精品解析：四川省成都市新津区成外学校2025-2026学年八年级上学期期初超越杯素养体验数学试题

四川省成都市新津区成外学校2025-2026学年度秋期初2024级超越杯素养体验数学 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（    ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 随意翻开一本书，这页的页码是奇数 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D. 足球运动员射门一次，球射进球门 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件的理解，三角形内角和定理，抓住必然事件一定会发生这一特点是解题的关键．根据必然事件就是一定发生的事件，逐项判断即可． 【详解】解：A、根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为，因此是必然事件，故该选项符合题意； B、书的页码可能是奇数或偶数，属于随机事件，故该选项不符合题意； C、交通信号灯有红、黄、绿三种可能，遇到绿灯是随机事件，故该选项不符合题意； D、足球射门可能进球也可能不进球，结果具有不确定性，属于随机事件，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 计算的结果是（    ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，掌握该知识点是解题的关键． 先将化为，再根据积的乘方的逆运算进行计算即可； 【详解】解： ． 故选D． 3. 已知m+n=2，mn=-2，则（1-m）（1-n）的值为（　　） A. B. 1 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先化简（1-m）（1-n）整理，再将m+n=2，mn=-2代入即可得到答案. 详解】∵m+n=2，mn=-2， ∴（1-m）（1-n）=1-n-m+mn=1-（n+m）+mn=1-2-2=-3； 故选C． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式，并用代入法进行求解. 4. 若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　） A. ﹣1 B. 2 C. 3 D. ﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】先将式子（x2+2x+4）（x+k）展开，根据关于x的多项式乘多项式（x2+2x+4）（x+k）的结果中不含有x的一次项，可以求得k的值． 【详解】解：（x2+2x+4）（x+k） ＝x3＋kx2+2x2+2kx+4x+4k ＝x3＋（k+2）x2+（2k+4）x+4k， ∵关于x的多项式乘多项式（x2+2x+4）（x+k）的结果中不含有x的一次项， ∴2k+4＝0， 解得，k＝−2， 故选D． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 5. 下列等式变形，错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立；等式的性质3：等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意； B．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意； C．∵·，∴，变形正确，故本选项不符合题意； D．由能推出或，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，能正确根据等式的基本性质进行变形是解此题的关键． 6. 下列说法正确的有（ ） ①的立方根是，②49的算术平方根是，③的立方根是，④的平方根是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，根据立方根、平方根和算术平方根的定义分别对每小题进行分析，即可得出答案． 【详解】解：①的立方根是，原说法正确； ②49的算术平方根是7，原说法错误； ③的立方根是，原说法正确； ④的平方根是，原说法错误； 所以，正确的个数有2个； 故选：B． 7. 如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？“意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设木长为尺，绳子长为尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设木长为尺，绳子长为尺， 根据题意得， 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若代数式与值相等，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴ 解得： 故答案为：． 10. 若则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法和幂的乘方，熟练掌握相关法则是解题关键； 熟练逆用同底数幂的除法、乘法和幂的乘方公式，对代数式进行变形，即可整体代入求值．解片段 【详解】解：， ， 因为， 所以原式=， 故答案为： 11. 等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形，分两种情况：顶角的外角是和底角的外角是，利用外角的定义、等腰三角形的定义及三角形内角和定理分别计算即可． 【详解】解：分两种情况： （1）当顶角的外角是时，顶角的度数为：； （2）当底角的外角是时，底角的度数为：， 顶角的度数是：， 故答案为：或． 12. 小红种了一株树苗，开始时树苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，x月后这株树苗的高度为h厘米，则h与x的函数关系式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，根据高度等于原来的高度加上增长的高度，列出关系式即可． 【详解】解：由题意，得：h与x的函数关系式为：； 故答案为： 13. 如图，在等边三角形中，是角平分线，P为线段上一动点，M为的中点，连接，若的最小值为15cm，则______cm． 【答案】15 【解析】 【分析】如图所示，连接，先证明在线段的垂直平分线上，则，进而推出当三点共线时，的值最小，即的值最小，再由等边三角形的性质即可得到答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵是等边三角形，是角平分线， ∴在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即的值最小， ∴， 又∵M是的中点，是等边三角形， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，确定当三点共线时，的值最小，即的值最小是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算： （1）先计算乘方、开方以及绝对值，再进行加减运算； （2）先计算乘方，再进行除法运算，最后相乘 ． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算化简求值，完全平方公式．先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 16. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB=DE，AB∥DE，BE=CF． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）80° 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△ABC≅△DEF可推出∠ACB=∠F，即可证明AC∥DF； （2）根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF， ∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC， 即BC=EF， 又AB=DE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≅△DEF(SAS)， ∴∠ACB=∠F， ∴AC∥DF； 【小问2详解】 解：由（1）得，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F， ∴∠DEF=∠B=65°，∠ACB=∠F=35°， 在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC=180°， ∴∠EOC=180°−∠DEF−∠ACB =180°−65°−35° =80°． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． （1）在网格中作关于直线对称的． （2）结合所画图形，在直线上作出点，使的值最小，若这个最小值为，求的值． 【答案】（1）见详解 （2）图见详解，61 【解析】 【分析】本题主要考查了网格和三角形的结合，轴对称的性质，线段和最值问题，勾股定理等内容，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）利用轴对称的性质确定对称点，然后连接对称点即可； （2）利用轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点连成的线段，得出，再根据两点之间线段最短确定此时的值最小，最后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 小问2详解】 解：如图，点即为所求， 由勾股定理得， ∴的值为61． 18. 如图1，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，∠ACE＝45°． （1）求证：△AEF≌△CEB． （2）若G在BC的延长线上，连接GA，若GA＝GB，求证：AC平分∠DAG． （3）如图2，在（2）的条件下，H为AG的中点，连接DH交AC于M，连接EM、ED，若S△EMC＝4，∠BAD＝15°，求AM的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）先判断出AE=CE，再利用等角的余角相等判断出∠EAF=∠ECB，进而判断出，即可得出结论； （2）先利用三角形外角的性质得出∠AEF=45+∠CAD，进而得出∠B=45+∠CAD，而∠B=∠BAG，得出∠BAG=45+∠CAD，而∠BAG=45+∠CAG，即可得出结论； （3）先判断出ADH是等边三角形，进而利用含30度角的直角三角形的性质判断出AM=3CM，进而求出ACM的面积，即可求出AE，进而求出AC，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACE＝45°， ∴∠CAE＝45°＝∠ACE， ∴AE＝CE， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ECB+∠CFD＝90°， ∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠ECB+∠AFE＝90°， ∵∠EAF+∠AFE＝90°， ∴∠EAF＝∠ECB， 在AEF和CEB中， ， ∴（ASA）； 【小问2详解】 ∵， ∴∠AFE＝∠B， ∵∠AFE＝∠ACE+∠CAD＝45°+∠CAD， ∴∠B＝45°+∠CAD， ∵AG＝BG， ∴∠B＝∠BAG， ∴∠BAG＝45°+∠CAD， ∵∠BAG＝∠CAE+∠CAG＝45°+∠CAG， ∴∠CAD＝∠CAG， ∴AC平分∠DAG； 【小问3详解】 ∵∠BAD＝15°，∠CAE＝45°， ∴∠CAD＝∠CAE﹣∠BAD＝30°， ∵∠CAD＝∠CAG， ∴∠DAG＝2∠CAD＝60°， 在Rt△ADG中，点H是AG的中点， ∴DH＝AH， ∴△ADH是等边三角形， ∴∠ADH＝60°，AD＝AH， ∵∠CAD＝∠CAG， ∴AC⊥DH， 即：∠AMD＝∠DMC＝90° ∵∠ADC＝90°， ∴∠CDM＝30°， 在Rt△DMC中，DM＝CM， 在Rt△AMD中，AM＝DM＝×CM＝3CM， ∴S△AEM＝3S△CEM＝3×4＝12， ∴S△ACE＝S△CEM+S△AEM＝16， ∵∠AEC＝90°，AE＝CE， ∴S△ACE＝AE2＝16， ∴AE＝4， ∴AC＝AE＝8， ∴AM+CM＝8， ∵AM＝3CM， ∴3CM+CM＝8， ∴CM＝2， ∴AM＝3CM＝6． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等角的余角相等，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，求出AE是解本题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，，则的值为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据幂的乘方可得，再根据同底数幂除法的逆用即可得． 【详解】解：， ，即， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂除法的逆用，熟练掌握各运算法则是解题关键． 20. 在中，已知，斜边上的高是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等积法求线段的长，利用勾股定理求出的长，设斜边上的高是，等积法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设斜边上的高是， 则， ∴； 故答案为：． 21. 如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查用图象表示变量的关系，读懂图象获取有效信息是解题的关键．根据题意可知，当点P在上运动时，的面积不变，即当点P运动到点A时，的面积即a的值，再根据点P沿运动到D时的路程为，求得b的值即可． 【详解】解：根据题意可知，当点P在上运动时，的面积不变， ∴当点P运动到点A时，， ∵在长方形中，，， ∴， 由图可知，当点P运动到点D时，此时点P的运动路程为， 即， ∴， ∴． 故答案：3． 22. 小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是 ______ 【答案】#### 【解析】 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】如图所示： 由勾股定理知：， ， 即电梯内能放入这些木条的最大长度是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 23. 如果一个四位自然数满足，那么称这个四位数为“和雅数”．例如：四位数8031，因为，所以8031是“和雅数”；又如：四位数9132，因为，所以9132不是“和雅数”． 若是“和雅数”，则的最大值是__________； 若是一个“和雅数”，去掉其十位数字得到一个三位数，记，若是11的倍数，则的最大值与最小值的和为__________． 【答案】 ①. 9609 ②. 5 【解析】 【分析】根据个位数字最大是9 ，千位数字最大也是9，故，故，当时最大，故最大值是9609；根据题意即。代入解答即可． 本题考查了数的整除，熟练掌握整除是解题的关键． 【详解】解：是“和雅数”，则，个位数字最大是9 ，千位数字最大也是9，故，故，当时最大，故的最大值是9609； 根据题意，是一个“和雅数”，则，去掉其十位数字得到一个三位数，， 又是11的倍数， 故， 故c一定是奇数， 当时，， 当时，， 当时，舍去， 当，时，最大，且为， 当，时，最小，且为， 故， 故答案为：9609，5 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积. 方法1：__________；方法2：__________； （2）观察图2，请你写出代数式，之间的等量关系：_______； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）； 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式的几何意义： （1）方法1可根据正方形面积公式算，方法2可根据大正方形的面积为四个小纸片的面积之和来算； （2）根据（1）可知等量关系； （3）①根据（2）的等量关系得到，代入即可；②设，则，按照（2）的等量关系计算即可． 【小问1详解】 方法1：大正方形的边长为， 大正方形的面积为； 方法2：大正方形的面积； 【小问2详解】 根据（1）可知：； 【小问3详解】 ①， ， ，， ； ②设， ， ， ， ． 25. 已知、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从地出发驶往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程（千米）与该日下午时间（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）直接写出：甲出发__________小时后，乙才开始出发；乙的速度为__________千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为__________千米/时． （2）求甲出发几小时后与乙在途中相遇？ （3）若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为千米．若乙到达地后休息半小时原路返回地，求甲乙两人能够通讯的最大时长． 【答案】（1）；； （2）甲出发小时后与乙在途中相遇 （3）甲乙两人能够通讯的最大时长为小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解此题的关键． （1）观察图象并根据速度路程时间计算即可得解； （2）求出段的函数关系式为，段对应的函数关系式为，结合当二人相遇时，得，计算即可得解； （3）将二人之间的距离不超过千米的时间段加起来即可． 【小问1详解】 解：由图可得：甲出发小时后，乙才开始出发； 乙的速度为千米/时； 甲骑自行车在全程的平均速度为千米/时； 【小问2详解】 解：设段的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得， 段的函数关系式为， 同理可得：段对应的函数关系式为， 当二人相遇时，得， 解得， （小时）， 故甲出发小时后与乙在途中相遇； 【小问3详解】 解：乙到达地后休息半小时原路返回地的图象（对应线段），如图所示： ， 二人第一次相遇前，相距千米时，得， 解得； 二人第一次相遇后至乙到达地前，相距千米时，得， 解得：； 由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米，（小时）， 当时，乙休息结束，乙开始返回地， 当时，乙返回地， 乙返回地过程中离地距离为（千米），这个过程中当二人之间的距离不超过千米时，得， 解得：， 由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米， （小时）， （小时）， 故甲乙两人能够通讯的最大时长为小时． 26. 如图，和都是等腰三角形，，且，连接． （1）如图1，当点D在的内部时，求证：； （2）如图2，，且点E落在边上．若M为上的一点，且，求的周长； （3）如图3，，点H为底边的中点，过点H作的垂线（点F在直线下方），连接．当时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，证明即可得出结论； （2）先证明，得出，，再证明垂直平分，即可求出结论； （3）延长到点I，使，连接，证明， 得，，再证明，从而证明，可得出求出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 即． ∵，， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 即． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴垂直平分． ∴． ∴的周长为． 【小问3详解】 解：延长到点I，使，连接． ∵， ∴． 即． ∵，， ∴ ． ∴，． ∵点H为底边的中点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∵， ∴． ∵ 即． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形．熟练掌握等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理，是解题关键， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市新津区成外学校2025-2026学年度秋期初2024级超越杯素养体验数学 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（    ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 随意翻开一本书，这页的页码是奇数 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D 足球运动员射门一次，球射进球门 2. 计算的结果是（    ） A. B. C. D. 3 3. 已知m+n=2，mn=-2，则（1-m）（1-n）的值为（　　） A. B. 1 C. D. 5 4. 若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　） A. ﹣1 B. 2 C. 3 D. ﹣2 5. 下列等式变形，错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 下列说法正确的有（ ） ①的立方根是，②49的算术平方根是，③的立方根是，④的平方根是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（    ） A B. C. D. 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？“意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若代数式与值相等，则的值是______． 10. 若则___________． 11. 等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数是______． 12. 小红种了一株树苗，开始时树苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，x月后这株树苗的高度为h厘米，则h与x的函数关系式为___________． 13. 如图，在等边三角形中，是角平分线，P为线段上一动点，M为的中点，连接，若的最小值为15cm，则______cm． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB=DE，AB∥DE，BE=CF． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． （1）在网格中作关于直线对称的． （2）结合所画图形，在直线上作出点，使的值最小，若这个最小值为，求的值． 18. 如图1，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，∠ACE＝45°． （1）求证：△AEF≌△CEB． （2）若G在BC的延长线上，连接GA，若GA＝GB，求证：AC平分∠DAG． （3）如图2，在（2）的条件下，H为AG的中点，连接DH交AC于M，连接EM、ED，若S△EMC＝4，∠BAD＝15°，求AM的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，，则的值为____________． 20. 在中，已知，斜边上的高是__________． 21. 如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中_____． 22. 小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是 ______ 23. 如果一个四位自然数满足，那么称这个四位数为“和雅数”．例如：四位数8031，因为，所以8031“和雅数”；又如：四位数9132，因为，所以9132不是“和雅数”． 若是“和雅数”，则的最大值是__________； 若是一个“和雅数”，去掉其十位数字得到一个三位数，记，若是11的倍数，则的最大值与最小值的和为__________． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积. 方法1：__________；方法2：__________； （2）观察图2，请你写出代数式，之间的等量关系：_______； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，，求的值； ②已知，求值． 25. 已知、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从地出发驶往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程（千米）与该日下午时间（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）直接写出：甲出发__________小时后，乙才开始出发；乙的速度为__________千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为__________千米/时． （2）求甲出发几小时后与乙在途中相遇？ （3）若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为千米．若乙到达地后休息半小时原路返回地，求甲乙两人能够通讯的最大时长． 26. 如图，和都是等腰三角形，，且，连接． （1）如图1，当点D在的内部时，求证：； （2）如图2，，且点E落在边上．若M为上的一点，且，求的周长； （3）如图3，，点H为底边的中点，过点H作的垂线（点F在直线下方），连接．当时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $