4.2认识一次函数讲义2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

认识一次函数 学习目标 1. 理解一次函数的概念：能够准确识别形如 （(k)，(b) 为常数，(k≠0)）的函数为一次函数，明白其一般形式的特点及各参数的意义。 2. 掌握一次函数的表达式：学会根据给定的条件，如两点坐标、函数的性质等，确定一次函数 中 (k) 和 (b) 的值，从而写出函数表达式。 3. 了解一次函数与正比例函数的关系：知道正比例函数是特殊的一次函数（ 时），并能区分两者在表达式、图像和性质上的异同。 4. 运用一次函数解决实际问题：通过分析实际问题中的数量关系，建立一次函数模型，利用函数的性质解决诸如最值、方案选择等实际问题，提高数学应用能力。 知识点讲解 （一）一次函数的定义 一般地，形如 （(k)，(b) 为常数，(k≠0)）的函数，叫做一次函数。其中 (x) 是自变量，(y) 是因变量。特别地，当 时，（(k) 为常数，(k≠0)），这时 (y) 叫做 (x) 的正比例函数。 例如，函数 是一次函数，而 是正比例函数，它也是特殊的一次函数。 （二）一次函数表达式的确定 1. 待定系数法：确定一次函数表达式的常用方法是待定系数法。其基本步骤为： · 设出函数表达式 。 · 把已知条件（通常是两组 (x)，(y) 的值）代入表达式，得到关于 (k)，(b) 的方程组。 · 解方程组，求出 (k)，(b) 的值。 · 把 (k)，(b) 的值代回所设表达式，写出函数表达式。 （三）一次函数与正比例函数的性质 1. 正比例函数 （(k≠0)）的性质： · 当 (k＞0) 时，函数图像经过一、三象限，(y) 随 (x) 的增大而增大。 · 当 (k＜0) 时，函数图像经过二、四象限，(y) 随 (x) 的增大而减小。 2. 一次函数 （(k≠0)）的性质： · 当 (k＞0) 时，(y) 随 (x) 的增大而增大； · 当 (k＜0) 时，(y) 随 (x) 的增大而减小。 (b) 的值决定函数图像与 (y) 轴的交点位置： · 当 (b＞0) 时，函数图像与 (y) 轴交于正半轴； · 当 (b＜0) 时，函数图像与 (y) 轴交于负半轴； · 当 时，函数图像过原点，此时为正比例函数。 例题解析 （一）一次函数的概念判断 1. 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ · · · · · · · （二）确定一次函数表达式 1. 已知一次函数 的图像经过点 ((1,3)) 和 ，求这个一次函数的表达式。 2. 已知一次函数 ，当 时，；当 时，。求这个一次函数的表达式。 （三）一次函数性质的应用 1. 已知一次函数 ， · 若函数值 (y) 随 (x) 的增大而增大，求 (m) 的取值范围。 · 若函数图像与 (y) 轴交于负半轴，求 (m) 的取值范围。 2. 已知一次函数 ，(k＜0)，(b＞0)，则它的图像不经过第（ ）象限。 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 巩固练习 （一）选择题 1. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数是正比例函数，则 (m) 的值为（ ） A. (3) B. (- 3) C. (±3) D. 任意实数 3. 已知一次函数 的图像经过点 ((0,2)) 和 ((3,0))，则 (k)，(b) 的值分别为（ ） A.， B.， C.， D.， 4. 一次函数 中，(y) 随 (x) 的增大而（ ） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 无法确定 （二）填空题 1. 已知一次函数 的图像与 (y) 轴的交点坐标为 ，则 。 2. 若一次函数 的图像经过点 ，则 。 3. 一次函数 的图像经过第______象限。 （三）解答题 1. 已知一次函数 的图像经过点 ((2,5)) 和 ，求这个一次函数的表达式。 2. 已知一次函数 ，当 (k) 为何值时，(y) 随 (x) 的增大而增大？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 认识一次函数 学习目标 1. 理解一次函数的概念：能够准确识别形如 （(k)，(b) 为常数，(k≠0)）的函数为一次函数，明白其一般形式的特点及各参数的意义。 2. 掌握一次函数的表达式：学会根据给定的条件，如两点坐标、函数的性质等，确定一次函数 中 (k) 和 (b) 的值，从而写出函数表达式。 3. 了解一次函数与正比例函数的关系：知道正比例函数是特殊的一次函数（ 时），并能区分两者在表达式、图像和性质上的异同。 4. 运用一次函数解决实际问题：通过分析实际问题中的数量关系，建立一次函数模型，利用函数的性质解决诸如最值、方案选择等实际问题，提高数学应用能力。 知识点讲解 （一）一次函数的定义 一般地，形如 （(k)，(b) 为常数，(k≠0)）的函数，叫做一次函数。其中 (x) 是自变量，(y) 是因变量。特别地，当 时，（(k) 为常数，(k≠0)），这时 (y) 叫做 (x) 的正比例函数。 例如，函数 是一次函数，而 是正比例函数，它也是特殊的一次函数。 （二）一次函数表达式的确定 1. 待定系数法：确定一次函数表达式的常用方法是待定系数法。其基本步骤为： · 设出函数表达式 。 · 把已知条件（通常是两组 (x)，(y) 的值）代入表达式，得到关于 (k)，(b) 的方程组。 · 解方程组，求出 (k)，(b) 的值。 · 把 (k)，(b) 的值代回所设表达式，写出函数表达式。 （三）一次函数与正比例函数的性质 1. 正比例函数 （(k≠0)）的性质： · 当 (k＞0) 时，函数图像经过一、三象限，(y) 随 (x) 的增大而增大。 · 当 (k＜0) 时，函数图像经过二、四象限，(y) 随 (x) 的增大而减小。 2. 一次函数 （(k≠0)）的性质： · 当 (k＞0) 时，(y) 随 (x) 的增大而增大； · 当 (k＜0) 时，(y) 随 (x) 的增大而减小。 (b) 的值决定函数图像与 (y) 轴的交点位置： · 当 (b＞0) 时，函数图像与 (y) 轴交于正半轴； · 当 (b＜0) 时，函数图像与 (y) 轴交于负半轴； · 当 时，函数图像过原点，此时为正比例函数。 例题解析 （一）一次函数的概念判断 1. 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ · · · · · · · 解析： · ，符合 （，，(k≠0)）的形式，是一次函数，但不是正比例函数，因为 (b≠0)。 · ，它是反比例函数，不符合一次函数的形式 ，不是一次函数。 · ，符合 （，(k≠0)）的形式，既是一次函数也是正比例函数，因为 。 · ，(x) 的次数是 (2)，不符合一次函数 (x) 的次数为 (1) 的要求，不是一次函数。 · ，符合 （，(k≠0)）的形式，既是一次函数也是正比例函数，因为 。 · ，符合 （，，(k≠0)）的形式，是一次函数，但不是正比例函数，因为 (b≠0)。 · ，符合 （，，(k≠0)）的形式，是一次函数，但不是正比例函数，因为 (b≠0)。 （二）确定一次函数表达式 1. 已知一次函数 的图像经过点 ((1,3)) 和 ，求这个一次函数的表达式。 解析： 把点 ((1,3)) 和 分别代入 中，得到方程组： 将第一个方程 与第二个方程 相加，可得： 把 代入 中，得 ，。 所以，这个一次函数的表达式为 。 2. 已知一次函数 ，当 时，；当 时，。求这个一次函数的表达式。 解析： 把 ， 和 ， 分别代入 ，可得方程组： 用第一个方程 减去第二个方程 ，得： 把 代入 ，得 (3×2 + b = 5)，，。 所以，这个一次函数的表达式为 。 （三）一次函数性质的应用 1. 已知一次函数 ， · 若函数值 (y) 随 (x) 的增大而增大，求 (m) 的取值范围。 · 若函数图像与 (y) 轴交于负半轴，求 (m) 的取值范围。 解析： · 因为函数值 (y) 随 (x) 的增大而增大，所以一次项系数 (2m - 1＞0)， (2m＞1)， (m＞)。 · 因为函数图像与 (y) 轴交于负半轴，所以常数项 (m - 2＜0)， (m＜2)。 2. 已知一次函数 ，(k＜0)，(b＞0)，则它的图像不经过第（ ）象限。 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 解析： 因为 (k＜0)，所以函数 (y) 随 (x) 的增大而减小，函数图像从左到右下降。 又因为 (b＞0)，所以函数图像与 (y) 轴交于正半轴。 因此，函数图像经过一、二、四象限，不经过第三象限。答案选 C。 巩固练习 （一）选择题 1. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数是正比例函数，则 (m) 的值为（ ） A. (3) B. (- 3) C. (±3) D. 任意实数 3. 已知一次函数 的图像经过点 ((0,2)) 和 ((3,0))，则 (k)，(b) 的值分别为（ ） A.， B.， C.， D.， 4. 一次函数 中，(y) 随 (x) 的增大而（ ） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 无法确定 （二）填空题 1. 已知一次函数 的图像与 (y) 轴的交点坐标为 ，则 。 2. 若一次函数 的图像经过点 ，则 。 3. 一次函数 的图像经过第______象限。 （三）解答题 1. 已知一次函数 的图像经过点 ((2,5)) 和 ，求这个一次函数的表达式。 2. 已知一次函数 ，当 (k) 为何值时，(y) 随 (x) 的增大而增大？ 巩固练习答案 （一）选择题 1. 答案：C 解析：选项 A 是反比例函数；选项 B 中 (x) 的次数是 (2)，是二次函数；选项 C 符合一次函数 （，，(k≠0)）的形式，是一次函数；选项 D 不符合一次函数的形式。 2. 答案：B 解析：因为函数是正比例函数，所以且 (m - 3≠0)。 由，得，。 又因为 (m - 3≠0)，即 (m≠3)，所以 。 3. 答案：B 解析：把点 ((0,2)) 代入 得 。 再把点 ((3,0)) 和 代入 ，得 ， ， 。 4. 答案：B 解析：在一次函数 中，(k = - 2＜0)，根据一次函数性质，(y) 随 (x) 的增大而减小。 （二）填空题 1. 答案：(- 2) 解析：把 代入 ，得 (- 2 = 3×0 + a)，所以 。 2. 答案：(3) 解析：把点 代入 ，得 ， ， ， 。 3. 答案：一、三、四 解析：在一次函数 中，(k = 2＞0)，(b = - 1＜0)，所以函数图像经过一、三、四象限。 （三）解答题 1. 解析： 把点 ((2,5)) 和 分别代入 ，得到方程组： 用第一个方程 减去第二个方程 ，得： 把 代入 ，得 (2×2 + b = 5)，，。 所以这个一次函数的表达式为 。 2. 解析： 因为 (y) 随 (x) 的增大而增大，所以一次项系数 (2 - k＞0)， (- k＞ - 2)， (k＜2)。 学科网（北京）股份有限公司 $