2.2.1～2 直线点斜式、斜截式、两点式、截距式方程讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学直线方程核心知识点，系统梳理点斜式（已知一点与斜率）、斜截式（斜率与纵截距）、两点式（两点坐标）、截距式（两轴截距）的已知条件、适用条件及特殊关系，构建从基础到特殊形式的学习支架。 资料以结构化知识清单夯实基础，分类型典型例题（如面积问题、图象辨析）培养数学眼光与思维，课后检测强化应用。通过方程形式抽象与实际问题解决，提升逻辑推理与表达能力，课中辅助系统教学，课后助力查漏补缺。

2.2.1~2 直线点斜式、斜截式、两点式、截距式方程 第一部分：知识清单 知识点一：直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. 2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是. 知识点二：直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为. 知识点三：直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 知识点四：直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 第二部分：典型例题汇总 典例一 直线的点斜式方程 典例二 直线的斜截式方程 典例三 直线的两点式方程 典例四 直线的截距式方程 典例五 直线图象的辨析 典例六 直线与坐标轴围成图形的面积问题 第三部分：典型例题 典例一 直线的点斜式方程 1．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）将直线绕点逆时针旋转得到的直线的点斜式方程是_______. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 3．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 4．（25-26高二·全国·寒假作业）求适合下列条件的直线方程． (1)经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 典例二 直线的斜截式方程 5．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）直线斜率为，在轴的截距是5的斜截式方程是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 7．（25-26高二上·北京·期中）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 8．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）直线的方向向量，直线过点 (1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值 (2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距. 典例三 直线的两点式方程 9．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）已知点，直线与直线AB垂直，则实数（    ） A． B． C．4 D． 10．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．直线在轴的截距为1 C．过两点的直线方程为 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 11．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 典例四 直线的截距式方程 13．（25-26高二上·新疆喀什·期中）直线方程为，则该直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 14．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）直线在坐标轴上的截距之和为（ ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知三点. (1)若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16．（25-26高二上·河南南阳·期中）（多选）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 典例五 直线图象的辨析 17．（25-26高二·全国·暑假作业）（1））分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 18．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）直线可能是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·陕西安康·期末）直线通过第一、二、四象限，则有（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·河南平顶山·阶段检测）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 典例六 直线与坐标轴围成图形的面积问题 21．（25-26高二·全国·暑假作业）已知直线l经过点P(4, 1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程. 22．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 23．（25-26高二上·上海虹口·期末）已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 24．（25-26高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，则面积最小值为______． 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）已知直线l过点，且倾斜角为60°，则直线l的纵截距为（   ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）经过点，且倾斜角是的直线方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 6．（25-26高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 9．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过点的直线方程为 10．（25-26高二上·云南楚雄·阶段检测）（多选）已知直线过点，，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的两点式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的截距式方程为 11．（25-26高二上·海南·期中）（多选）已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   12．（25-26高一下·上海·阶段检测）过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 13．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则的方程为__________. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知在中，，，，P是上的点，则点P到、的距离乘积的最大值是_______． 15．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线的方程. 16．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1~2 直线点斜式、斜截式、两点式、截距式方程 第一部分：知识清单 知识点一：直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. 2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是. 知识点二：直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为. 知识点三：直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 知识点四：直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 第二部分：典型例题汇总 典例一 直线的点斜式方程 典例二 直线的斜截式方程 典例三 直线的两点式方程 典例四 直线的截距式方程 典例五 直线图象的辨析 典例六 直线与坐标轴围成图形的面积问题 第三部分：典型例题 典例一 直线的点斜式方程 1．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）将直线绕点逆时针旋转得到的直线的点斜式方程是_______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，先确定所求直线的斜率，在用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】因为直线的斜率为1，所以其倾斜角为. 将直线绕点逆时针旋转，所得直线的倾斜角为， ， 所以所求直线的点斜式方程为. 故答案为：. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程. 【详解】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 3．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 【答案】 【分析】利用垂直平分线的性质求出直线的斜率和直线上的点，进而利用点斜式求解． 【详解】线段的垂直平分线，垂直于直线，且过直线的中点， 设的中点为，则， 设直线的斜率为，则，解得， 直线方程为，一般形式为． 4．（25-26高二·全国·寒假作业）求适合下列条件的直线方程． (1)经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）首先根据二倍角正弦公式求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解； （2）首先确定直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为． 因为， 所以． 又直线经过点， 因此所求直线方程为， 即． （2）由题意，可知所求直线的斜率为． 又过点, 由点斜式得． 所求直线的方程为或． 典例二 直线的斜截式方程 5．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）直线斜率为，在轴的截距是5的斜截式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜截式方程直接下结论即可. 【详解】由题意知，该直线的斜截式方程为. 故选：B 6．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，可得出边上的高所在直线的点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）由图可知，所以的平分线所在直线的斜率为，可得到的平分线所在直线的点斜式方程，化为斜截式方程即可. 【详解】（1）因为点、，则， 所以，边上的高所在直线的斜率为， 又，所以边上的高所在直线的方程为，即， 即边上的高所在直线的一般式方程为. （2）    如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为， 又，所以的平分线所在直线的方程为，即， 即的平分线所在直线的斜截式方程为. 7．（25-26高二上·北京·期中）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 【答案】 【分析】根据垂直关系可得所求直线的斜率，进而可得斜截式方程. 【详解】由题意可知：直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率， 且在轴上的截距为4，所以所求直线的斜截式方程是. 故答案为：. 8．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）直线的方向向量，直线过点 (1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值 (2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距. 【答案】(1)直线的斜截式方程为，倾斜角， (2)所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 【分析】（1）由直线的方向向量求直线的斜率，根据平行直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线的点斜式方程，化为斜截式，2由倾斜角与斜率关系求该直线的倾斜角； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线的点斜式方程，化为斜截式，再确定直线在轴上的截距. 【详解】（1）因为直线的方向向量， 所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，则， 若直线与直线平行，则直线的斜率存在， 设直线的斜率为，则， 又直线过点， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 因为直线的斜率，所以，又， 所以， 所以直线的斜截式方程为，倾斜角， （2）若直线与直线垂直， 由（1）可得直线的斜率存在，且，又， 所以， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 典例三 直线的两点式方程 9．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）已知点，直线与直线AB垂直，则实数（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】求出直线AB的方程，根据直线垂直得到，求出答案. 【详解】直线AB的方程为，即， 因为直线与直线AB垂直，所以，解得. 故选：D 10．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．直线在轴的截距为1 C．过两点的直线方程为 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】AD 【分析】由直线方程的概念对选项逐一判断． 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于点，故与两坐标轴围成的三角形的面积是2，故A正确， 对于B，直线过，在轴的截距为，故B错误， 对于C，当或时不适用，故C错误， 对于D，由题意得直线的方向向量为，故直线的斜率为，故D正确， 故选：AD 11．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解 【详解】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 12．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 典例四 直线的截距式方程 13．（25-26高二上·新疆喀什·期中）直线方程为，则该直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 【答案】 【分析】根据直线的截距式方程求直线在坐标轴上的截距. 【详解】直线的截距式方程为：. 所以直线在轴上的截距为4，在轴上的截距为. 故答案为：4； 14．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）直线在坐标轴上的截距之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线方程化为截距式方程，结合截距的定义可得结果. 【详解】将直线方程化为截距式方程可得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 因此直线在坐标轴上的截距之和为. 故选：D. 15．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知三点. (1)若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出直线的斜率，利用垂直关系求出直线的斜率及方程. （2）按截距是否为0分类，再结合直线的截距式方程求解. 【详解】（1）由，得直线的斜率为， 由，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即 （2）设直线在上的截距为， 当时，直线过原点及点，方程为，即； 当时，直线的方程为，而直线过点，则，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 16．（25-26高二上·河南南阳·期中）（多选）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据截距是否为零进行分类讨论，即可求解. 【详解】当直线的截距为0时，直线的方程为，即. 当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 所以，解得或， 当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为. 故选：ABD. 典例五 直线图象的辨析 17．（25-26高二·全国·暑假作业）（1））分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）由点斜式即可求解直线方程，进而可作出图形， （2）（3）由与坐标轴平行的直线的性质即可求解. 【详解】（1）由点斜式方程得，即 （2）与x轴平行时，， ∴，即 （3）与x轴垂直，斜率不存在，方程为 18．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果． 【详解】因为，所以A C错； 当时，，故B对； 故选：B 19．（25-26高一上·陕西安康·期末）直线通过第一、二、四象限，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的点斜式方程，可得答案． 【详解】直线通过第一、二、四象限，则有 故选：C 【点睛】本题考查直线的方程，考查图象的应用，属于基础题． 20．（25-26高二下·河南平顶山·阶段检测）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断． 【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错. 当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足. 故选：D 典例六 直线与坐标轴围成图形的面积问题 21．（25-26高二·全国·暑假作业）已知直线l经过点P(4, 1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程. 【答案】 【分析】根据题意设直线l的方程为，进而得直线l与两坐标轴交于点与，再结合面积解方程即可得，最后书写方程即可. 【详解】解：根据题意知直线l不垂直于x轴，其斜率存在且为负数， 故可设直线l的方程为. 在方程中，令，得；令，得. 故直线l与两坐标轴交于点与.　 因为直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8， 所以，即：，解得， 故直线l的点斜式方程为 22．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)； (2)面积的最小值为，此时直线的方程为. 【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值； （2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）解：由题意可得. （2）解：在直线的方程中，令可得，即点， 令可得，即点， 由已知可得，解得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即. 23．（25-26高二上·上海虹口·期末）已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据题意直线的斜率存在，且不过原点，进而设方程为，，再根据题意得，解方程即可得答案. 【详解】解：由题知直线的斜率存在，且不过原点， 所以设直线方程为，， 所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为 所以面积为，即， 所以或, 解方程，即，解得， 解方程，即，解得 所以这样的直线有3条. 故选：C 24．（25-26高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，则面积最小值为______． 【答案】12 【分析】设直线的方程，由过点可得，然后结合基本不等式即可得出答案. 【详解】设直线的方程，由过点可得，则有；；； 解得：，当且仅当：时，，时取等号； 所以 故答案为：12 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用直线的斜截式方程求解. 【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为3，而直线过点， 所以直线的方程是. 故选：D 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求出直线斜率，结合直线的斜截式公式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 由直线的斜截式公式可知，， 故选：B. 3．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）已知直线l过点，且倾斜角为60°，则直线l的纵截距为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到直线l的斜率，进而求出直线l的方程，求出纵截距. 【详解】直线l倾斜角为60°，则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，令得， 故直线l的纵截距为. 故选：D 4．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）经过点，且倾斜角是的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由及直线的点斜式直线方程求解即可. 【详解】因为，所以． 故选：D 5．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 6．（25-26高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 7．（2026高三·全国·专题练习）条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分类判断充分性和必要性，即可得到结果. 【详解】记直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 若直线的斜率为， 当截距均为时，直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍， 当截距均不为时，设直线方程为，变形为， 得，，则能推出，必要性成立； 若，当截距都不为时，斜率为， 当截距均为时，直线斜率可以是任何实数，不一定是， 所以不能推出，充分性不成立. 所以是的必要不充分条件. 8．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程的含义判断A；根据直线的截距式方程的含义判断B；根据直线的两点式方程的含义判断C；直线经过第一、二、四象限，确定的符号，即可判断D. 【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为， 当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误； 对于B，直线在轴，轴的截距分别为， 当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误； 对于C，当时，直线的两点式方程为， 则可化为， 当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确； 对于D，若直线经过第一、二、四象限，则， 则点在第二象限，D错误， 故选：C 9．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过点的直线方程为 【答案】AD 【分析】由直线方程的意义判断A，直线方程的截距式判断B，由直线与的交点及距离的定义判断C，分类讨论确定过两点的直线方程判断D． 【详解】根据点斜式方程的含义知表示为过点且斜率为的直线方程，A正确； 在轴，轴上的截距分别为，，只有时，直线方程为，B错误； 直线与轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误； 无论直线斜率是否存在(垂直于轴时，，式子简化为；平行于轴时，，式子简化为)，都能表示过， 的直线，D正确. 故选：AD. 10．（25-26高二上·云南楚雄·阶段检测）（多选）已知直线过点，，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的两点式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的截距式方程为 【答案】BC 【分析】将点坐标代入斜率公式，可判断A的正误；根据两点式方程，可判断B的正误；根据斜率及方向向量的定义，可判断C的正误；将直线方程化成截距式，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为直线过点，， 所以直线的斜率为，故A错误； 选项B：直线的两点式方程为，故B正确； 选项C ：因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故C正确； 选项D：因为l：，整理得，即，故D错误. 故选：BC. 11．（25-26高二上·海南·期中）（多选）已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】由图像逐项判断即可. 【详解】对于A：由图像判断，符合，正确； 对于B：，在轴上的截距为1，图像不符合；错误； 对于C：由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为，结合图像可得：，图像符合；正确； 对于D: 由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为， 结合图像可知：，即，此时的图像矛盾，错误； 故选：AC 12．（25-26高一下·上海·阶段检测）过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 【答案】或 【分析】根据题意，分直线过原点和不过原点，两种情况分类讨论，即可求解. 【详解】当所求直线过原点时，此时直线的斜率为，直线的方程为； 当所求直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入上式，可得，解得，所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程或. 13．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则的方程为__________. 【答案】 【分析】易知直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程可求得结果. 【详解】显然直线的斜率为，所以可知其倾斜角为， 所以直线的倾斜角为，其斜率为， 又直线过点，所以的方程为, 即. 故答案为：. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知在中，，，，P是上的点，则点P到、的距离乘积的最大值是_______． 【答案】3 【分析】以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，设点，则有，再利用基本不等式可得到即可. 【详解】如图，以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系. 则直线方程为. 设点，则. 因为，所以，得，当且仅当即时等号成立. 所以点P到、的距离乘积为，即点P到、的距离乘积的最大值为. 15．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点式和截距式求解直线方程即可； （2）根据直线垂直时斜率的性质，以及点斜式方程求解即可； （3）根据直线垂直时斜率的性质，以及点斜式方程求解即可； 【详解】（1）由两点式得边所在直线方程为，即. 由截距式得边所在直线方程为，即. （2）设的中点为，由中点坐标公式可得， 因为，所以垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线方程为，即. （3）因为，所以高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. 16．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2) (3)面积的最小值是6，此时直线l的方程为 【分析】 （1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程. （2）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围. （3）根据两点的位置确定的坐标以及的取值范围，求得面积的表达式，结合的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程. 【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. （2）, ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. （3）令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $