4.2认识一次函数讲义（基础篇）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

认识一次函数 4.2函数 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 常量与变量 2 课前复习 函数的定义 函数的表示方法 函数图像的定义 函数图像的做法 函数的解析式 新课探索 正比例函数 4 新课探索 一次函数的定义 待定系数法 题型练习 正比例函数的定义 6 题型练习 识别一次函数 根据一次函数定义求参数 求一次函数自变量或函数值 列一次函数解析式 易错点 12 易错点 总结 13 总结 课前复习 常量与变量 1.变量和常量的定义： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量 2.判断方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的、可以互相转化； ③字母不一定就是变量. 函数的定义 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x,y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量. 注意 ①有两个变量； ②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化； ③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应。 函数的表示方法 (1)列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛； (2)解析法能准确地反映函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然； (3)图象法能直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律. 函数图像的定义 对于一个函数，如果把自变量与因变量的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图像。 注意 ①函数图像上的任意点(x,y)都满足其函数的解析式； ②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图像上； ③判断点P(x,y)是否在函数图像上的方法是： 将点P(x,y)的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图像上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图像上。 函数图像的做法 描点法画函数图象的一般步骤： 1.列表：在自变量的取值范围内有代表性的取值，并求出相应的函数值； 2.描点：建立平面直角坐标系，以表格中每一个自变量的值为横坐标，与其对应的函数值为纵坐标，逐一描出各个点。 3.连线：按横坐标由小到大的顺序用平滑的曲线依次连接所描各点。 函数的解析式 用来表示函数关系的等式叫做函数表达式，简称函数式.用函数表达式表示函数的方法也叫解析法. 例如，y=x+9时表示y是c的函数，若写成x=y-9就表示x是y的函数.注意 ①函数解析式是等式. ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示因变量. 新课探索 一、正比例函数 定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注意：k是常数，k≠0,k既可以是正数也可以是负数. 【练习】单选题下列y关于x的函数中是正比例函数的是 ( ). A y=x² B y=2 C y=2 D y=2 答案：C、 分析：A、y是x的二次函数，故A选项错误； B、y是x的反比例函数，故B选项错误； C、y是x的正比例函数，故C选项正确； D、y是x的一次函数，故D选项错误；故选C. 二、一次函数的定义 一次函数的解析式y=kx+b,其中b也叫一次函数的截距； 当b=0时，一次函数y=kx+0=kx,所以正比例函数也是一次函数. 【练习】 下列函数中，y是c的一次函数的是 ( ). ①y=x-6;(②y=2;③y=8;④y=7-x. A ①②③ B ①③④ C ①②③④ D ②③④ 答案：B、 分析：①y=x-6符合一次函数的定义，故本选项正确；②y=2是反比例函数；故本选项错误；③y=8,属于正比例函数，是一次函数的特殊形式，故本选项正确；④y=7-a符合一次函数的定义，故本选项正确；综上所述，符合题意的是①③④; 故选B. 三、待定系数法 已知一次函数的自变量与函数的两对对应值，可以按照以下步骤求这个一次函数的表达式： 1、设所求的一次函数表达式为y=kx+b,(其中k,b是待确定的常数，k≠0). 2、把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b,得到关于k,b的二元一次方程组. 3、解这个关于k,b的二元一次方程组(也可通过等量代换的方法),求出k,b的值. 4、把求得的k,b的值代入y=kx+b,就得到所求一次函数表达式. 这种求函数表达式的方法叫做待定系数法. 【练习】若直线y=kx+b经过A(0,2)和B(3,0)两点，那么这个一次函数关系式是 ( ). A y=2x+3 B y=3x+2 C y=-x+2 D y=x-1 答案：C、 分析：将A(0,2)和B(3,0)两点代入直线y=kx+b,可得出b=2 3k+b=0 y=-xx+2. 故选C. 题型练习 1、 正比例函数的定义 1．下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义：形如（为常数）的函数是正比例函数，逐一分析选项即可判断． 【详解】解：A、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； B、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、，是正比例函数，故本选项符合题意； D、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数叫做正比例函数”进行排除选项即可． 【详解】解：符合正比例函数定义的只有C选项，A、B、D都不是正比例函数； 故选C． 2、 识别一次函数 3．下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义判断即可． 【详解】解：A.是一次函数，符合题意； B.不是一次函数，不符合题意； C.不是一次函数，不符合题意； D.不是一次函数，不符合题意； 故选：A． 4．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的一般形式（、为常数，）． 根据一次函数的定义，判断每个选项的函数形式是否符合． 【详解】解：A、，其中的次数是2，属于二次函数，不是一次函数，不符合题意； B、，符合一次函数的一般形式，所以是一次函数，符合题意； C、，是反比例函数，不是一次函数，不符合题意； D、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意． 故选：B． 3、 根据一次函数定义求参数 5．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：B． 6．已知函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义得出且，即可求解． 【详解】解：函数是一次函数， 且， 解得． 故选：A． 4、 求一次函数自变量或函数值 7．下列各点中，在一次函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．将各选项中的横坐标代入一次函数解析式，计算出对应的纵坐标，与选项中给出的纵坐标对比，判断该点是否在函数图象上． 【详解】解：当时，．故不在一次函数图象上； 当时，．故不在一次函数图象上； 当时，．故在一次函数图象上； 当时，．故不在一次函数图象上； 故选：C． 8．下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，直接把各点代入函数进行检验即可． 【详解】解：A、当时，，所以此点在函数图象上，故本选项符合题意； B、当时，，所以此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； C、当时，，所以此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； D、当时，，所以此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； 故选：A． 5、 列一次函数解析式 9．汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了函数关系式，本题关键是明确油箱内余油量，原有的油量，x小时消耗的油量，三者之间的数量关系，根据数量关系可列出函数关系式． 根据油箱内余油量=原有的油量−x小时消耗的油量，可列出函数关系式． 【详解】解：依题意得，油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为：． 故答案为：． 10．已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)1或 (3)7 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求自变量的值，求函数值， 对于（1），用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将，分别代入关系式，求出答案； 对于（3），将代入关系式，求出结果即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边都除以2，得； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，， 解得． 易错点 1、忽略一次函数定义中“k≠0”的条件，误认为y=kx+b（k=0时）是一次函数（此时为常数函数）； 2、混淆一次函数与正比例函数关系，错误认为“正比例函数不是一次函数”或“一次函数都是正比例函数”（正比例函数是b=0的一次函数）； 3、待定系数法求解析式时，仅用一个条件求k、b（需两个独立条件），或解方程组计算错误导致k、b值出错； 4、列实际问题函数关系式时，混淆自变量与因变量，或数量关系分析错误（如费用、路程等等量关系找错）； 5、函数图像画法错误：未用两点法（如忽略与坐标轴交点），或描点后未画成直线，导致图像失真； 总结 一、正比例函数 定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注意：k是常数，k≠0,k既可以是正数也可以是负数. 二、一次函数的定义 一次函数的解析式y=kx+b,其中b也叫一次函数的截距； 当b=0时，一次函数y=kx+0=kx,所以正比例函数也是一次函数. 三、待定系数法 已知一次函数的自变量与函数的两对对应值，可以按照以下步骤求这个一次函数的表达式： 1、设所求的一次函数表达式为y=kx+b,(其中k,b是待确定的常数，k≠0). 2、把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b,得到关于k,b的二元一次方程组. 3、解这个关于k,b的二元一次方程组(也可通过等量代换的方法),求出k,b的值. 4、把求得的k,b的值代入y=kx+b,就得到所求一次函数表达式. 这种求函数表达式的方法叫做待定系数法. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 认识一次函数 4.2函数 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 常量与变量 课前复习 函数的定义 函数的表示方法 函数图像的定义 函数图像的做法 函数的解析式 新课探索 正比例函数 新课探索 一次函数的定义 待定系数法 题型练习 正比例函数的定义 题型练习 识别一次函数 根据一次函数定义求参数 求一次函数自变量或函数值 列一次函数解析式 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 常量与变量 1.变量和常量的定义： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量 2.判断方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的、可以互相转化； ③字母不一定就是变量. 函数的定义 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x,y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量. 注意 ①有两个变量； ②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化； ③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应。 函数的表示方法 (1)列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛； (2)解析法能准确地反映函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然； (3)图象法能直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律. 函数图像的定义 对于一个函数，如果把自变量与因变量的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图像。 注意 ①函数图像上的任意点(x,y)都满足其函数的解析式； ②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图像上； ③判断点P(x,y)是否在函数图像上的方法是： 将点P(x,y)的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图像上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图像上。 函数图像的做法 描点法画函数图象的一般步骤： 1.列表：在自变量的取值范围内有代表性的取值，并求出相应的函数值； 2.描点：建立平面直角坐标系，以表格中每一个自变量的值为横坐标，与其对应的函数值为纵坐标，逐一描出各个点。 3.连线：按横坐标由小到大的顺序用平滑的曲线依次连接所描各点。 函数的解析式 用来表示函数关系的等式叫做函数表达式，简称函数式.用函数表达式表示函数的方法也叫解析法. 例如，y=x+9时表示y是c的函数，若写成x=y-9就表示x是y的函数.注意 ①函数解析式是等式. ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示因变量. 新课探索 一、正比例函数 定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注意：k是常数，k≠0,k既可以是正数也可以是负数. 【练习】单选题下列y关于x的函数中是正比例函数的是 ( ). A y=x² B y=2 C y=2 D y=2 二、一次函数的定义 一次函数的解析式y=kx+b,其中b也叫一次函数的截距； 当b=0时，一次函数y=kx+0=kx,所以正比例函数也是一次函数. 【练习】 下列函数中，y是c的一次函数的是 ( ). ①y=x-6;(②y=2;③y=8;④y=7-x. A ①②③ B ①③④ C ①②③④ D ②③④ 三、待定系数法 已知一次函数的自变量与函数的两对对应值，可以按照以下步骤求这个一次函数的表达式： 1、设所求的一次函数表达式为y=kx+b,(其中k,b是待确定的常数，k≠0). 2、把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b,得到关于k,b的二元一次方程组. 3、解这个关于k,b的二元一次方程组(也可通过等量代换的方法),求出k,b的值. 4、把求得的k,b的值代入y=kx+b,就得到所求一次函数表达式. 这种求函数表达式的方法叫做待定系数法. 【练习】若直线y=kx+b经过A(0,2)和B(3,0)两点，那么这个一次函数关系式是 ( ). A y=2x+3 B y=3x+2 C y=-x+2 D y=x-1 题型练习 1、 正比例函数的定义 1．下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2、 识别一次函数 3．下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 3、 根据一次函数定义求参数 5．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 6．已知函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 4、 求一次函数自变量或函数值 7．下列各点中，在一次函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 8．下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 5、 列一次函数解析式 9．汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 10．已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 易错点 1、忽略一次函数定义中“k≠0”的条件，误认为y=kx+b（k=0时）是一次函数（此时为常数函数）； 2、混淆一次函数与正比例函数关系，错误认为“正比例函数不是一次函数”或“一次函数都是正比例函数”（正比例函数是b=0的一次函数）； 3、待定系数法求解析式时，仅用一个条件求k、b（需两个独立条件），或解方程组计算错误导致k、b值出错； 4、列实际问题函数关系式时，混淆自变量与因变量，或数量关系分析错误（如费用、路程等等量关系找错）； 5、函数图像画法错误：未用两点法（如忽略与坐标轴交点），或描点后未画成直线，导致图像失真； 总结 一、正比例函数 定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注意：k是常数，k≠0,k既可以是正数也可以是负数. 二、一次函数的定义 一次函数的解析式y=kx+b,其中b也叫一次函数的截距； 当b=0时，一次函数y=kx+0=kx,所以正比例函数也是一次函数. 三、待定系数法 已知一次函数的自变量与函数的两对对应值，可以按照以下步骤求这个一次函数的表达式： 1、设所求的一次函数表达式为y=kx+b,(其中k,b是待确定的常数，k≠0). 2、把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b,得到关于k,b的二元一次方程组. 3、解这个关于k,b的二元一次方程组(也可通过等量代换的方法),求出k,b的值. 4、把求得的k,b的值代入y=kx+b,就得到所求一次函数表达式. 这种求函数表达式的方法叫做待定系数法. 1 学科网（北京）股份有限公司 $