空间角的求法讲义-2026届高三数学一轮复习

空间角的求法 课前必备知识 课标要求 1.能运用几何法和空间向量法求空间角.2.体会向量法在研究立体几何中的工具性作用． 知识梳理 1．两条异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的__锐角或直角__叫做a与b所成的角． (2)范围：两异面直线所成角θ的取值范围为__(0，]__． (3)向量求法：设直线a，b所成的角为θ，a，b的方向向量为a，b，则有cos θ＝____． 2．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的__射影__所成的角． (2)范围：直线与平面所成角θ的取值范围是__[0，]__． ①直线垂直于平面，则它们所成的角为__90°__； ②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为__0°__； ③直线与平面斜交，它们所成的角为__锐角__． (3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为φ，a与u的夹角为θ， 则有sin φ＝|cos〈a，u〉|＝____． 3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． (2)二面角的平面角：由二面角的棱上一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线所构成的角；二面角的取值范围为[0，π]． (3)二面角的向量求法： ①若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角(如图1)．　　 ②设n1，n2分别是二面角α­l­β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图2、图3)． 　　 设二面角的大小为φ，〈n1，n2〉＝θ，则 |cos φ|＝|cos〈n1，n2〉|＝____． 再结合图形，确定φ是锐角还是钝角，从而确定cos φ的符号． 4．平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. 课前训练 1．设l是平面α的斜线，且l与平面α所成的角为θ，若l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则下列结论正确的是(　　) A．cos θ＝ B．cos θ＝ C．sin θ＝ D．sin θ＝ 2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　) A．(－1，1，1) B．(1，－1，1) C．(－，－，－) D．(，，－) 3．直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，侧棱长为2，D为B1B上的点，若直线A1C与直线DC1所成角的余弦值为，则BD＝(　　) A．1 B. C. D. 4．(2025·湖北高三校联考)已知圆台上、下底面的半径之比为1∶2，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为14π，则该圆台的侧面面积为(　　) A．30π B．18π C．15π D．9π 5．如图，二面角α­l­β的大小是60°，线段AB⊂α.B∈l，AB与l所成的角为30°，则直线AB与平面β所成角的正弦值是__________． 课堂核心考点 考点1　异面直线所成角的求法 【例1】 (1)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F在棱AD上，且＝λ(0<λ<1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ＝_____ _________. (2)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝AA1，D为棱B1C1的中点，点E在棱BC上，且BC＝4BE，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是__________. (1)构建法求异面直线所成角，关键是将异面直线中的一条或两条“平行移动”，构建异面直线所成的角，然后通过解三角形求解． (2)用向量法求异面直线所成角的一般步骤： ①选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； ②确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； ③利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； ④两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值，同时一定要注意两异面直线所成角的范围是(0，]. 变式探究 1．在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则异面直线AD与BC所成角的大小为________． 2．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则直线BD1与AC所成角的余弦值为__________． 考点2　直线与平面所成角的求法 【例2】 (2025·黑龙江哈尔滨校考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF＝DE，BF∥DE，M是AE的中点． (1)求证：EC∥平面BDM. (2)若DE⊥平面ABCD，AB＝4，BM⊥CF，点P为线段CE上一点，且＝，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值． (1)利用定义法求线面角的一般步骤 ①找出斜线在平面内的投影，或根据题目条件通过作辅助线找到投影，找到所求角． ②根据几何条件计算所求角所在三角形的各边长． ③根据解三角形的方法计算所求角的三角函数值． (2)利用向量法求线面角的方法 ①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)． ②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 变式探究 3．如图，三棱台ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝2B1C1＝2，D是AC的中点，E是棱BC上的动点． (1)试确定点E的位置，使AB1∥平面DEC1； (2)已知AB⊥BC1，CC1⊥平面ABC，设直线BC1与平面DEC1所成的角为θ，试在(1)的条件下，求cos θ的最小值． 考点3　求二面角 【例3】 在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，∠BAD＝120°，AB＝AD＝2，点E为PC的中点． (1)求证：BE∥平面PAD. (2)已知PC＝PD＝2，平面PCD⊥平面ABCD，求二面角B­CP­D的余弦值． (1)构建法求作二面角的平面角 ①“找”：由二面角平面角的定义确定二面角的平面角． ②“线”：由二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接两个垂足即得二面角的平面角或其补角． ③“面”(垂面法)：过棱上一点作(证)棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即是二面角的平面角． (2)应用向量法计算二面角大小的常用方法 ①找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小． ②找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 变式探究 4．(2025·四川成都阶段考)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝4，且侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且PA＝2. (1)证明：PA⊥底面ABCD. (2)当点E在BC边上移动，使二面角E­AF­B为60°时，求二面角F­AE­P的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间角的求法 课前必备知识 课标要求 1.能运用几何法和空间向量法求空间角.2.体会向量法在研究立体几何中的工具性作用． 知识梳理 1．两条异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的__锐角或直角__叫做a与b所成的角． (2)范围：两异面直线所成角θ的取值范围为__(0，]__． (3)向量求法：设直线a，b所成的角为θ，a，b的方向向量为a，b，则有cos θ＝____． 2．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的__射影__所成的角． (2)范围：直线与平面所成角θ的取值范围是__[0，]__． ①直线垂直于平面，则它们所成的角为__90°__； ②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为__0°__； ③直线与平面斜交，它们所成的角为__锐角__． (3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为φ，a与u的夹角为θ， 则有sin φ＝|cos〈a，u〉|＝____． 3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． (2)二面角的平面角：由二面角的棱上一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线所构成的角；二面角的取值范围为[0，π]． (3)二面角的向量求法： ①若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角(如图1)．　　 ②设n1，n2分别是二面角α­l­β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图2、图3)． 　　 设二面角的大小为φ，〈n1，n2〉＝θ，则 |cos φ|＝|cos〈n1，n2〉|＝____． 再结合图形，确定φ是锐角还是钝角，从而确定cos φ的符号． 4．平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. 课前训练 1．设l是平面α的斜线，且l与平面α所成的角为θ，若l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则下列结论正确的是(　　) A．cos θ＝ B．cos θ＝ C．sin θ＝ D．sin θ＝ 答案：D 2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　) A．(－1，1，1) B．(1，－1，1) C．(－，－，－) D．(，，－) 解析：C　设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量， 则化简得所以x＝y＝z.故选C. 3．直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，侧棱长为2，D为B1B上的点，若直线A1C与直线DC1所成角的余弦值为，则BD＝(　　) A．1 B. C. D. 解析：A　以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(0，0，2)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)． 设D(2，0，t)，0≤t≤2， 则＝(0，2，－2)，＝(－2，2，2－t)， 所以|cos〈 ，〉|＝ ＝＝， 解得t＝1(负值舍去)．故选A. 4．(2025·湖北高三校联考)已知圆台上、下底面的半径之比为1∶2，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为14π，则该圆台的侧面面积为(　　) A．30π B．18π C．15π D．9π 解析：C　作出圆台的轴截面如图所示， 设上底面半径为r，则下底面半径为2r，作AC⊥O1B，垂足为C，则BC＝r，母线与底面所成的角的正弦值为，即sin∠ABC＝. 设圆台的母线长为l，高为h， 则l＝h，h＝r. 因为圆台的体积为14π， 由圆台的体积公式V＝πh(r2＋rR＋R2)，计算得r＝2，所以l＝. 所以圆台的侧面积为S＝πl(r＋R)＝15π.故选C. 5．如图，二面角α­l­β的大小是60°，线段AB⊂α.B∈l，AB与l所成的角为30°，则直线AB与平面β所成角的正弦值是__________． 解析：　如图，过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D，连接BC，AD. 又AC⊥l，CD⊥l，AC∩CD＝C，所以l⊥平面ACD， 又AD⊂平面ACD，所以AD⊥l， 故∠ADC为二面角α­l­β的平面角，为60°. 已知∠ABD＝30°，则∠ABC为AB与平面β所成的角． 设AD＝2， 则AC＝，CD＝1，AB＝＝4， 所以直线AB与平面β所成角的正弦值sin∠ABC＝＝. 　　　　　　　 课堂核心考点 考点1　异面直线所成角的求法 【例1】 (1)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F在棱AD上，且＝λ(0<λ<1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ＝_____ _________. (2)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝AA1，D为棱B1C1的中点，点E在棱BC上，且BC＝4BE，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是__________. 解析：(1)　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，因为正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0)，所以＝(0，2，－1)， ＝＋＝＋λ＝(－2λ，0，－2)． 所以|cos〈，〉|＝＝＝， 解得λ＝(λ＝－舍去)． (2) 如图所示，在棱BC上取点F，使CF＝BE，连接C1F，AF，A1F. 因为AB＝BC＝AA1， D为棱B1C1的中点，点E在棱BC上，且BC＝4BE， 设AB＝BC＝AA1＝4，可得BE＝CF＝1，BF＝3，A1C1＝AC＝4，EF＝2.　　在Rt△ABF中，因为AB＝4，BF＝3， 所以AF＝＝5. 在Rt△A1AF中，A1F＝＝， 在Rt△C1CF中，C1F＝＝. 因为D是B1C1的中点，所以C1D＝2，所以EF＝C1D， 又因为BC∥B1C1，所以EF∥C1D，所以四边形C1DEF是平行四边形，所以DE∥C1F，所以∠A1C1F是异面直线AC与DE所成的角． 在△A1C1F中，由余弦定理可得 cos∠A1C1F＝ ＝＝， 即异面直线AC与DE所成角的余弦值是. (1)构建法求异面直线所成角，关键是将异面直线中的一条或两条“平行移动”，构建异面直线所成的角，然后通过解三角形求解． (2)用向量法求异面直线所成角的一般步骤： ①选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； ②确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； ③利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； ④两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值，同时一定要注意两异面直线所成角的范围是(0，]. 变式探究 1．在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则异面直线AD与BC所成角的大小为________． 解析：30°　设BD的中点为O，连接EO，FO，所以EO∥AD，FO∥BC， 则∠EOF(或其补角)就是异面直线AD，BC所成角的平面角． 又因为EO＝AD＝1，FO＝BC＝，EF＝， 在△OEF中，由余弦定理得 cos∠EOF＝＝＝－， 所以∠EOF＝150°， 故异面直线AD与BC所成角的大小为30°. 2．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则直线BD1与AC所成角的余弦值为__________． 解析：　因为＝＋－，＝＋， 所以||2＝(＋－)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·， 所以||2＝36＋36＋36＋2×6×6×－2×6×6×－2×6×6×＝72， 则||＝6， 同理，可得||＝6. 因为·＝(＋)·(＋－)＝18＋18－36＋36＋18－18＝36， 所以cos〈，〉＝＝＝. 考点2　直线与平面所成角的求法 【例2】 (2025·黑龙江哈尔滨校考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF＝DE，BF∥DE，M是AE的中点． (1)求证：EC∥平面BDM. (2)若DE⊥平面ABCD，AB＝4，BM⊥CF，点P为线段CE上一点，且＝，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值． 解析：(1)证明：连接AC交BD于N，连接MN， 因为四边形ABCD是正方形，故N为AC的中点，又M是AE的中点， 所以在△ACE中，有MN∥EC， 又EC⊄平面BDM，MN⊂平面BDM， 所以EC∥平面BDM. (2)如图，建立空间直角坐标系，AB＝4，设DE＝a， 则B(4，4，0)，C(0，4，0)，F(4，4，a)，A(4，0，0)，E(0，0，a)． 又M是AE的中点，故M(2，0，)， ＝(－2，－4，)，＝(4，0，a)，因为BM⊥CF， 所以·＝－8＋＝0，解得a＝4. 设P(x，y，z)，＝， 即＝(x，y－4，z)＝＝(0，－4，4)， 可得P(0，，)，则＝(－2，，－)． 又＝(0，4，4)，＝(－4，0，4)， 设平面AEF的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则 令z1＝1，则x1＝1，y1＝－1，即n＝(1，－1，1)． 设直线PM与平面AEF所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝ ＝＝， 所以直线PM与平面AEF所成角的正弦值为. (1)利用定义法求线面角的一般步骤 ①找出斜线在平面内的投影，或根据题目条件通过作辅助线找到投影，找到所求角． ②根据几何条件计算所求角所在三角形的各边长． ③根据解三角形的方法计算所求角的三角函数值． (2)利用向量法求线面角的方法 ①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)． ②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 变式探究 3．如图，三棱台ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝2B1C1＝2，D是AC的中点，E是棱BC上的动点． (1)试确定点E的位置，使AB1∥平面DEC1； (2)已知AB⊥BC1，CC1⊥平面ABC，设直线BC1与平面DEC1所成的角为θ，试在(1)的条件下，求cos θ的最小值． 解析：(1)如图，连接DC1，DE，EC1. 由三棱台ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝2B1C1＝2，D是AC的中点，可得A1C1∥AD，A1C1＝AD，所以四边形ADC1A1为平行四边形，故AA1∥DC1，AA1⊄平面DEC1, DC1⊂平面DEC1，故AA1∥平面DEC1. 又AB1∥平面DEC1，且AB1，AA1⊂平面ABB1A1，AB1∩AA1＝A，所以平面ABB1A1∥平面DEC1. 又平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，平面ABC∩平面DEC1＝DE，所以DE∥AB. 由于D是AC的中点，故E是BC的中点， 故点E是边BC的中点时，AB1∥平面DEC1. (2)因为CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以CC1⊥AB， 又AB⊥BC1，CC1∩BC1＝C1，CC1，BC1⊂平面BCC1B1， 故AB⊥平面BCC1B1，由于BC⊂平面BCC1B1， 所以AB⊥CB. 由(1)知，E是BC的中点，D是AC的中点， 所以ED∥AB， 所以DE⊥BC，连接B1E，由B1C1∥EC，B1C1＝EC， 所以四边形B1C1CE为平行四边形，故CC1∥B1E. 由于CC1⊥平面ABC，因此B1E⊥平面ABC， 故ED，EC，EB1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． 设B1E＝a， 则E(0，0，0)，B(－1，0，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，C1(1，0，a)，B1(0，0，a)， 故＝(0，1，0)，＝(1，0，a)． 设平面DEC1的法向量为m＝(x，y，z)， 则取x＝a，则m＝(a，0，－1)． 又＝(2，0，a)， 故sin θ＝|cos〈，m〉|＝ ＝＝ ≤＝， 当且仅当a2＝，即a＝时取等号． 要求cos θ的最小值，只需要sin θ最大，sin θ的最大值为，此时cos θ的最小值为＝＝. 考点3　求二面角 【例3】 在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，∠BAD＝120°，AB＝AD＝2，点E为PC的中点． (1)求证：BE∥平面PAD. (2)已知PC＝PD＝2，平面PCD⊥平面ABCD，求二面角B­CP­D的余弦值． 解析：(1)证明：如图，取CD的中点O，连接EO，BO. 因为E为PC的中点，所以EO∥PD， 而EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD. 因为∠ABC＝∠CDA＝90°，∠BAD＝120°，所以∠BCD＝60°. 又AB＝AD，所以∠ADB＝∠ABD＝(180°－120°)＝30°， 所以∠CBD＝∠CDB＝90°－30°＝60°， 所以△BCD为等边三角形，所以BO⊥CD，又AD⊥CD，所以BO∥AD， 而BO⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BO∥平面PAD， 又EO∩BO＝O，所以平面EOB∥平面PAD，而EB⊂平面EOB，所以EB∥平面PAD. (2)(方法1)连接PO.因为PC＝PD，所以PO⊥CD， 因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，所以PO⊥平面ABCD. 又△BCD为等边三角形，所以BO⊥CD， 在△ABD中，AD＝AB＝2，∠DAB＝120°，所以BD＝2，则CD＝BD＝2. 因为PC＝PD＝2， 所以PO＝＝3， 在等边三角形BCD中，因为BD＝CD＝2，所以OD＝OC＝，OB＝3. 以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 则D(0，，0)，C(0，－，0)，B(3，0，0)，P(0，0，3)． 所以＝(3，0，0)，＝(3，，0)，＝(0，，3)， 设平面PCB的法向量为n＝(x，y，z)， 所以 令x＝1，则n＝(1，－，1)． 因为OB⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD， 所以BO⊥平面PCD，所以平面PCD的一个法向量为＝(3，0，0)， 所以cos〈n，〉＝＝＝， 故二面角B­CP­D的余弦值为. (方法2)如图，又△BCD为等边三角形，所以BO⊥CD， 又平面PCD⊥平面ABCD， 平面PCD∩平面ABCD＝CD，所以OB⊥平面PCD， 过O作OH⊥PC，连接BH，则BH⊥CP，故∠BHO为二面角B­CP­D的平面角． 在△ABD中，AD＝AB＝2，∠DAB＝120°，所以BD＝2. 连接PO，因为PC＝PD＝2，所以PO＝＝3， 在等边三角形BCD中，因为BD＝CD＝2，所以OD＝OC＝，OB＝3. 所以OH＝＝＝，BH＝＝＝， 所以cos∠BHO＝＝＝， 故二面角B­CP­D的余弦值为. (1)构建法求作二面角的平面角 ①“找”：由二面角平面角的定义确定二面角的平面角． ②“线”：由二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接两个垂足即得二面角的平面角或其补角． ③“面”(垂面法)：过棱上一点作(证)棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即是二面角的平面角． (2)应用向量法计算二面角大小的常用方法 ①找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小． ②找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 变式探究 4．(2025·四川成都阶段考)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝4，且侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且PA＝2. (1)证明：PA⊥底面ABCD. (2)当点E在BC边上移动，使二面角E­AF­B为60°时，求二面角F­AE­P的余弦值． 解析：(1)证明：因为侧面PAB⊥底面ABCD，且侧面PAB∩底面ABCD＝AB，底面ABCD是矩形，AD⊥AB，AD⊂底面ABCD， 所以AD⊥平面PAB. 又PA⊂平面PAB，所以AD⊥PA. 同理，侧面PAD⊥底面ABCD， 且侧面PAD∩底面ABCD＝AD， 底面ABCD是矩形，AD⊥AB，AB⊂底面ABCD， 所以AB⊥平面PAD， 又PA⊂平面PAD，所以AB⊥PA. 又AB，AD⊂底面ABCD，AB∩AD＝A， 所以PA⊥底面ABCD. (2)由(1)知PA⊥底面ABCD，点F是PB的中点，且PA＝AB，所以AF⊥PB. 因为AD⊥侧面PAB，且AD∥BC，则BC⊥侧面PAB，又AF⊂侧面PAB，所以BC⊥AF. 又PB，BC⊂侧面PBC，PB∩BC＝B，所以AF⊥侧面PBC. 又BF，EF⊂侧面PBC，所以AF⊥EF，AF⊥BF， 所以∠BFE为二面角E­AF­B的平面角，所以∠BFE＝60°. Rt△BFE中，由BF＝，得BE＝. 因为AD，AB，AP三线两两垂直，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，E(，2，0)，＝(0，0，2)，＝(0，1，1)，＝(，2，0)， 设平面FAE的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即 令z1＝3，得x1＝，y1＝－3，则m＝(，－3，3)． 设平面PAE的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 由即 令x2＝，得y2＝－3，z2＝0， 所以n＝(，－3，0)． 设二面角F­AE­P的大小为α， 则cos α＝＝＝， 故二面角F­AE­P的余弦值为.　　　 学科网（北京）股份有限公司 $