y-9=0 (D)3x+4y-13=0或x=3 9.已知直线：a-y+1-k=0和圆C:x2+y2-4x=0,则直线1与圆C的位置关系为（) A.不能确定 B.相交 C.相切 D.相离 10.如图，在正方体ABCD-ABCD中，点P在线段BC,上运动，则下列判断中正确的是（ A.①②④ B.①④ c.0②③ D.③④ B ①BD⊥平面ACD: ②APII平面ACD: ③三棱锥D-APC的体积不变 ④.异面直线4P与AD所成角的取值范围是 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案写在答题纸的相应位置上 11.若两条直线心+2y-1=0与3x-6y-1=0垂直，则a的值为_ 12.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为二和三，则恰有一个人译出密码 3 5 的概率 13.写出一个关于直线x-y+1=0对称的圆的方程 14.已知圆C:(x-3)2+Uy-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0),(m>0).若圆C上存在点P, 使得∠APB=90°，则m的最小值为一 15.关于曲线C:x2+y2=x+y,给出下列四个结论： ①曲线C上的点到原点的距离的最小值为 ②曲线C关于原点对称，也关于x轴、y轴对称： 2 ③曲线C上任意一点到原点的距离都不大于√2：④.曲线C围成的面积是π+2： 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题：（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题 纸上) 16.(本小题满分13分)空气质量指数PM2.5(单位：4g/m)表示每立方米空气中可入肺颗 粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0~35引 35~75 75~115 115~150150~250 >250 空气质级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量芙别 优 良 经度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度 指数数据如茎叶图所示： (1)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内 甲城市 乙城市 哪个城市空气质量总体较好？并说明理由. U 0224 3204 896 (Ⅱ)在15天内任取1天，估计甲、乙两城市 5 5 6 151 64 空气质量类别均为优或良的概率； 78 7 697 8 230 8 807 17.（本小题满分15分) 8 91809 如图，PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=PA=2BC=2,M为PB的中点. (】)求证：AM⊥平面PBC: (T)求二面角A-PC-B的余弦值. (I)点B到平面PAC的距离 B 18.(13分)已知圆M过点A(0,√5)，B1,0),C(-3,0) (I)求圆M的方程： (I)过点(0,2)的直线1与圆M相交于D、E两点，且DE=2√5，求直线1的方程. 19.(14分)某公司购买了A,B,C三种不同品牌的电动智能送风口罩.为了解三种品牌口罩的 电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的 连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）： A 44.5 5 5.5 6 6 B 4.5 5 6 6:5 6.5 1 7 7.5 5 J 5.5 6 7 7 7.5 8 (I)已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品 牌电动智能送风口罩的数量： (Ⅱ)从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A品牌待机时长 高于B品牌的概率； (Ⅲ)再从A,B,C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分 别是a,b,c(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为4，表格 中数据的平均数记为4。.若4，≤4，写出+b+c的最小值（结论不要求证明）· 20.（本小题满分15分) 在如图所示的多面体中，AB∥CD,四边形ACFE为矩形，AB=AE=1,AD=CD=2. (I)求证：平面ABE/∥平面CDF:、 (Ⅱ)设平面BEF∩平面CDF=I,再从条件①、条件②、条件 ③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角R-1-C 的大小确定，并求此二面角的余弦值 条件①：AB⊥AD: 条件②：AE⊥平面ABCD: 条件③：平面AED⊥平面ABCD. 21.(15分)如图，四棱锥E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD,DC∥AB,BC⊥CD, EA⊥ED,且AB=4,BC=CD=EA=ED=2. (I)求证：BD⊥平面ADE: (Ⅱ)求BE和平面CDE所成角的正弦值： (Ⅲ)在线段CE上是否存在一点F,使得平面BDF⊥平面CDE,请说明理由. E