空间点、线、面的位置关系讲义-2026届高三数学一轮复习

空间点、线、面的位置关系 课前必备知识 课标要求 1.在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解“四个基本事实和一个定理”，并能运用其解决空间位置关系的简单问题． 知识梳理 1．平面的基本性质 基本事实1：过__不在一条直线上__的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的__两个点__在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．用符号语言表示为__A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α__． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们__有且只有一条__过该点的公共直线．用符号语言表示为__P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l__． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线__平行__． 2．空间两条直线的位置关系 (1)空间两条直线的位置关系包括__平行、相交、异面__，其中异面直线是指不同在__任何__一个平面内的直线． (2)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__相等或互补__． 3．空间中直线与平面的位置关系 　　 4．平面与平面的位置关系 　　 常用结论 1．三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．异面直线的判定定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 3．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 课前训练 1．若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则a，c的位置关系是(　　) A．异面 B．相交 C．平行 D．以上都有可能 2．(2025·黑龙江齐齐哈尔期中)已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α＝20°，则β＝(　　) A．20° B．160° C．20°或160° D．不能确定 3．(2024·北京海淀阶段练习)给出的下面四个命题中正确的是(　　) A．三个不同的点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．空间两两相交的三条直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 4．(教材母题必修8.6.1练习T3)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 5．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　) A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 课堂核心考点 考点1　平面基本事实的应用 【例1】 (1)(多选)下列说法中正确的是(　　) A．经过两条平行直线，有且只有一个平面 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 (2)如图，四棱锥P­ABCD，AC∩BD＝O，M是PC的中点，直线AM交平面PBD于点N，则下列结论正确的是(　　) A．O，N，P，M四点不共面 B．O，N，M，D四点共面 C．O，N，M三点共线 D．P，N，O三点共线 (1)理解平面的基本性质，掌握其基本应用是解决“点、线共面，多点共线，多线共点”的关键． (2)基本事实1是确定一个平面的依据；基本事实2是判断直线是否在平面内的依据；基本事实3是判定两个平面相交的依据和判定点在直线上的依据；基本事实4是判定空间两条直线平行的依据. 变式探究 1．(多选)如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是(　　) A．E，F，G，H四点共面 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 考点2　空间位置关系的判断 【例2】 (1)下列说法正确的是(　　) A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面 B．和同一条直线异面的两直线一定共面 C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行 D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交 (2)(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点M在线段B1D1(不包含端点)上运动时，下列直线中一定与直线OM异面的是(　　) A．CC1 B．A1B C．AB1 D．DB1 (3)已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆O2、圆O1上的点，若异面直线O1B，O2A所成的角为60°，则AB＝(　　) A. B．2 C．2或 D．2或2 (1)空间两条直线位置关系的判定，主要是异面、共面的判定．对于异面直线的判定可直接证明也可采用反证法，通过图形分析、运用反证法的思想是判断线面位置关系的常用方法． 判定两直线异面，常利用结论：平面内一点和平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线是异面直线． (2)共面的情况主要是对平行与垂直这两种特殊位置关系的判定．对于平行关系的判定，常利用三角形(梯形)的中位线的性质、平行四边形的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；对垂直关系的判定，常利用平面几何中特殊图形的特点及线面垂直的性质来解决. 变式探究 2．已知m，n为异面直线，m∥平面α，n∥平面β，α∩β＝l，则l(　　) A．与m，n都相交 B．与m，n中至少一条相交 C．与m，n都不相交 D．与m，n中一条相交 3．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是(　　) A．MN＝EF，且MN与EF平行 B．MN≠EF，且MN与EF平行 C．MN＝EF，且MN与EF异面 D．MN≠EF，且MN与EF异面 4．平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 考点3　空间几何体的侧面展开与截面问题 【例3】 (1)(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是(　　) A．直线GH与EF平行 B．直线BD与MN为异面直线 C．直线GH与MN所成的角为60° D．直线DE与MN垂直 (2)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，当E，F，G分别是B1C1，C1D1，B1B的中点时，平面EFG截正方体所得截面的周长为________． (3)(2025·四川自贡质检)已知球O的半径为4，圆O1与圆O2为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4，若|OO1|＝3，|OO2|＝，则两截面圆的圆心距|O1O2|＝__________． 1．作截面的三个原则：(1)在同一平面上的两点可引直线；(2)凡是相交的直线都可以画出其交点；(3)凡是相交的平面都可以画出其交线． 2．几何体的侧面展开应选择一个面为“基本面”，然后借助几何体的直观图，依次将其他面展开在“基本面”内. 变式探究 5．已知三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝2，AC＝2，BC＝4，则： (1)球O的表面积为________； (2)若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是__________． 6．在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝6，AA1＝4，点P为棱BB1上的动点(含端点)，则AP＋PC的最小值是(　　) A．6 B．6 C．8 D．8 7．(2025·广西模拟预测)在三棱锥V­ABC中，BV⊥平面VAC，VA＝1，AB＝AC＝，∠VAC＝，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥V­ABC的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，CF＝__________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间点、线、面的位置关系 课前必备知识 课标要求 1.在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解“四个基本事实和一个定理”，并能运用其解决空间位置关系的简单问题． 知识梳理 1．平面的基本性质 基本事实1：过__不在一条直线上__的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的__两个点__在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．用符号语言表示为__A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α__． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们__有且只有一条__过该点的公共直线．用符号语言表示为__P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l__． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线__平行__． 2．空间两条直线的位置关系 (1)空间两条直线的位置关系包括__平行、相交、异面__，其中异面直线是指不同在__任何__一个平面内的直线． (2)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__相等或互补__． 3．空间中直线与平面的位置关系 　　 4．平面与平面的位置关系 　　 常用结论 1．三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．异面直线的判定定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 3．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 课前训练 1．若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则a，c的位置关系是(　　) A．异面 B．相交 C．平行 D．以上都有可能 解析：D　可画图帮助判断，得到a与c异面、相交、平行都有可能． 2．(2025·黑龙江齐齐哈尔期中)已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α＝20°，则β＝(　　) A．20° B．160° C．20°或160° D．不能确定 解析：C　因为角α的两边和角β的两边分别平行，所以α，β相等或者互补，所以β＝20°或160°，故选C. 3．(2024·北京海淀阶段练习)给出的下面四个命题中正确的是(　　) A．三个不同的点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．空间两两相交的三条直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 解析：D　对于A，三个不共线的点确定一个平面，A错误； 对于B，一条直线和直线外一个点确定一个平面，B错误； 对于C，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，C错误； 对于D，两条平行直线确定一个平面，D正确．故选D. 4．(教材母题必修8.6.1练习T3)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：C　连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以△B1D1C为等边三角形，所以∠D1B1C＝60°.故选C. 5．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　) A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 解析：C　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面ABC与平面β的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.故选C. 课堂核心考点 考点1　平面基本事实的应用 【例1】 (1)(多选)下列说法中正确的是(　　) A．经过两条平行直线，有且只有一个平面 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 (2)如图，四棱锥P­ABCD，AC∩BD＝O，M是PC的中点，直线AM交平面PBD于点N，则下列结论正确的是(　　) A．O，N，P，M四点不共面 B．O，N，M，D四点共面 C．O，N，M三点共线 D．P，N，O三点共线 解析：(1)ABD　对于A，由推论3知A正确； 对于B，由两条相交直线确定唯一平面，由题意，第三条直线与相交的两条直线分别相交于两个不同的点，根据直线上两个不同点在一个平面内，该直线也在平面内，B正确； 对于C，由平面α与平面β相交，则两平面一定相交于一条直线，在该直线上存在无数个点，C错误； 对于D，由基本事实3，可得D正确．故选ABD. (2)D　直线AC与直线PO交于点O，所以平面PCA与平面PBD交于点O，所以必相交于直线PO，直线AM在平面PAC内，点N∈AM，故N∈平面PAC，故O，N，P，M四点共面，A错误； 若点D与O，M，N共面，则直线BD在平面PAC内，与题目矛盾，B错误； 因为O，M分别为AC，PC的中点，所以OM∥PA，又易知ON∩PA＝P，故ON∩OM＝O，C错误．故选D. (1)理解平面的基本性质，掌握其基本应用是解决“点、线共面，多点共线，多线共点”的关键． (2)基本事实1是确定一个平面的依据；基本事实2是判断直线是否在平面内的依据；基本事实3是判定两个平面相交的依据和判定点在直线上的依据；基本事实4是判定空间两条直线平行的依据. 变式探究 1．(多选)如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是(　　) A．E，F，G，H四点共面 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 解析：AD　依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故FG∥EH，所以E，F，G，H四点共面，A正确，B错误． 因为EH＝BD，FG＝BD，所以四边形EFGH是梯形，则EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点．又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上，D正确，C错误．故选AD. 考点2　空间位置关系的判断 【例2】 (1)下列说法正确的是(　　) A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面 B．和同一条直线异面的两直线一定共面 C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行 D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交 (2)(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点M在线段B1D1(不包含端点)上运动时，下列直线中一定与直线OM异面的是(　　) A．CC1 B．A1B C．AB1 D．DB1 (3)已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆O2、圆O1上的点，若异面直线O1B，O2A所成的角为60°，则AB＝(　　) A. B．2 C．2或 D．2或2 解析：(1)C　两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，A错误； 如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，但DD1与B1C1也是异面直线，B错误； 如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，C正确； 如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，D错误．故选C. (2)BC　对于A，当M为B1D1的中点时，CC1∥OM，A错误； 对于B，因为OM⊂平面BDD1B1，B∈平面BDD1B1，B∉OM，A1∉平面BDD1B1，所以直线A1B与直线OM一定为异面直线，B正确； 对于C，因为OM⊂平面BDD1B1，B1∈平面BDD1B1，B1∉OM，A∉平面BDD1B1，所以直线AB1与直线OM一定为异面直线，C正确； 对于D，又OM⊂平面BDD1B1，DB1⊂平面BDD1B1，D错误． 故选BC. (3)C　如图，过点B作母线BD，交下底面于点D，连接AD，O1O2，O2D， 则O1O2∥BD，O1O2＝BD， 所以四边形O1O2DB为平行四边形， 所以O1B∥O2D， 所以∠AO2D是异面直线O1B，O2A所成的角或其补角， 所以∠AO2D＝60°或∠AO2D＝120°. 当∠AO2D＝60°时，AD＝1，此时AB＝； 当∠AO2D＝120°时，由余弦定理得 AD＝＝， 此时AB＝2，所以AB＝或2.故选C. (1)空间两条直线位置关系的判定，主要是异面、共面的判定．对于异面直线的判定可直接证明也可采用反证法，通过图形分析、运用反证法的思想是判断线面位置关系的常用方法． 判定两直线异面，常利用结论：平面内一点和平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线是异面直线． (2)共面的情况主要是对平行与垂直这两种特殊位置关系的判定．对于平行关系的判定，常利用三角形(梯形)的中位线的性质、平行四边形的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；对垂直关系的判定，常利用平面几何中特殊图形的特点及线面垂直的性质来解决. 变式探究 2．已知m，n为异面直线，m∥平面α，n∥平面β，α∩β＝l，则l(　　) A．与m，n都相交 B．与m，n中至少一条相交 C．与m，n都不相交 D．与m，n中一条相交 解析：C　假设l与m相交，交点为P，由于P∈l，l⊂α，所以P∈α，又P∈m，则m与α有公共点P，与m∥α矛盾，故l与m不相交，同理可得l与n不相交．故选C. 3．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是(　　) A．MN＝EF，且MN与EF平行 B．MN≠EF，且MN与EF平行 C．MN＝EF，且MN与EF异面 D．MN≠EF，且MN与EF异面 解析：D　设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2a， 则MN＝＝＝a. 如图，作点E在平面ABCD内的射影点G，连接EG，GF. 所以EF＝＝＝a， 所以MN≠EF. 连接A1D，因为E为平面ADD1A1的中心，所以DE＝A1D. 连接B1C，因为M，N分别为B1C1，CC1的中点，所以MN∥B1C. 又因为B1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E， 所以MN与EF异面，故选D. 4．平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：A　如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. 因为α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m， 则m1∥m. 又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， 所以B1D1∥m1，所以B1D1∥m， 同理可得CD1∥n. 故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小． 又因为B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)， 所以∠CD1B1＝，得sin∠CD1B1＝.故选A. 考点3　空间几何体的侧面展开与截面问题 【例3】 (1)(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是(　　) A．直线GH与EF平行 B．直线BD与MN为异面直线 C．直线GH与MN所成的角为60° D．直线DE与MN垂直 (2)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，当E，F，G分别是B1C1，C1D1，B1B的中点时，平面EFG截正方体所得截面的周长为________． (3)(2025·四川自贡质检)已知球O的半径为4，圆O1与圆O2为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4，若|OO1|＝3，|OO2|＝，则两截面圆的圆心距|O1O2|＝__________． 解析：(1)BCD　如图，还原成正四面体A­DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合，连接GM. 易知GH与EF异面，BD与MN异面，故A错误，B正确； 又△GMH为等边三角形，所以GH与MN成60°角，C正确； 易证DE⊥AF，MN∥AF， 所以MN⊥DE，所以D正确．故选BCD. (2)3　延长EG交CB的延长线于点Q，则BQ＝CB. 连接BD，AC，AD1，过Q作QH∥BD，交AB于H，交AD于K，如图所示， 则BH＝HA，AK＝KD， 过K作KT∥AD1，交DD1于T，连接FT， 则六边形FEGHKT即为平面EFG截正方体所得截面． 又F，E，G，H，K，T均为棱的中点，则截面的周长为3. (3)2　如图，设圆O1与圆O2公共弦为AB，其中点为E， 则|O1A|＝＝＝， |O2A|＝＝＝， 所以|O1E|＝＝＝， |O2E|＝＝＝3， 所以在Rt△OO1E中，tan∠OEO1＝＝， 所以∠OEO1＝60°， 在Rt△OO2E中，tan∠OEO2＝， 所以∠OEO2＝30°， 所以在△O1EO2中，∠O1EO2＝90°， 所以|O1O2|＝＝＝2. 1．作截面的三个原则：(1)在同一平面上的两点可引直线；(2)凡是相交的直线都可以画出其交点；(3)凡是相交的平面都可以画出其交线． 2．几何体的侧面展开应选择一个面为“基本面”，然后借助几何体的直观图，依次将其他面展开在“基本面”内. 变式探究 5．已知三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝2，AC＝2，BC＝4，则： (1)球O的表面积为________； (2)若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是__________． 解析：(1)52π　由题意，根据勾股定理可得AC⊥AB，则可将三棱锥P­ABC放入以AB，AC，AP分别为长、宽、高的长方体中，则体对角线为外接球直径， 即2r＝＝2，则r＝， 所以球的表面积为4πr2＝4π×()2＝52π. (2)4π　因为△ABC为直角三角形，所以D为△ABC的外接圆圆心，当DO⊥截面时，截面面积最小，即截面为平面ABC，则外接圆半径为2，故截面面积为π×22＝4π. 6．在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝6，AA1＝4，点P为棱BB1上的动点(含端点)，则AP＋PC的最小值是(　　) A．6 B．6 C．8 D．8 解析：B　把四边形A1ABB1，BB1C1C展开至同一个平面，连接AC，如图所示， 过点B1作B1E⊥AB，则BE＝2，又BB1＝AA1＝4，则∠ABB1＝60°. 在△ABC中，AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，则AC＝2×6×＝6， 此时线段AC中点P到点B的距离ABcos 60°＝3<4＝BB1，即线段AC与BB1相交， 因此AP＋PC的最小值就是展开图中AC的长，点P为AC与BB1的交点， 所以AP＋PC的最小值为6.故选B. 7．(2025·广西模拟预测)在三棱锥V­ABC中，BV⊥平面VAC，VA＝1，AB＝AC＝，∠VAC＝，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥V­ABC的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，CF＝__________． 解析：　根据题意，在平面VAC内，过点F作EF∥AC，交VC于点E.在平面VBC内，过点E作EQ∥VB，交BC于点Q.在平面VAB内，过点F作FD∥VB，交AB于点D，连接DQ，如图所示． 因为EF∥AC，则△VCA∽△VEF， 设其相似比为k，即＝＝＝k，则EF＝k. 又因为VA＝1，AC＝，∠VAC＝， 由余弦定理得， VC＝＝1， 则VC2＋VA2＝AC2，即VC⊥VA. 又BV⊥平面VAC，VC，VA⊂平面VAC，所以BV⊥VC，BV⊥VA. 又AB＝，则BV＝1，BC＝. 因为FD∥VB，则△AFD∽△AVB， 则＝＝， 因为＝＝1－k， 所以＝＝1－k，即FD＝1－k. 同理可得QE＝1－k，即QE＝FD. 因为EQ∥VB，FD∥VB，则EQ∥FD， 故四边形EFDQ为平行四边形，而EQ⊂平面EFDQ，VB⊄平面EFDQ， 故VB∥平面EFDQ，同理AC∥平面EFDQ，即四边形EFDQ为截面图形． 又BV⊥平面VAC，EF⊂平面VAC，则BV⊥EF，又FD∥VB，所以FD⊥EF. 故平行四边形EFDQ为矩形， 则S矩形EFDQ＝EF·FD＝k·(1－k)＝－(k－)2＋， 所以当k＝时，S矩形EFDQ有最大值， 则VF＝kVA＝， 在Rt△CVF中，CF＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $