空间几何体的结构及表面积、体积讲义-2026届高三数学一轮复习

空间几何体的结构及表面积、体积 课前必备知识 课标要求 1.了解柱、锥、台、球的定义、性质及它们之间的关系.2.掌握柱、锥、台、球的结构特征．会用斜二测画法画出它们的直观图.3.了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式.4.通过对空间几何体的表面积与体积的计算，进一步理解简单几何体的结构特征． 知识梳理 1．柱、锥、台、球的结构特征 名称 结构特征 图例 棱 柱 两底面相互平行，其余各面都是__平行四边形__；侧棱平行且__相等__ 棱 锥 底面是多边形，各侧面均是__三角形__；各侧面有一个公共顶点 棱 台 两底面相互平行；是用一个__平行__于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分 圆 柱 两底面相互平行；侧面的母线__平行__于圆柱的轴；是以矩形的一边所在直线为__轴__，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体 圆 锥 底面是__圆__；是以直角三角形的一条__直角边__所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体 圆 台 两底面互相平行；是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分 球 球心到球面上各点的距离__相等__；是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 2.直观图 空间几何体的直观图常用__斜二测画法__来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝__45°(或135°)__，它们确定的平面表示水平面． ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成__平行于x′轴或y′轴__的线段． ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中__保持原长度不变__，平行于y轴的线段，在直观图中长度为__原来的一半__． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于Oxy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于O′x′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段在直观图中仍平行于z′轴且长度__相等__． (3)成图 根据实际图形顺次连接线段的端点，并整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到了几何体的直观图． 3．表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和． 4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 5．空间几何体的表面积和体积公式 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋ S上＋S下 V＝(S上＋S下 ＋)h 球 S表面积＝4πR2 V球＝πR3 常用结论 1．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的. 2．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 3．几个与球有关的切、接的常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R. ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 4．球的截面的性质 (1)过球心的平面截球所得的截面是一个圆，称为球的大圆，不过球心的平面截球所得的截面也是圆，称为球的小圆． (2)球的截面的性质： ①球的小圆圆心与球心连接的线段与小圆面__垂直__； ②该球心到球的截面的距离为d，小圆的半径r，球的半径R，则R2＝__d2＋r2__． 课前训练 1．下列说法正确的是(　　) A．以直角三角形的一边为轴旋转所得到的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C．以半圆的直径为轴旋转一周所得到的旋转体是球 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 解析：C　A是错误的，以直角三角形的直角边为轴旋转所得到的旋转体才是圆锥；B是错误的，以直角梯形垂直于底的腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；C是正确的；D是错误的，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长．故选C. 2．下列关于棱锥、棱台的说法正确的是(　　) A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 解析：D　有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，A错误； 两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，B错误，D正确； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，C错误．故选D. 3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π 解析：B　设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B. 4．(2025·湖北武汉期中)如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则四边形ABCD的面积为__________． 解析：6　如图，过D′作DE⊥O′B′， 由等腰梯形A′B′C′D′可得△A′D′E是等腰直角三角形，即A′D′＝A′E＝×(4－2)×＝，四边形ABCD的面积为×(4＋2)×2＝6. 5．(2025·重庆二模)将一个半径为 cm的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的底面边长为1 cm和2 cm，则它的高为__________cm. 解析：　球的体积为V1＝π×()3＝， 设铁锭的高为h cm，则正四棱台的体积为 V2＝(1＋4＋)h＝h， 由V1＝V2得h＝. 课堂核心考点 考点1　空间几何体的结构特征 【例1】 (1)给出下列命题： ①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱． 其中正确命题的序号是________． (2)给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：(1)①　①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD­A1B1C1D1中的四面体A­CB1D1；②错误，反例如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面． (2)A　①错误，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线； ②错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；　　 ③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．故选A. (1)熟记柱、锥、台、球的简单几何性质，以便在以柱、锥、台、球为载体的综合问题中灵活准确地应用其性质进行推理与计算． (2)求解几何体的结构特征的相关问题时，要注意： ①充分利用正方体、长方体模型，注意所研究的几何体与其有什么关系． ②善于根据题目特点构造几何图形和空间几何体． ③善于通过截面将空间问题转化为平面问题. 变式探究 1．给出下列四个命题： ①圆锥是由正方形绕对角线旋转所形成的曲面围成的几何体； ②圆锥是由三角形绕其一边上的高旋转所形成曲面围成的几何体； ③圆锥是∠AOB绕其平分线旋转一周所形成曲面围成的几何体； ④底面在水平平面上的圆锥用平行于底面的平面所截得的位于截面上方的部分是圆锥． 其中正确命题的序号是__________． 解析：④　正方形绕对角线旋转所形成的曲面围成的几何体为两个圆锥，①错误；圆锥是由直角三角形绕其一条直角边旋转所形成曲面围成的几何体，②③错误；④正确． 2．下列结论正确的是(　　) A．底面是平行四边形的棱柱是平行六面体 B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 D．圆台的上底面圆周上的任意一点与下底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析：A　对于A，底面是平行四边形的四棱柱为平行六面体，A正确； 对于B，如果两个相同的三棱锥叠放在一起，得到的几何体各个面都是三角形，但几何体不是三棱锥，如图所示，B错误； 对于C，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的几何体叫圆锥，显然若旋转未满一周，则几何体不是圆锥，C错误；　　 对于D，过圆台上下底面平行的直径同一侧的端点的连线叫做圆台的母线，D错误．故选A. 考点2　简单几何体的表面积与体积 【例2】 (1)(2024·山东潍坊三模)陀螺是由两个底面重合的圆锥组成的．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1∶2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为(　　) A. B. C. D. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________． 解析：(1)A　设上、下两圆锥的底面半径为r，高分别为h1，h2，体积分别为V1，V2， 因为上圆锥的高与底面半径相等，所以h1＝r， 则＝＝＝＝，所以h2＝2r， 上圆锥的母线为＝＝r， 下圆锥的母线为＝＝r， 所以上、下两圆锥的母线长之比为＝，故选A. (2)28　(方法1)如图，由于＝，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以正四棱锥的体积为×(4×4)×6＝32，截去的正四棱锥的体积为×(2×2)×3＝4，所以棱台的体积为32－4＝28. (方法2)棱台的体积为×3×(16＋4＋)＝28. (1)求几何体的体积和表面积，要紧扣公式中的基本量，注意量与量之间的转化． (2)当几何体不是正棱柱、正棱锥和正棱台时，求表面积时，要注意判断每一个面的形状，先分别求出每一个面的面积，再相加. 变式探究 3．(2025·山东德州期中)如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知AB＝8 cm，CD＝2 cm，则该青铜器的体积为(　　) A．87π cm3 B. cm3 C. cm3 D．43π cm3 解析：D　设圆柱的底面圆半径为r1，底层圆台的上下底面圆半径分别为r2，r3，则r1＝2，r2＝4，r3＝1，所以青铜器的体积为V圆柱＋V中间圆台＋V底层圆台＝2πr＋×3(πr＋πr＋)＋×(πr＋πr＋)＝2π×4＋×3(π×16＋π×4＋)＋×(π×16＋π×1＋)＝43π(cm3)，故选D. 4．(多选)在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器ABCD­A1B1C1D1，如图1，AB＝BC＝2，A1A＝5，在容器内灌进一些水(D1H＝4DH)，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，如图2，则(　　) A．有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱 B．棱A1D1与水面所在平面平行 C．水面EFGH所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜成如图3所示时，EF的最小值为2 解析：ABD　由棱柱的定义知，A正确； 对于B，由于A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG，且A1D1不在水面所在平面内，所以棱A1D1与水面所在平面平行，B正确； 对于C，在图1中，SEFGH＝FG·EF＝BC·AB＝4，在图2中，SEFGH＝FG·EF>AB·BC＝4，C错误； 对于D，V水＝2×2×1＝·BE·BF·BC，所以BE·BF＝4. EF2＝BE2＋BF2≥2BE·BF＝8，当且仅当BE＝BF＝2时，等号成立， 所以EF的最小值为2，D正确．故选ABD. 考点3　组合体的表面积与体积 【例3】 (1)设四棱台ABCD­A1B1C1D1的上、下底面积分别为S1，S2，侧面积为S，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则(　　) A．S2＝S1S2 B．S＝S1＋S2 C．S＝2 D.＝＋ (2)(多选)(2022·新课标Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E­ACD，F­ABC，F­ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1 解析：(1)D　设内切球的球心为O，连接OA，OB，OC，OD，OA1，OB1，OC1，OD1，如图所示， 则OA，OB，OC，OD，OA1，OB1，OC1，OD1把四棱台ABCD­A1B1C1D1分割成六个四棱锥，且六个四棱锥的高都为内切球的半径R， 则四棱台ABCD­A1B1C1D1的高为2R， 所以V四棱台ABCD­A1B1C1D1＝(S1＋S2＋)·2R＝(S1＋S2＋S)·R， 化简可得S1＋S2＋2＝(＋)2＝S.故选D. (2)CD　设AB＝ED＝2FB＝2a，因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED， 则V1＝·ED·S△ACD＝·2a··(2a)2＝a3. V2＝·FB·S△ABC＝·a··(2a)2＝a3. 如图，连接BD交AC于点M，连接EM，FM，易得BD⊥AC， 又ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则ED⊥AC， 又ED∩BD＝D，ED，BD⊂平面BDEF，则AC⊥平面BDEF， 又BM＝DM＝BD＝a，过F作FG⊥DE于G，易得四边形BDGF为矩形，则FG＝BD＝2a，EG＝a， 则EM＝＝a，FM＝＝a，EF＝＝3a， 所以EM2＋FM2＝EF2，则EM⊥FM， S△EFM＝EM·FM＝a2，AC＝2a， 则V3＝VA­EFM＋VC­EFM＝AC·S△EFM＝2a3. 综上，V3＝3V2，2V3＝3V1，V3＝V1＋V2，A、B错误；C、D正确．故选CD. (1)求组合体体积的基本思路是通过分割、补形或采用间接法的手段，先将几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，再计算． (2)空间几何体的表面积是空间几何体暴露在外的面积，求组合体的表面积，通常是采用“分割”或“补形”的方法将组合体转化为常规的柱、锥、台、球等，先求出这些柱、锥、台、球的表面积，再通过求和或作差求得原几何体的表面积. 变式探究 5．(2025·天津北辰三模)中国载人航天技术发展日新月异．从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新．如图可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体．圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为(　　) A. B. C. D. 解析：A　由题意可知，容器中液体的下半部分为圆柱，上半部分为圆台， 取轴截面，如图所示，O1，O2，O3分别为AB，CD，EF的中点． 易知AB∥CD∥EF，且O1B＝O2C＝2，O1O2＝6，O2P＝4，O2O3＝1，O3P＝3， 可得＝＝， 即O3F＝，　　 所以该容器中液体的体积为π×22×6＋[π×22＋π×()2＋]×1＝.故选A. 6．(2025·浙江模拟预测)如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为V，E是棱C1D1的中点，平面AB1E将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为(　　) A.V B.V C.V D.V 解析：A　如图，取DD1的中点F，连接EF，AF，A1F，B1F，易知EF∥DC1∥AB1，所以平面AB1E与DD1的交点为F. 设长方体的长AB、宽BC、高AA1分别为a，b，c，则V＝abc. 平面AB1EF将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为 VF­AB1A1＋VF­A1B1ED1＝×b××a×c＋×c×(a＋a)b＝abc＝V.故选A. 7．如图，在三棱锥P­ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则三棱锥P­ABC的外接球的表面积为________________．　　 解析：7π　还原出如图所示的三棱锥B­PAC， 因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC，AD⊂平面PAC，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面PAC. 设平面PAC的截面圆心为O′，半径为r，球心为O，球半径为R， 在△PAC中，由余弦定理可得PC2＝AC2＋AP2－2AC·AP·cos 30°＝1＋3－2×1××＝1，则PC＝1. 由正弦定理得2r＝＝2，即r＝1. 因为OO′＝AB＝， 所以R＝＝， 所以外接球的表面积S＝4π()2＝7π. 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间几何体的结构及表面积、体积 课前必备知识 课标要求 1.了解柱、锥、台、球的定义、性质及它们之间的关系.2.掌握柱、锥、台、球的结构特征．会用斜二测画法画出它们的直观图.3.了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式.4.通过对空间几何体的表面积与体积的计算，进一步理解简单几何体的结构特征． 知识梳理 1．柱、锥、台、球的结构特征 名称 结构特征 图例 棱 柱 两底面相互平行，其余各面都是__平行四边形__；侧棱平行且__相等__ 棱 锥 底面是多边形，各侧面均是__三角形__；各侧面有一个公共顶点 棱 台 两底面相互平行；是用一个__平行__于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分 圆 柱 两底面相互平行；侧面的母线__平行__于圆柱的轴；是以矩形的一边所在直线为__轴__，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体 圆 锥 底面是__圆__；是以直角三角形的一条__直角边__所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体 圆 台 两底面互相平行；是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分 球 球心到球面上各点的距离__相等__；是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 2.直观图 空间几何体的直观图常用__斜二测画法__来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝__45°(或135°)__，它们确定的平面表示水平面． ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成__平行于x′轴或y′轴__的线段． ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中__保持原长度不变__，平行于y轴的线段，在直观图中长度为__原来的一半__． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于Oxy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于O′x′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段在直观图中仍平行于z′轴且长度__相等__． (3)成图 根据实际图形顺次连接线段的端点，并整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到了几何体的直观图． 3．表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和． 4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 5．空间几何体的表面积和体积公式 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋ S上＋S下 V＝(S上＋S下 ＋)h 球 S表面积＝4πR2 V球＝πR3 常用结论 1．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的. 2．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 3．几个与球有关的切、接的常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R. ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 4．球的截面的性质 (1)过球心的平面截球所得的截面是一个圆，称为球的大圆，不过球心的平面截球所得的截面也是圆，称为球的小圆． (2)球的截面的性质： ①球的小圆圆心与球心连接的线段与小圆面__垂直__； ②该球心到球的截面的距离为d，小圆的半径r，球的半径R，则R2＝__d2＋r2__． 课前训练 1．下列说法正确的是(　　) A．以直角三角形的一边为轴旋转所得到的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C．以半圆的直径为轴旋转一周所得到的旋转体是球 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 2．下列关于棱锥、棱台的说法正确的是(　　) A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π 4．(2025·湖北武汉期中)如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则四边形ABCD的面积为__________． 5．(2025·重庆二模)将一个半径为 cm的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的底面边长为1 cm和2 cm，则它的高为__________cm. 课堂核心考点 考点1　空间几何体的结构特征 【例1】 (1)给出下列命题： ①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱． 其中正确命题的序号是________． (2)给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (1)熟记柱、锥、台、球的简单几何性质，以便在以柱、锥、台、球为载体的综合问题中灵活准确地应用其性质进行推理与计算． (2)求解几何体的结构特征的相关问题时，要注意： ①充分利用正方体、长方体模型，注意所研究的几何体与其有什么关系． ②善于根据题目特点构造几何图形和空间几何体． ③善于通过截面将空间问题转化为平面问题. 变式探究 1．给出下列四个命题： ①圆锥是由正方形绕对角线旋转所形成的曲面围成的几何体； ②圆锥是由三角形绕其一边上的高旋转所形成曲面围成的几何体； ③圆锥是∠AOB绕其平分线旋转一周所形成曲面围成的几何体； ④底面在水平平面上的圆锥用平行于底面的平面所截得的位于截面上方的部分是圆锥． 其中正确命题的序号是__________． 2．下列结论正确的是(　　) A．底面是平行四边形的棱柱是平行六面体 B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 D．圆台的上底面圆周上的任意一点与下底面圆周上的任意一点的连线都是母线 考点2　简单几何体的表面积与体积 【例2】 (1)(2024·山东潍坊三模)陀螺是由两个底面重合的圆锥组成的．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1∶2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为(　　) A. B. C. D. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________． (1)求几何体的体积和表面积，要紧扣公式中的基本量，注意量与量之间的转化． (2)当几何体不是正棱柱、正棱锥和正棱台时，求表面积时，要注意判断每一个面的形状，先分别求出每一个面的面积，再相加. 变式探究 3．(2025·山东德州期中)如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知AB＝8 cm，CD＝2 cm，则该青铜器的体积为(　　) A．87π cm3 B. cm3 C. cm3 D．43π cm3 4．(多选)在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器ABCD­A1B1C1D1，如图1，AB＝BC＝2，A1A＝5，在容器内灌进一些水(D1H＝4DH)，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，如图2，则(　　) A．有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱 B．棱A1D1与水面所在平面平行 C．水面EFGH所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜成如图3所示时，EF的最小值为2 考点3　组合体的表面积与体积 【例3】 (1)设四棱台ABCD­A1B1C1D1的上、下底面积分别为S1，S2，侧面积为S，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则(　　) A．S2＝S1S2 B．S＝S1＋S2 C．S＝2 D.＝＋ (2)(多选)(2022·新课标Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E­ACD，F­ABC，F­ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1 (1)求组合体体积的基本思路是通过分割、补形或采用间接法的手段，先将几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，再计算． (2)空间几何体的表面积是空间几何体暴露在外的面积，求组合体的表面积，通常是采用“分割”或“补形”的方法将组合体转化为常规的柱、锥、台、球等，先求出这些柱、锥、台、球的表面积，再通过求和或作差求得原几何体的表面积. 变式探究 5．(2025·天津北辰三模)中国载人航天技术发展日新月异．从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新．如图可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体．圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为(　　) A. B. C. D. 6．(2025·浙江模拟预测)如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为V，E是棱C1D1的中点，平面AB1E将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为(　　) A.V B.V C.V D.V 7．如图，在三棱锥P­ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则三棱锥P­ABC的外接球的表面积为________________．　　 学科网（北京）股份有限公司 $