精品解析：湖北省荆州中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷

荆州中学2025级高一年级10月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数是奇函数.若函数，，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 4. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知函数的零点是，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中，不正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. “”是“一元二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. 若集合中只有一个元素，则 D. 若，则实数的可能取值集合为 10. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①,；②,，当时，都有；③ 则下列选项成立的是（ ） A. B. 成立的充要条件是 C. 若，则 D. ，，使得 11. 已知函数的定义域为，且．若为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，集合，则________. 13. 函数的单调减区间是_________． 14. 若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围是________________． 四、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若函数在区间上不具有单调性，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围； （3）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知定义在的函数，，满足对，等式恒成立且当时，. （1）求，的值； （2）解关于的不等式：. 17. 居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设AD长为. （1）现沿着休闲场所边界铺设灯带，总长度为64m，求花岗岩地坪面积z的最大值； （2）若十字形地域面积为，设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式，当x为何值时S最小，并求出这个最小值. 18. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使成立，则称为的不动点.记，已知在有两个相异的不动点，求实数c的取值范围. 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2025级高一年级10月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的真子集个数,判断出集合中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解即可. 【详解】由集合有且仅有1个真子集，可得集合中有且只有一个元素， 所以方程有2个相等的实数解， 即，解得， 所以实数的取值集合为， 故选：B. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分式不等式合理变形，再求解集即可. 【详解】因为，所以， 解得，故D正确. 故选：D 3. 设函数是奇函数.若函数，，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数定义可得，再利用赋值法由代入计算可得结果. 【详解】由函数是奇函数可知， 因此可得； 又，因此； 两式相加可得； 又，因此. 故选：B 4. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定判断即可. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 命题p：，， 则命题p的否定为：，． 故选:A． 5. 已知函数的零点是，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的零点结合根与系数的关系得，，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】由韦达定理，可得：，， 那么：， ， ，当且仅当取得等号， 即， 故的最大值为. 故选：D. 6. 已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域和值域都是， 令，解得，所以函数的定义域为， 由的值域得的值域为． 故选：D 7. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质，结合题中定义、充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】，则， 表示不大于的最大整数， ，要求不等式成立的充分不必要条件， 只要求出不等式解集的一个非空真子集即可， 只有选项B符合题意 故选：B 8. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别令、和，运算求解即可. 【详解】因为， 令，可得； 令，可得； 两式相加可得， 令，可得； 则，即. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中，不正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. “”是“一元二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. 若集合中只有一个元素，则 D. 若，则实数的可能取值集合为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可判断A；利用一元二次方程根与系数的关系计算可判断B；利用，计算可判断C；利用元素与集合的关系计算，结合集合元素的互异性可判断D. 【详解】对于A，， 当且仅当时取等号，但无解，故等号不成立， 故的最小值不为4，故A错误； 对于B，一元二次方程有一正根一负根， 则，因此得， 当时，则，可知方程有两个不相等的实根， 且，所以一元二次方程有一正根一负根， 故“”是“一元二次方程有一正根一负根”的充要条件，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，因为，所以或或， 解得或或， 当，，符合题意； 当，，不满足集合元素的互异性，故不符合题意； 当，，符合题意； 当，，符合题意； 故实数的可能取值集合为，故D错误. 故选：ACD. 10. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①,；②,，当时，都有；③ 则下列选项成立的是（ ） A. B. 成立的充要条件是 C. 若，则 D. ，，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题设条件依次判断函数的奇偶性和单调性，结合选项要求利用函数的单调性、图象对称性和最值分析逐一判断即可. 【详解】定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件： ①，，说明函数是偶函数；②，当时，都有，则函数在上是增函数；③. 对于A，成立，故A错误； 对于B，因 ，解得，故B正确； 对于C，由①得是定义在上的偶函数，则，又函数在是增函数， 所以当或时，；当时，， 则等价于或可得，故C正确； 对于D，因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是增函数， 即是函数的最小值，则，，使得，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，且．若为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到，，取，，，代入计算得到答案. 【详解】为奇函数，故，即， 为偶函数，即. 取得到，故，A错误； 取得到，B正确； 取得到，即，C错误； 取得到，即，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，集合，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据集合的相等含义，易得，又由推得，即可代入求值. 【详解】由题意知，所以，则，又，所以，. 故. 故答案为：2. 13. 函数的单调减区间是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先求出函数的定义域，再利用二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解. 【详解】，则， 解得或， 所以函数的定义域为， 令， 所以函数的单调递减区间为， 又因为为增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 14. 若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：关于x的不等式（2x－1）2<ax2等价于，其中且有，故有，不等式的解集为，所以解集中一定含有1,2,3，可得，所以，解得. 考点：含参数的一元二次方程的解法. 四、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若函数在区间上不具有单调性，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围； （3）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据二次函数对称轴在区间内进行求解即可； （2）直接根据二次函数根的分布进行求解即可. （3）首先进行分离参数得：恒成立，然后通过均值不等式求解最小值，进而得到参数的取值范围. 【小问1详解】 已知函数，其对称轴为. 又在区间不具有单调性，因此可得：，解得：. 【小问2详解】 若关于的方程有两个大于且不相等的实根， 则，解得或. 所以实数的取值范围是或； 【小问3详解】 时，恒成立， 即恒成立，即恒成立， 令，则恒成立，即， 因为，所以，当且仅当时取到等号， 所以实数的取值范围是. 16. 已知定义在的函数，，满足对，等式恒成立且当时，. （1）求，的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1），. （2）不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）令求，令求，令求. （2）用定义法结合题目条件证明在上单调递增，把不等式等价变形，利用函数的单调性求不等式的解集. 【小问1详解】 令，得， ∴. 令，得， 令，得，即， ∴. 【小问2详解】 设任意的，则， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴函数在上单调递增. 令，得， 不等式可转化为， ∴， 解得， ∴不等式的解集为. 17. 居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设AD长为. （1）现沿着休闲场所边界铺设灯带，总长度为64m，求花岗岩地坪面积z的最大值； （2）若十字形地域面积为，设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式，当x为何值时S最小，并求出这个最小值. 【答案】（1） （2）,，（元） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）根据题意列出造价的表达式，即可利用基本不等式求解最值得解. 【小问1详解】 设，灯带长度即 花岗岩地坪面积 ，，， ，, 当且仅当时取等, 综上，面积最大值为 【小问2详解】 两个相同的矩形构成的面积为，，, 且（） ，矩形面积为，正方形面积为 ； ， 当且仅当，即时，（元） 故当，即时，总造价最小 18. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使成立，则称为的不动点.记，已知在有两个相异的不动点，求实数c的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，解方程组即可求解； （2）由（1）知等价于，即，令，利用单调性求出的最大值即可求解； （3）由题意可得，即是方程的两个互异的正根，即，解出即可求解. 【小问1详解】 由题意有：，解得； 【小问2详解】 由（1）知等价于， 因为存在，使得成立，所以 令， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，故， 故实数的取值范围是； 【小问3详解】 由已知有：，依题意可得， 即是方程的两个互异的正根， 故，解得， 故实数c的取值范围是. 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）4； （2）（ⅰ）， 故， 故函数的图像关于点对称； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由对称性得到，故； （2）（ⅰ）计算得到，得到的图像关于点对称； （ⅱ）分离常数得到在上单调递增，求出的值域为，设在上的值域为，由题意得，分，和三种情况，结合对称性，得到的单调性，得到值域，结合得到不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 函数的图像关于点对称， 故， 令得； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）， 故在上单调递增，其中， ， 故的值域为， 设在上的值域为，由题意得， 图象开口向上，对称轴为，且， 当时， 若，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，故在上单调递增， 因为，所以， 所以，由得，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可知，或， 因为，所以， ， 又， 所以， 所以当时，满足； 当，即时，在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，故在上单调递减， 因为，所以， 所以，由得，解得， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法， 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $