空间向量的概念及运算讲义-2026届高三数学一轮复习

空间向量的概念及运算 课前必备知识 课标要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及坐标的表示.2.掌握空间向量的加法、减法、数乘向量及两向量的数量积的运算和坐标运算.3.理解直线的方向向量与平面的法向量，能用向量语言表达线线、线面、面面的垂直与平行关系.4.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些简单命题． 知识梳理 1．空间向量及其加减与数乘运算 (1)空间向量：在空间，我们把具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量．与平面向量一样，空间向量也用__有向线段__表示．__方向相同且模相等__的有向线段表示相等向量． (2)空间向量的加法、减法与数乘向量是平面向量对应运算的推广． 空间向量的加法与数乘向量满足如下运算律： ①交换律：a＋b＝__b＋a__． ②结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__，λ(μa)＝__(λμ)a__． ③分配律：(λ＋μ)a＝__λa＋μa__，λ(a＋b)＝__λa＋λb__. 2．共线向量与共面向量 (1)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线__互相平行或重合__，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a∥b. (2)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__a＝λb__. (3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝__xa＋yb__. 结论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝__x＋y__． 3．空间向量基本定理 空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__xa＋yb＋zc__． 结论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝__x＋y＋z__． 4．两个向量的数量积 (1)已知空间两个非零向量a，b，则__|a||b|cos__〈a，b〉__叫做a，b的数量积，记作a·b.其中〈a，b〉表示向量a，b的__夹角__，其范围为__[0，π]__． (2)空间向量的数量积具有如下性质： ①a·e＝|a|cos 〈a，e〉(e为单位向量)． ②a⊥b⇔__a·b＝0__． ③|a|2＝__a·a__． (3)空间向量的数量积满足如下运算律： ①(λa)·b＝__λ(a·b)__，λ∈R. ②a·b＝__b·a__． ③a·(b＋c)＝__a·b＋a·c__． 5．空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立x轴、y轴、z轴三条数轴，它们都叫做__坐标__轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标__向量__． 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的__坐标__，记作A(x，y，z)．其中x，y，z分别叫做点A的横坐标、纵坐标和竖坐标． 6．空间向量运算的坐标表示 (1)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a＋b＝__(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)__； a－b＝__(a1－b1，a2－b2，a3－b3)__； a·b＝__a1b1＋a2b2＋a3b3__； a∥b⇔__a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3__(λ∈R) 或＝__＝__(b1b2b3≠0)． a⊥b⇔__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__． (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则＝__(x2－x1，y2－y1，z2－z1)__． 7．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 8．利用向量的知识判定线面平行的方法 (1)直线与直线平行的判定方法： 设不重合的直线a和b的方向向量分别为a，b，则a∥b⇔a＝__λb__． (2)直线与平面平行的判定方法： ①设平面α外的直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，则a∥α⇔__a·n＝0__． ②设平面α外的直线a的方向向量为a，e1，e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则a∥α⇔__a＝λ1e1＋λ2e2__． (3)平面与平面平行的判定方法： ①设不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则α∥β⇔__n1＝λn2__． ②设两个不重合的平面α，β，若平面α的法向量为n，则α∥β⇔__n⊥β__． 9．利用向量的知识判定线面垂直的方法 (1)直线与直线垂直的判定方法： 设不重合的两条直线a和b的方向向量分别是a和b，则a⊥b⇔__a·b＝0__． (2)直线与平面垂直的判定方法： ①设直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，则a⊥α⇔__a＝λn__． ②设直线a的方向向量为a，e1，e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则a⊥α⇔__a·e1＝0且a·e2＝0__． (3)平面与平面垂直的判定方法 ①设平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则α⊥β⇔n1·n2＝0. ②设平面α的法向量为n，e1，e2是平面β的一组基底(不共线的向量)，则α⊥β⇔n＝λ1e1＋λ2e2. 常用结论 (1)夹角公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 cos〈a，b〉＝____． (2)空间两点间的距离公式： 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 dA，B＝|| ＝____． 课前训练 1．向量a，b分别是直线l1，l2的方向向量，且a＝(1，3，5)，b＝(x，y，2)，若l1∥l2，则(　　) A．x＝，y＝ B．x＝3，y＝15 C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 2．若向量a＝(1，－2，1)，b＝(2，0，1)，则|2a－b|＝(　　) A. B．4 C．1 D．3 3．(教材母题选必修习题1.1T5)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，P为AD1与A1D的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b－c B．a＋b＋c C．－a＋b＋c D．－a－b＋c 4．(教材母题选必修习题1.3T9)已知在空间中，{a，b，c}是空间的一组单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一组基底．若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(　　) A．(4，0，3) B．(1，2，3) C．(3，1，3) D．(2，1，3) 5．(教材母题选必修1.1.2练习T1改编)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的正弦值为__________． 　　　　　　　　 课堂核心考点 考点1　空间向量及其运算 【例1】 (1)设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为__________． (2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，则＝(　　) A.a＋b＋c B.a＋b＋c C.a＋b＋c D．a＋b＋c (3)已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则·的最大值是________，最小值是________． 1．在进行空间向量的运算时应类比平面向量的运算，两者运算法则是类似的． 2．用已知向量表示未知向量，以及进行向量表达式的化简时，一定要注意结合实际图形，向量加法的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立． 3．选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求的同时，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量. 变式探究 1．在三棱柱ABC­A1B1C1中，E是BC的中点，＝2，则＝(　　) A.－＋ B.＋＋ C．－＋＋ D．－＋－ 2．已知向量a＝(2，－3，0)，b＝(0，3，4)，则向量a在向量b方向上的投影向量为________________． 3．(多选)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则下列说法正确的是(　　)　　 A．当λ＝0时，点P在棱BB1上 B．当λ＝μ时，点P在线段B1C上 C．当μ＝1时，点P在棱B1C1上 D．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 考点2　空间向量在计算问题中的应用 【例2】 (1)如图1，ABCD­A1B1C1D1为正方体，动点P在对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，实数λ的取值范围为________________． (2)如图2，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝7，则CD的长为________． 　　 (3)如图3，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝AD，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.则异面直线A1D与A1C所成角的余弦值为_______________．　　 1．应用空间向量计算有关几何量(边长、夹角)有坐标法和基向量法，注意由题设情境恰当选择． 2．当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是α∈(0，]，θ∈[0，π]，所以cos α＝|cos θ|＝. 3．立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝转化为向量求解. 变式探究 4．已知空间三点A(3，2，0)，B(6，1，－2)，C(5，－1，1)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为(　　) A. B．7 C. D．7 5．在棱长为a的正四面体OABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则MN的长为__________． 6．把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD与平面CBD所成二面角的大小为60°，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为(　　) A. B．－ C．－ D. 考点3　空间向量在判定空间线面位置关系中的应用 【例3】 如图，棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都为2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求证：BD⊥ AA1.　　 (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由． (1)利用空间向量证明空间中的位置关系，其基本步骤包括：①建立好空间直角坐标系；②写出相关点的坐标；③求相关向量；④计算证明． (2)证明垂直关系一般是转化为线线垂直来证，证明直线与平面垂直也可证直线的方向向量与平面的法向量平行，证明两平面垂直，也可利用两平面的法向量垂直来证． (3)证明线面平行，一般利用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证. 变式探究 7．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证： (1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间向量的概念及运算 课前必备知识 课标要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及坐标的表示.2.掌握空间向量的加法、减法、数乘向量及两向量的数量积的运算和坐标运算.3.理解直线的方向向量与平面的法向量，能用向量语言表达线线、线面、面面的垂直与平行关系.4.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些简单命题． 知识梳理 1．空间向量及其加减与数乘运算 (1)空间向量：在空间，我们把具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量．与平面向量一样，空间向量也用__有向线段__表示．__方向相同且模相等__的有向线段表示相等向量． (2)空间向量的加法、减法与数乘向量是平面向量对应运算的推广． 空间向量的加法与数乘向量满足如下运算律： ①交换律：a＋b＝__b＋a__． ②结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__，λ(μa)＝__(λμ)a__． ③分配律：(λ＋μ)a＝__λa＋μa__，λ(a＋b)＝__λa＋λb__. 2．共线向量与共面向量 (1)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线__互相平行或重合__，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a∥b. (2)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__a＝λb__. (3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝__xa＋yb__. 结论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝__x＋y__． 3．空间向量基本定理 空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__xa＋yb＋zc__． 结论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝__x＋y＋z__． 4．两个向量的数量积 (1)已知空间两个非零向量a，b，则__|a||b|cos__〈a，b〉__叫做a，b的数量积，记作a·b.其中〈a，b〉表示向量a，b的__夹角__，其范围为__[0，π]__． (2)空间向量的数量积具有如下性质： ①a·e＝|a|cos 〈a，e〉(e为单位向量)． ②a⊥b⇔__a·b＝0__． ③|a|2＝__a·a__． (3)空间向量的数量积满足如下运算律： ①(λa)·b＝__λ(a·b)__，λ∈R. ②a·b＝__b·a__． ③a·(b＋c)＝__a·b＋a·c__． 5．空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立x轴、y轴、z轴三条数轴，它们都叫做__坐标__轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标__向量__． 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的__坐标__，记作A(x，y，z)．其中x，y，z分别叫做点A的横坐标、纵坐标和竖坐标． 6．空间向量运算的坐标表示 (1)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a＋b＝__(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)__； a－b＝__(a1－b1，a2－b2，a3－b3)__； a·b＝__a1b1＋a2b2＋a3b3__； a∥b⇔__a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3__(λ∈R) 或＝__＝__(b1b2b3≠0)． a⊥b⇔__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__． (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则＝__(x2－x1，y2－y1，z2－z1)__． 7．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 8．利用向量的知识判定线面平行的方法 (1)直线与直线平行的判定方法： 设不重合的直线a和b的方向向量分别为a，b，则a∥b⇔a＝__λb__． (2)直线与平面平行的判定方法： ①设平面α外的直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，则a∥α⇔__a·n＝0__． ②设平面α外的直线a的方向向量为a，e1，e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则a∥α⇔__a＝λ1e1＋λ2e2__． (3)平面与平面平行的判定方法： ①设不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则α∥β⇔__n1＝λn2__． ②设两个不重合的平面α，β，若平面α的法向量为n，则α∥β⇔__n⊥β__． 9．利用向量的知识判定线面垂直的方法 (1)直线与直线垂直的判定方法： 设不重合的两条直线a和b的方向向量分别是a和b，则a⊥b⇔__a·b＝0__． (2)直线与平面垂直的判定方法： ①设直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，则a⊥α⇔__a＝λn__． ②设直线a的方向向量为a，e1，e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则a⊥α⇔__a·e1＝0且a·e2＝0__． (3)平面与平面垂直的判定方法 ①设平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则α⊥β⇔n1·n2＝0. ②设平面α的法向量为n，e1，e2是平面β的一组基底(不共线的向量)，则α⊥β⇔n＝λ1e1＋λ2e2. 常用结论 (1)夹角公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 cos〈a，b〉＝____． (2)空间两点间的距离公式： 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 dA，B＝|| ＝____． 课前训练 1．向量a，b分别是直线l1，l2的方向向量，且a＝(1，3，5)，b＝(x，y，2)，若l1∥l2，则(　　) A．x＝，y＝ B．x＝3，y＝15 C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析：C　因为l1∥l2，所以a∥b，所以a＝tb，所以(1，3，5)＝t(x，y，2)，所以解得x＝，y＝.故选C. 2．若向量a＝(1，－2，1)，b＝(2，0，1)，则|2a－b|＝(　　) A. B．4 C．1 D．3 解析：A　因为a＝(1，－2，1)，b＝(2，0，1)，所以2a－b＝2(1，－2，1)－(2，0，1)＝(0，－4，1)，所以|2a－b|＝＝.故选A. 3．(教材母题选必修习题1.1T5)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，P为AD1与A1D的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b－c B．a＋b＋c C．－a＋b＋c D．－a－b＋c 解析：B　在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中， ＝－ ＝－(＋) ＝(a＋b＋c)－(b＋c) ＝a＋b＋c.故选B. 4．(教材母题选必修习题1.3T9)已知在空间中，{a，b，c}是空间的一组单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一组基底．若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(　　) A．(4，0，3) B．(1，2，3) C．(3，1，3) D．(2，1，3) 解析：C　设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc， 又向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)， 则p＝4a＋2b＋3c， 所以4a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc， 即4a＋2b＋3c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc， 所以解得所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3，1，3)．故选C. 5．(教材母题选必修1.1.2练习T1改编)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的正弦值为__________． 解析：　取线段AC的中点O，则BO⊥AC. 设直三棱柱ABC­A1B1C1的棱长为2，以点O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)，M(0，0，2)，B(，0，0)，C1(0，1，2)， 所以＝(0，1，2)，＝(－，1，2)， 则cos〈，〉＝＝＝. 所以sin〈，〉＝＝. 　　　　　　　　 课堂核心考点 考点1　空间向量及其运算 【例1】 (1)设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为__________． (2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，则＝(　　) A.a＋b＋c B.a＋b＋c C.a＋b＋c D．a＋b＋c (3)已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则·的最大值是________，最小值是________． 解析：(1)－8　因为A，B，D三点共线，所以∃λ∈R，使得＝λ， 又＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2， 所以＝＋－＝(2e1＋ke2)＋(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝e1＋(k＋4)e2， 则2e1＋ke2＝λ[e1＋(k＋4)e2]， 则解得k＝－8. (2)A　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，连接OG， 则＝＋ ＝(＋)＋(＋) ＝(＋)＋[(＋)＋＋(＋)＋] ＝(b＋c)＋(－b＋c)＋a＋(b＋c)＋a ＝a＋b＋c.故选A. (3)2　0 如图，设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，易知该内切球的半径为1. 当点P在正方体的面的中心时，PS取得最小值1； 当点P在正方体的顶点时，PS取得最大值，所以1≤PS≤. 故·＝(＋)·(＋) ＝(＋)·(－) ＝2－1∈[0，2]， 所以·的最大值是2，最小值是0. 1．在进行空间向量的运算时应类比平面向量的运算，两者运算法则是类似的． 2．用已知向量表示未知向量，以及进行向量表达式的化简时，一定要注意结合实际图形，向量加法的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立． 3．选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求的同时，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量. 变式探究 1．在三棱柱ABC­A1B1C1中，E是BC的中点，＝2，则＝(　　) A.－＋ B.＋＋ C．－＋＋ D．－＋－ 解析：C　如图，因为＝2，所以＝， 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝×(＋)＋(－)＋ ＝－＋.故选C. 2．已知向量a＝(2，－3，0)，b＝(0，3，4)，则向量a在向量b方向上的投影向量为________________． 解析：(0，－，－)　由题意，向量a在b方向上的投影为＝＝－，|b|＝5， 则与向量b同向的单位向量为(0，，)，所以向量a在b方向上的投影向量为－×(0，，)＝(0，－，－)． 3．(多选)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则下列说法正确的是(　　)　　 A．当λ＝0时，点P在棱BB1上 B．当λ＝μ时，点P在线段B1C上 C．当μ＝1时，点P在棱B1C1上 D．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 解析：ACD　对于A，当λ＝0时，＝μ，μ∈[0，1]，所以∥，则点P在棱BB1上，A正确； 对于B，当λ＝μ时，＝λ(＋)，λ∈[0，1]，即＝λ，即∥，所以点P在线段BC1上，B错误； 对于C，当μ＝1时，＝λ＋，λ∈[0，1]，所以λ＝－，所以＝λ＝λ，即∥，所以点P在棱B1C1上，C正确； 对于D，当λ＋μ＝1时，所以＝λ＋(1－λ)，λ∈[0，1]，所以－＝λ－λ，即＝λ，即∥，所以点P在线段B1C上，D正确．故选ACD. 考点2　空间向量在计算问题中的应用 【例2】 (1)如图1，ABCD­A1B1C1D1为正方体，动点P在对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，实数λ的取值范围为________________． (2)如图2，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝7，则CD的长为________． 　　 (3)如图3，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝AD，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.则异面直线A1D与A1C所成角的余弦值为_______________．　　 解析：(1)(，1)　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1， 则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)， ＝(1，1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，0)， 因为＝λ，所以＝λ， 设P(x，y，z)， 则(x，y，z－1)＝(λ，λ，－λ)， 即解得 所以P(λ，λ，1－λ)， 则＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝(－λ，1－λ，λ－1)， 又BD1与AC是异面直线，显然∠APC不是平角， 则由∠APC为钝角时，有·＝3λ2－4λ＋1<0，解得<λ<1. 所以实数λ的取值范围为(，1)． (2)　由已知，·＝0，·＝0，＝＋＋，〈，〉＝120°， 所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋72＋2×6×7×cos 120°＝59， 所以|CD|＝. (3)　设＝a，＝b，＝c， 则a·b＝0，a·c＝－，b·c＝－， 又＝a＋b－c， 则||＝ ＝＝. 由＝b－c， 则||＝＝＝， 则·＝(b－c)·(a＋b－c)＝a·b－a·c－2b·c＋b2＋c2＝. |cos〈，〉|＝＝＝， 故异面直线A1D与A1C所成角的余弦值为. 1．应用空间向量计算有关几何量(边长、夹角)有坐标法和基向量法，注意由题设情境恰当选择． 2．当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是α∈(0，]，θ∈[0，π]，所以cos α＝|cos θ|＝. 3．立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝转化为向量求解. 变式探究 4．已知空间三点A(3，2，0)，B(6，1，－2)，C(5，－1，1)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为(　　) A. B．7 C. D．7 解析：D　因为空间三点A(3，2，0)，B(6，1，－2)，C(5，－1，1)， 则＝(3，－1，－2)，＝(2，－3，1)， 所以·＝6＋3－2＝7，||＝＝，||＝＝， 所以cos∠BAC＝＝＝， 因为0≤∠BAC≤π，则∠BAC＝， 所以，以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为 S＝||·||sin＝14×＝7.故选D. 5．在棱长为a的正四面体OABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则MN的长为__________． 解析：a　如图， 由OM＝2MA，则＝， 由N为BC的中点，则＝(＋)， 则＝－＝＋－， 在正四面体OABC中， 易知∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝60°， ||2＝(－＋＋)2 ＝||2＋||2＋||2－·－·＋· ＝a2＋a2＋a2－a2·cos 60°－a2·cos 60°＋a2cos 60° ＝a2－a2－a2＋a2＝a2， 所以MN＝a. 6．把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD与平面CBD所成二面角的大小为60°，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：A　如图，取BD的中点O ，连接OA，OC. 因为AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAD＝∠BCD＝90°， 所以OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC⊥BD，OA⊥BD， 所以∠AOC为平面ABD与平面CBD所成二面角的平面角， 即∠AOC＝60°，所以△AOC为等边三角形，所以AC＝2. 因为＝＋＋， 所以2＝(＋＋)2， 所以4＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·， 所以4＝8＋16＋8＋2×2×4×cos＋2×2×2×cos〈，〉＋2×4×2×cos， 即16cos〈，〉＝4，得cos〈，〉＝，所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为，故选A. 考点3　空间向量在判定空间线面位置关系中的应用 【例3】 如图，棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都为2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求证：BD⊥ AA1.　　 (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由． 解析：(1)证明：设BD与AC交于点O， 则BD⊥AC，连接A1O. 在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°， 所以A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AO·cos 60°＝3， 所以AO2＋A1O2＝AA， 所以A1O⊥AO. 因为平面AA1C1C⊥平面ABCD， 且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O⊂平面AA1C1C， 所以A1O⊥平面ABCD. 以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，)． 因为＝(－2，0，0)，＝(0，1，)， 则·＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0， 所以⊥，即BD⊥AA1. (2)假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1. 设＝λ，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0，1，)， 即从而有P(0，1＋λ，λ)， 则＝(－，1＋λ，λ)． 由(1)知＝(0，2，0)，＝(，0，)， 设平面DA1C1的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则即取n＝(1，0，－1). 因为BP∥平面DA1C1，所以n⊥， 即n·＝－－λ＝0，解得λ＝－1， 即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1. (1)利用空间向量证明空间中的位置关系，其基本步骤包括：①建立好空间直角坐标系；②写出相关点的坐标；③求相关向量；④计算证明． (2)证明垂直关系一般是转化为线线垂直来证，证明直线与平面垂直也可证直线的方向向量与平面的法向量平行，证明两平面垂直，也可利用两平面的法向量垂直来证． (3)证明线面平行，一般利用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证. 变式探究 7．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证： (1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD. 证明：以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设DC＝a. (1)连接AC交BD于点G，连接EG. 依题意得A(a，0，0)，P(0，0，a)，C(0，a，0)，E(0，，)． 因为底面ABCD是正方形，所以G为AC的中点，故点G的坐标为(，，0)， 所以＝(a，0，－a)，＝(，0，－)， 则＝2，故PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. (2)依题意得B(a，a，0)， 所以＝(a，a，－a)． 又＝(0，，)，故·＝0＋－＝0， 所以⊥，所以PB⊥DE. 由题可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD， 所以PB⊥平面EFD. 学科网（北京）股份有限公司 $