精品解析：云南省大理市下关第一中学初中部两校区2023-2024学年上学期九年级期中数学试题

下关一中初中部两校区2023-2024学年上期中质量监测 九年级数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列数学符号既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A. ﹣2 B. ﹣ C. D. 2 4. 关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A. 开口向上 B. 与x轴有一个交点 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小 5. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠BAC＝50°，则∠DAC的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 7. 如图，、分别切于A、B两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 设是拋物线上的三点，则的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m． A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 11. 如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，设竖彩条的宽度为，那么满足的方程为（ ） A. B. C. D. 12. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 13. 一个圆内接正多边形的内角为，且周长是，则这个正多边形的边长是__________． 14. 关于x的方程是一元二次方程，则a的值是______． 15. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染了______个人． 16. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中正确的个数是 __________．（填序号） ， ， ， 当时，x的取值范围是 三、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，在中，直径，垂足为，，，求弦． 19. 如图，的顶点坐标为，，．将绕原点逆时针旋转得到． （1）画出； （2）是内一点，求点旋转后对应点的坐标． （3）已知点C关于原点对称的点坐标为，求 （4）求点B旋转到经过的路径长 20. 如图，抛物线过点，． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）点是对称轴上一点，当达到最小值时，求点的坐标． 21. 如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． （1）求证：； （2）若，，求面积． 22. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价100元时，房间会全部住满，当每个房间定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，若宾馆在某一个时间段把每个房间定价增加元（为正整数且）． （1）当宾馆每天收入为8000元，求的值． （2）如果宾馆每天收入要最大，请直接写出每个房间的定价． 23. 如图内接于，，CD是的直径，点P是CD延长线上一点，且． 求证：PA是的切线； 若，求的直径． 24. 已知抛物线与轴两个交点之间的距离为，对称轴为直线，点与点都在抛物线上，且，． （1）求抛物线与轴的交点坐标 （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 下关一中初中部两校区2023-2024学年上期中质量监测 九年级数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列数学符号既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】A选项数学符号是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项数学符号是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C选项数学符号是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D选项数学符号既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，即一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，则这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；熟练掌握知识点是解题的关键． 2. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式与实数根的情况之间的关系如下：，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根． 【详解】解：A选项，则A选项有两个不等实数根，不符合题意； B选项，则B选项有两个不等实数根，不符合题意； C选项方程的一般式为：，则，则C选项有两个不等实数根，不符合题意； D选项方程，则D选项没有实数根，符合题意． 故选：D． 3. 已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A. ﹣2 B. ﹣ C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根， ∴x1•x2＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两个根为x1,x2,则x1+x2=-，x1•x2=． 4. 关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A. 开口向上 B. 与x轴有一个交点 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解题的关键． 由得到抛物线开口向上，配方成，得到对称轴，顶点坐标为，进而逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，故A正确； ∵， ∴对称轴，顶点坐标为，故C正确； ∴抛物线的顶点在x轴上， ∴抛物线与x轴有一个交点，故B正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：D． 5. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到， 再向下平移2个单位长度，得到， 整理得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键． 6. 如图，△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠BAC＝50°，则∠DAC的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到∠BAD=40°，由角的和差求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，∠BAD＝40°， ∵∠BAC＝50°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝50°﹣40°＝10°， 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 7. 如图，、分别切于A、B两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，结合四边形的内角和，求出的度数，再利用圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：连接，由题意，得：， ∴， ∴； 故选C 8. 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，圆锥底面圆的周长，即展开图扇形的弧长为，圆锥展开图为扇形，扇形的半径为，由扇形的面积的公式，即可求解． 【详解】解：由题意可得，圆锥展开图为扇形，扇形的半径为，圆锥底面圆的直径为， ∴圆锥底面圆的周长，即展开图扇形的弧长为， ∴展开图扇形的面积为， 故选：C ． 9. 设是拋物线上的三点，则的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得，，的值，比较大小即可． 【详解】解：∵，，是抛物线上的三点， ∴，，， ∵， ∴， 故选：A． 10. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m． A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2， 当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出： ﹣2.5＝﹣0.5x2+2， 解得：x＝±3， ∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6（m）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 11. 如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，设竖彩条的宽度为，那么满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，结合已知条件列出正确的方程是解题的关键． 根据横、竖彩条的宽度比为，设竖彩条的宽度为，那么横彩条的宽度为，进而可得出除彩条部分外的九块区域可合成长为、宽为的长方形，再根据彩条所占面积是图案面积的四分之一，即可得出关于的一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：已知横、竖彩条的宽度比为，设竖彩条的宽度为， 那么横彩条的宽度为， 则除彩条部分外的九块区域可合成长方形，其中长为、宽为， 由于要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，可列方程为： 整理得：． 故选：D． 12. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题综合考查了一次函数图象与二次函数图象；根据两个函数图象的特征结合各项系数进行分析即可． 【详解】解：A、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都一致，故符合题意； B、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； C、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； D、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都不一致，故不符合题意； 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 13. 一个圆内接正多边形的内角为，且周长是，则这个正多边形的边长是__________． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和公式以及圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据正多边形内角和公式求出边数，再结合周长求出边长． 设正多边形的边数为，根据内角和公式求出，再根据正多边形的每条边都相等，即可得解． 【详解】圆内接正多边形的内角为， ， 解得：， 这个正多边形是正六边形， 正六边形的周长为， 正六边形的边长为． 故答案是：． 14. 关于x的方程是一元二次方程，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，根据一元二次方程定义得出，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染了______个人． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 16. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中正确的个数是 __________．（填序号） ， ， ， 当时，x的取值范围是 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质． 根据抛物线开口向下可得，对称轴在y轴右侧，得，抛物线与y轴正半轴相交，得，进而即可判断；②根据抛物线对称轴是直线，即，可得，进而可以判断；③根据顶点坐标和，进而可以判断；④当时，，即，根据，可得，即可判断；⑤当时，，解得或，可得，根据函数图像的开口方向即可判断． 【详解】解：①根据抛物线开口向下可知：， 对称轴在y轴右侧， ， 抛物线与y轴正半轴相交， ， ，故①错误； ②抛物线对称轴是直线，即， ， ，故②正确； ③， ， 如果， 那么， ， ， 而根据抛物线与y轴的交点，可知，故③错误； ④当时，， 即， ， ，故④正确； ⑤当时，， ， 解得或， 由，可得， 抛物线开口向下， 当时，x的取值范围是，故⑤正确， 所以正确的是②④⑤， 故答案为：②④⑤． 三、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）利用公式法求解一元二次方程的解即可； （2）先整理再利用因式分解的方法求解方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， ， 或， ，． 18. 如图，在中，直径，垂足为，，，求弦． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由可求出半径和，在中运用勾股定理可求出的长，再由垂径定理得，可求出的长； 本题考查了对垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：连接， ∵是直径，， ∴， ∵， ∴， ∵直径， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴． 19. 如图，的顶点坐标为，，．将绕原点逆时针旋转得到． （1）画出； （2）是内一点，求点旋转后对应点的坐标． （3）已知点C关于原点对称的点坐标为，求 （4）求点B旋转到经过的路径长 【答案】（1） 解：如图所示： 即为所求； （2）点的坐标 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了画旋转图形，求旋转后对应点的坐标，关于原点对称的点的坐标特征，求代数式的值，勾股定理及弧长公式，正确作出图形是解题的关键． （1）先画出点B、C绕点O逆时针旋转的对应点，再顺次连接即可； （2）根据图形即可写出点的坐标． （3）先写出点的坐标，再根据题意求得的值，即可求值； （4）点B旋转到点所经过的路径是以点O为圆心，长为半径，圆心角等于的弧长，求出的长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 如图所示： 是内一点，点旋转后对应点，的坐标为． 【小问3详解】 解：由图可知，点C的坐标为，点C关于原点对称的点坐标为， 即， ∴， ∴ ． 【小问4详解】 解：点B旋转到点所经过的路径是以点O为圆心，长为半径，圆心角等于的弧长，， ． 20. 如图，抛物线过点，． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）点是对称轴上一点，当达到最小值时，求点的坐标． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数解析式的求解（待定系数法）、二次函数对称轴的计算、利用轴对称求最短路径问题，掌握通过轴对称转化线段长度以简化最值问题，结合图形中的平行关系和比例关系推导点的坐标是解题的关键． （1）先将点、的坐标代入抛物线解析式，通过解方程组求出对应的值，得到抛物线解析式并计算其对称轴； （2）利用轴对称性质，过对称轴作点的对称点，连接交对称轴于点（此时最短），最后通过分析图形中线段的平行关系和线段的比例关系，计算出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，， 代入得：， 解得：， ∴， 对称轴：． 【小问2详解】 解：如图，作点关于对称轴的对称点，交对称轴于点，连接，交对称轴于点，此时最短， ∵点和点关于对称轴为对称，， ∴，，， ∴，点的横坐标为2， ∵点在抛物线的轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 21. 如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． （1）求证：； （2）若，，求面积． 【答案】（1） 证明：连接，如图： 为的中点， ， ，分别为半径，的中点，， ， 在和中， ， ． （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积计算，熟练掌握圆的弧与圆心角的关系、全等三角形判定定理是解题的关键． （1）通过连接辅助线 ，利用圆的半径相等及弧中点对应的圆心角相等，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而证得线段相等； （2）先确定相关角的度数，结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形的面积公式计算面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：过点作于点， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ． 22. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价100元时，房间会全部住满，当每个房间定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，若宾馆在某一个时间段把每个房间定价增加元（为正整数且）． （1）当宾馆每天收入为8000元，求的值． （2）如果宾馆每天收入要最大，请直接写出每个房间的定价． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可知宾馆每个房间定价增加元，也就会有个房间空闲，然后即可得到这天游客租住的房间数和每间房间的利润；根据宾馆每天的利润能达到元可以列出相应的方程，从而求出答案； （2）根据题意，可以得到利润和之间的函数关系式，然后化为顶点式，利用二次函数的性质，即可得到房价定为多少时，宾馆每天的利润最大； 【小问1详解】 解：由题意可得， 宾馆每个房间定价增加元后，这天游客租住了间房，每间房间的利润是元， 由题意可得，， 解得，， ， ， 答：宾馆每天的收入为元时，； 【小问2详解】 设利润为元， 由题意可得， ∴该函数图象开口向下，对称轴为， ， 时取得最大值，此时，， 答：房价定为元时，宾馆每天的利润最大． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 23. 如图内接于，，CD是的直径，点P是CD延长线上一点，且． 求证：PA是的切线； 若，求的直径． 【答案】 （1）证明：连接OA，如图， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 是的切线． （2）的直径为． 【解析】 【分析】连接OA，根据圆周角定理求出，再根据同圆的半径相等从而可得，继而根据等腰三角形的性质可得出，继而由，可得出，从而得出结论； 利用含的直角三角形的性质求出，可得出，再由，可得出的直径． 【详解】略 在中，， ， 又， ， ， ． 的直径为． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键. 24. 已知抛物线与轴两个交点之间的距离为，对称轴为直线，点与点都在抛物线上，且，． （1）求抛物线与轴的交点坐标 （2）求证：． 【答案】（1）， （2） 由（1）得抛物线的解析式为， ∵点与点都在抛物线上，且，， ∴，、是方程的两根， ∴， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）根据题意可求得抛物线与轴的两个交点为，； （2）利用交点式即可求得抛物线的解析式，由点与点都在抛物线上，且，，得到，、是方程的两根，从而可以求出、和的值，代入即可证得结论； 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴两个交点之间的距离为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴两个交点分别为，； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根与系数的关系，熟知二次函数的对称性和根与系数的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $