江苏省南京市玄武区2025-2026学年九年级上学期期中数学模拟试卷

江苏省南京市玄武区2025-2026学年九年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是(    ) A. B. C. D. 2.用配方法解一元二次方程，则方程可化为(    ) A. B. C. D. 3.方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4.若在一组数据，，，中，再添加一个数据，则这组新数据与原数据相比发生变化的统计量是(    ) A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 5.如图，四边形内接于，为的直径，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，、是以为直径的圆上的两个动点点、不与、重合，在运动过程中弦始终保持不变，是弦的中点，过点作于点若，，则最大值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，共30分。 7.一元二次方程的解为：      ． 8.每年的月日是“世界读书日”，某校开展了“书香浸润心灵阅读点亮人生”读书系列活动，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间单位：小时进行统计，数据如下： 甲组 乙组 两组数据的方差分别为，，则          填“”，“”或“” 9.学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道如图所示，使种植面积达到若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是      ． 10.工人师傅用一张半径为，圆心角为的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为      ． 11.如图，在，点，分别是和上的点，，，连接现假设可以在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率是      ． 12.如图，等腰直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点是量角器上刻度线的外端点，连接交于点，则的度数为      ． 13.如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为的正六边形的顶点处两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向秒钟一次跳正六边形的个边长，黑跳棋按逆时针方向秒钟一次跳正六边形的个边长，经过秒钟后停止跳动，此时两枚跳棋之间的距离是      ． （第11题） （第12题） （第13题） 14.已知实数，满足，，且若，则代数式的最小值是          ． 15.如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，与轴相切，点在轴正半轴上，与相切于点若，则点的坐标为          ． 16.如图，是正方形的外接圆，，点是劣弧上任意一点，于点从点出发按顺时针方向运动到点的过程中，的取值范围是          ． （第15题） （第16题） 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程： ； ． 18.本小题分 榆林市博物馆是榆林市重点公共文化工程如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为，，，现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． 甲停放在位置的概率为______； 请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 19.本小题分 如图，已知：． 尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心；只保留作图痕迹，不写作法和证明 如果的周长为，内切圆的半径为，求的面积． 20.本小题分某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：成绩得分用表示，共分成四组：，，， 九年级班名学生的成绩是： ，，，，，，，，，． 九年级班名学生的成绩在组中的数据是： ，， 通过数据分析，列表如下： 九年级班、班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级班 九年级班 根据以上信息，解答下列问题： 直接写出上述、、的值：______，______，______； 学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． 九年级两个班共人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 21.本小题分某体育场准备利用一堵呈“”形的围墙粗线表示墙，墙足够高改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽米的门细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开，为了充分利用墙体，点必须在线段上，设的长为米． ______米；用含的代数式表示； 若围成的篮球场的面积为平方米，求的长；围网及墙体所占面积忽略不计 22.本小题分 如图，为的直径，点在上，与过点的切线互相垂直，垂足为连接并延长，交的延长线于点． 求证：； 若，，求的长． 23.本小题分 已知关于的方程有两个实数根． 求的取值范围； 当取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求的值； 若方程的两个根均为正整数，直接写出的值． 24.本小题分 如图，为的直径，射线交于点，为劣弧的中点，过点作，垂足为，连接． 求证：是的切线； 若，，求阴影部分的面积． 25.本小题分 如图，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”．   如图，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接求证：是的“相望角”． 如图，若直径，弦，的“相望角”为，求的长． 26.本小题分 为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知四边形是的内接四边形，对角线与相交于点． 【特殊情形】 如图，，过圆心作，垂足为．当是的直径时，求证：． 【一般情形】 如图，，过圆心作，垂足为．当不是的直径时，求证：． 【经验迁移】 如图，，，为上的一点，，若为的中点，连接，则长的最小值为          ． 27.本小题分 如图，在矩形中，，，半径为的与线段相切于点，圆心与点在直线的同侧，沿线段从点向点滚动图．                            图                                             图                                                      图           ，的度数为          ． 当切点与点重合时，求与矩形重叠部分的面积 求的最小值． 若与矩形的两条对角线都相切，求此时线段的长如图，是上任意一点，直接写出的最小值． 第6页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市玄武区2025-2026学年九年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：、为上的两点，若的半径为， ， 不符合题意． 故选：． 根据题意，可得圆的直径为，直径是圆上最长的弦，即，即可得到答案． 本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质． 2.用配方法解一元二次方程，则方程可化为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由原方程移项，得， 等式两边同时加上一次项系数的一半的平方得，即； 故选：． 把常数项移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，配成完全平方的形式，从而可得答案． 本题考查了一元二次方程的解法配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方． 3.方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A  【解析】解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可求解． 本题考查了一元二次方程根的判别式，利用根的判别式判断根的情况是解题的关键． 4.若在一组数据，，，中，再添加一个数据，则这组新数据与原数据相比发生变化的统计量是(    ) A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 【答案】A  【解析】解：原数据的，，，的平均数为， 中位数为， 众数为， 方差为； 新数据，，，，的平均数为：， 中位数为， 众数为， 方差为； 所以添加一个数据，方差发生变化， 故选：． 依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可． 本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 5.如图，四边形内接于，为的直径，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：连接， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ，为的直径， ， ， ， 故选：． 连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，，再根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6.如图，、是以为直径的圆上的两个动点点、不与、重合，在运动过程中弦始终保持不变，是弦的中点，过点作于点若，，则最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：延长交于点，连接， ， ． 点是弦的中点， ， ， 当为的直径时，的值最大，此时的值取最大值，最大值为． 故选：． 延长交于点，连接，根据垂径定理得，结合，可得，进而即可得到答案． 本题主要考查垂径定理，添加辅助线，构造中位线，是解题的关键． 二、填空题：本题共10小题，共30分。 7.一元二次方程的解为：      ． 【答案】，  【解析】解：， ， ， ，， ，， 故答案为：，． 先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 本题考查了解一元二次方程的应用，关键是把一元二次方程转化成一元一次方程． 8.每年的月日是“世界读书日”，某校开展了“书香浸润心灵阅读点亮人生”读书系列活动，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间单位：小时进行统计，数据如下： 甲组 乙组 两组数据的方差分别为，，则          填“”，“”或“” 【答案】  【解析】【分析】分别计算出甲班和乙班的方差即可得到答案． 【详解】解：甲班的平均数为，乙班的平均数为， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求方差，熟知方差计算公式是解题的关键． 9.学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道如图所示，使种植面积达到若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是      ． 【答案】  【解析】解：设小道的宽为，则除去小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形， 由题意得：， 化为一般式是：， 故答案为：． 设小道的宽为，则除去小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，根据“种植面积达到”列出一元二次方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10.工人师傅用一张半径为，圆心角为的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为      ． 【答案】  【解析】解：设这个圆锥的底面圆半径为． 根据题意，得， 解得， 这个圆锥的底面圆半径为． 故答案为：． 设这个圆锥的底面圆半径为，利用弧长公式，根据圆锥的底面周长扇形的弧长列关于的方程并求解即可． 本题考查圆锥的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键． 11.如图，在，点，分别是和上的点，，，连接现假设可以在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率是      ． 【答案】  【解析】解：， ∽， ， ，， ， 设，则，， ， 在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率． 故答案为：． 由平行可得∽，利用相似三角形的性质和三角形面积的比例关系，逐步推导出阴影部分面积与原三角形面积的比例，从而求出概率即可． 本题考查了相似三角形的性质．用到的知识点为：相似三角形面积比等于相似比的平方；两个三角形的高相等，面积比等于底边的比． 12.如图，等腰直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点是量角器上刻度线的外端点，连接交于点，则的度数为      ． 【答案】  【解析】解：连接，是半圆的直径，是等腰直角三角形， 点也在以为直径的圆上，， ， ， ， ． 故答案为：． 根据题意是等腰直角三角形，根据圆周角定理推论可得点也在以为直径的圆上，根据圆周角定理可的度数，根据三角形内角和定理即可得出答案． 本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键． 13.如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为的正六边形的顶点处两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向秒钟一次跳正六边形的个边长，黑跳棋按逆时针方向秒钟一次跳正六边形的个边长，经过秒钟后停止跳动，此时两枚跳棋之间的距离是      ． 【答案】  【解析】解：黑跳棋从点按逆时针方向秒钟跳个顶点， 黑跳棋每过秒返回到点，， 经过秒钟后，黑跳棋跳到点， 红跳棋从点按顺时针方向秒钟跳个顶点， 红跳棋每过秒返回到点，， 经过秒钟后，红跳棋跳回到点， 连接，过点作，如图所示： 是正六边形， ，， ，则， 在中，， ， 经过秒钟后，两枚跳棋之间的距离是， 故答案为：． 分别计算红跳棋和黑跳棋过秒钟后的位置，红跳棋跳回到点，黑跳棋跳到点，可得结论． 本题考查了正多边形和圆、勾股定理、含的直角三角形性质等知识，根据方向和速度确定经过秒钟后两枚跳棋的位置是解本题的关键． 14.已知实数，满足，，且若，则代数式的最小值是          ． 【答案】  【解析】【点拨】，，，实数，满足，，且，，可看作关于的一元二次方程的两根，，当时，有最小值，最小值为． 15.如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，与轴相切，点在轴正半轴上，与相切于点若，则点的坐标为          ． 【答案】  【解析】解：过点分别作轴于点、轴于点，连接，如图， 轴，轴， 四边形为矩形， ，， 与轴相切， 为的半径， 点坐标为， ，， 是切线， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， 点在轴上， 点坐标为 故答案为： 连接，过点分别作轴、轴，利用根据圆的切线性质可知、为直角三角形，，利用直角三角形中角的性质和勾股定理分别求出、、的长度，进而求出、的长度即可求得答案． 本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是把所求的线段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圆的切线作半径． 16.如图，是正方形的外接圆，，点是劣弧上任意一点，于点从点出发按顺时针方向运动到点的过程中，的取值范围是          ． 【答案】  【解析】如图， ，， 点的运动轨迹是以为直径的，连接交于． 在中，，． 点从点出发按顺时针方向运动到点的过程中，的最小值为，最大值为， ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程： ； ． 【答案】，；  ，  【解析】， ， 化为两个一次方程得或， 解得，； ， ， 化为两个一次方程得或， 解得，． 把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； 把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等是解题关键． 18.本小题分 榆林市博物馆是榆林市重点公共文化工程如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为，，，现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． 甲停放在位置的概率为______； 请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】；    【解析】该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为，，，， 甲停放在位置的概率为； 画树状图如下： 由树状图知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有种， 甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 直接用概率公式求解即可； 画树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有种，再利用概率公式求解即可． 此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 19.本小题分 如图，已知：． 尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心；只保留作图痕迹，不写作法和证明 如果的周长为，内切圆的半径为，求的面积． 【答案】(1)如图①所示，点即为所求作.      (2)如图②所示，连接、、，作于点，于点，于点.∵内切圆的半径为1.3cm，.的周长为14 cm，，则，故的面积为.   【解析】 略  略 20.本小题分 某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：成绩得分用表示，共分成四组：，，， 九年级班名学生的成绩是： ，，，，，，，，，． 九年级班名学生的成绩在组中的数据是： ，， 通过数据分析，列表如下： 九年级班、班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级班 九年级班 根据以上信息，解答下列问题： 直接写出上述、、的值：______，______，______； 学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． 九年级两个班共人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 【答案】，，；   学校会选派九年级  班； 理由：九年级  班的方差小于九年级  班的方差， 九年级  班成绩更稳定， 学校会选派九年级  班；   人  【解析】九年级班组占的百分比为， ， ， 九年级班名学生测试成绩由小到大排列是：，，，，，，，，，， 从小到大排列后，第和位置的数是和， 中位数， 九年级班名学生测试成绩中，出现的次数最多， 众数； 故答案为：，，； 这次比赛中，学校会选派九年级班， 理由：九年级班的方差小于九年级班的方差， 九年级班成绩更稳定， 学校会选派九年级班； 人， 答：估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是人． 先求出组所占百分比，再将减去其他三组所占百分比，即可求出的值；关键中位数和众数的概念即可确定，的值； 求出九年级班的方差，再根据方差的意义即可判断会选派哪一个班级； 用样本估计总体的思想即可解决问题． 本题考查扇形统计图，平均数，中位数，众数，方差，用样本估计总体，理解相关统计量的意义，能从统计图中获取有用数据是解题的关键． 21.本小题分 某体育场准备利用一堵呈“”形的围墙粗线表示墙，墙足够高改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽米的门细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开，为了充分利用墙体，点必须在线段上，设的长为米． ______米；用含的代数式表示； 若围成的篮球场的面积为平方米，求的长；围网及墙体所占面积忽略不计 【答案】；   米  【解析】的长为米， 米， 故答案为：； 由题意可得，， ， ， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，故舍去， 答：篮球场的宽的长为米． 根据各边之间的关系，即可用含的代数式表示出的长； 根据围成的篮球场的面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 本题主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 22.本小题分 如图，为的直径，点在上，与过点的切线互相垂直，垂足为连接并延长，交的延长线于点． 求证：； 若，，求的长． 【答案】解：证明：连接、，如图， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； 为的直径， ， ， ，， ， ， ．  【解析】本题考查的是切线的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的面积，平行线的判定与性质有关知识． 连接、，根据切线的性质得到，则可判断，得到，然后证明，从而得到结论； 利用圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用面积法求出的长． 23.本小题分 已知关于的方程有两个实数根． 求的取值范围； 当取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求的值； 若方程的两个根均为正整数，直接写出的值． 【答案】；  ；   或或  【解析】关于的方程有两个实数根，，，， ， 解得； ， 当取最大整数值时，方程与有一个相同的根， ， 方程可化为， 解得， 方程与有一个相同的根， ， 解得； 设关于的方程的两个根为，， ，， 这个方程的两个根均为正整数， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为或或． 根据一元二次方程根的判别式求解即可得； 先得出，再求出方程的解，代入方程求解即可得； 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再根据方程的两个根均为正整数分类讨论，代入计算即可得． 本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 24.本小题分 如图，为的直径，射线交于点，为劣弧的中点，过点作，垂足为，连接． 求证：是的切线； 若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：如图，连接BF，OC. ∵AB为的直径，∴，即. ∵，∴.∵C为劣弧BF的中点，∴. 又∵，∴.又∵点C在上，∴CE是的切线.   (2)解：如图，连接OF，FC. ∵，，∴， ∵C为劣弧BF的中点，∴，∴. ∵，∴，∴是等边三角形， ∴，∴， ∴，即阴影部分的面积为.   【解析】 略  略 25.本小题分 如图，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”．   如图，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接求证：是的“相望角”． 如图，若直径，弦，的“相望角”为，求的长． 【答案】(1)证明：∵弦CE⊥直径AB，∴AB垂直平分弦CE，∴∠APC＝∠APE，∵∠APE＝∠BPD，∴∠APC＝∠BPD，∴∠CPD是的“相望角”．  (2)∵的“相望角”为90°，∴∠CPD＝90°，∴∠APC＝∠BPD＝45°，∵直径AB＝6，弦CE⊥AB，∴∠PEC＝∠PCE，∠APE＝∠APC＝45°，∴∠CPE＝90°，∴∠PEC＝∠PCE＝45°，  如图，连接OC，OD，则， ∵，∴∠COD＝2∠PEC＝90°，∴，  即CD的长为．   【解析】 略  略 26.本小题分 为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知四边形是的内接四边形，对角线与相交于点． 【特殊情形】 如图，，过圆心作，垂足为．当是的直径时，求证：． 【一般情形】 如图，，过圆心作，垂足为．当不是的直径时，求证：． 【经验迁移】 如图，，，为上的一点，，若为的中点，连接，则长的最小值为          ． 【答案】(1)证明：∵在⊙O中，OF⊥AD， ∴DF＝AF． 又DO＝OB， ∴OF是△ADB的中位线， ∴OF＝AB． ∵BD为⊙O的直径，BD⊥AC， ∵＝， ∴AB＝BC． ∴OF＝BC．   (2)证明：作直径DG，连接AG． ∵在⊙O中，OF⊥AD， ∴DF＝AF． 又DO＝OG， ∴OF是△ADG的中位线， ∴AG＝2OF ∵＝， ∴∠G＝∠ACD． ∵DG是⊙O的直径， ∴∠DAG＝90°． 又AC⊥BD，∠DAG＋∠ADG＋∠AGD＝∠DEC＋∠EDC＋∠ACD＝180°， ∴∠ADG＝∠EDC． ∴和所对的圆心角相等． ∴AG＝BC．       ∴BC＝2OF，即OF＝BC．   (3)3  【解析】 见答案  见答案  略 27.本小题分 如图，在矩形中，，，半径为的与线段相切于点，圆心与点在直线的同侧，沿线段从点向点滚动图．                            图                                             图                                                      图           ，的度数为          ． 当切点与点重合时，求与矩形重叠部分的面积 求的最小值． 若与矩形的两条对角线都相切，求此时线段的长如图，是上任意一点，直接写出的最小值． 【答案】(1)16 ;​​​​​​​  (2)①-;②5  (3)7或11;5.  【解析】 略  略  略 第9页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省南京市玄武区2025-2026学年九年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知A、B为⊙O上的两点，若⊙O的半径为3，则AB的长不可能是() A.1 B.3 C.5 D.7 2.用配方法解一元二次方程x2-6x-7=0,则方程可化为() A.(x+3)2=16 B.(x-3)2=16 C.(x-3)2=2 D.(x+1)x-7)=0 3.方程2x2+V3x-1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 4.若在一组数据7,9,9,11中，再添加一个数据9，则这组新数据与原数据相比发生变化的统计量是() A.方差 B.平均数 C.众数 D.中位数 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AE为⊙0的直径，连接AC,若LADC=120°，则LCAE 的度数为() A.60° B.459 C.30° D.20° 6.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程 中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP1AB于点P.若CD=3,AB=5, 则PM最大值是() B A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 二、填空题：本题共10小题，共30分。 7.一元二次方程x(5x-4)=5x-4的解为： 8.每年的4月23日是“世界读书日”，某校开展了“书香浸润心灵阅读点亮人生”读书系列活动，为了解学 生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进行统计，数据如下： 甲组 6 9 0 乙组 7 12 两组数据的方差分别为s昂，s2,则s昂s2(填“>”， “<”或“=”) 9.学校的劳动实践基地是一块长30m、宽16m的矩形土地.为便于学生参与劳动， 要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到400m2.若 设小道的宽为xm,则根据题意，列方程，并化为一般形式是· 30m 第1页，共8页 10.工人师傅用一张半径为24cm,圆心角为150的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半 径为一 11.如图，在△ABC,点D,E分别是AB和AC上的点，DE//BC,AD=3BD,连接CD.现假设可以在图中随 意取点，则这个点取在阴影部分的概率是一· 12.如图，等腰直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D是量角器上56°刻度线的外端点，连接CD 交AB于点E,则∠CEB的度数为， 13.如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为4的正六边形ABCDEF的顶点A处.两枚跳棋跳动规则 是：红跳棋按顺时针方向1秒钟一次跳正六边形ABCDEF的1个边长，黑跳棋按逆时针方向3秒钟一次跳正六 边形ABCDEF的1个边长，经过2022秒钟后停止跳动，此时两枚跳棋之间的距离是· 60 09 D A 90° E D B E (第11题) (第12题) (第13题) 14.己知实数m,n满足m2-am+1=0,n2-am+1=0,且m≠n.若a≥3，则代数式(m-1)2+(m-1)2 的最小值是一· 15.如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(8,5)，⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相 切于点B若∠APB=30°，则点P的坐标为一· 16.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，AB=2,点E是劣弧AD上任意一点，CF1BE于F点E从点A出发按 顺时针方向运动到点D的过程中，AF的取值范围是一· D 0 B (第15题) (第16题) 第2页，共8页 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题8分) 解方程： (1)(x+3)2-25=0: (2)2x2+x-15=0. 18.(本小题8分) 榆林市博物馆是榆林市重点公共文化工程.如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分 别为A,B,C,D现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再 从剩下的三个车位中随机选择一个停放. (1)甲停放在A位置的概率为一一： (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率. B C D 19.(本小题8分) 如图，已知：△ABC (1)尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O;(只保留作图痕迹，不写作法和证明) (2)如果△ABC的周长为14cm,内切圆的半径为1.3cm,求△ABC的面积. 第3页，共8页 20.(本小题8分)某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试， 从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组A.80≤x≤85，B.85≤ x≤90，C.90≤x≤95，D.95≤x≤100.) 九年级(1)班10名学生的成绩是： 96,80,96,86,99,98,92,100,89,82 九年级(2)班10名学生的成绩在C组中的数据是： 94,90,92 通过数据分析，列表如下： 九年级(2)班学生成绩扇形统计图 九年级(1)班、(2)班抽取的学生竞赛成绩统计表 10% 年级 平均数 中位数 众数 方差 B C 九年级(1)班 92 b 52 20% 九年级(2)班 92 94 100 50.4 D a% 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述a、b、c的值： (2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明 理由 (3)九年级两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀(x≥90)的学生总人数 是多少？ 21.(本小题7分)某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线A一B一C表示墙，墙足够高）改建室外篮球场， 如图所示，已知AB1BC,AB=8米，BC=70米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个 篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网GH隔开），为了充分利用 墙体，点F必须在线段BC上，设EF的长为x米。 (I)DE=米：（用含x的代数式表示）： (2)若围成的篮球场BDEF的面积为1200平方米，求EF的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 第4页，共8页 22.(本小题8分) 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延 长线于点E (1)求证：AE=AB: (2)若AB=10,BC=6,求CD的长 E D 23.(本小题8分) 已知关于x的方程x2一6x+k=0有两个实数根， (1)求k的取值范围； (2)当k取最大整数值时，方程x2-6x+k=0与x2-mx=1有一个相同的根，求m的值； (3)若方程的两个根均为正整数，直接写出k的值. 第5页，共8页 24.(本小题8分) 如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F,C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD,垂足为E,连接 AC. (1)求证：CE是⊙O的切线： (2)若∠BAC=30°，AB=4,求阴影部分的面积. D 0 25.(本小题8分) 如图1，C,D是半圆ACB上的两点，点P是直径AB上一点，且满足∠APC=∠BPD,则称LCPD是CD的“相望 角” D D D B 图1 图2 图3 (1)如图2，若弦CE L AB,D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P,连接CP.求证：∠CPD是CD的“相望 角”. (2)如图3，若直径AB=6,弦CE1AB,CD的“相望角”为90°，求CD的长. 第6页，共8页 26.(本小题8分) 为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到 解决问题的方法. 己知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E. (1)【特殊情形】 如图①，AC1BD,过圆心O作OF1AD,垂足为F.当BD是⊙O的直径时，求证：OF=BC. D 0 B ① (2)【一般情形】 如图②，AC1BD,过圆心0作OF1AD,垂足为F.当BD不是⊙O的直径时，求证：OF=BC. D (3)【经验迁移】 如图③，∠AED=60,AD=12,F为AB上的一点，AF=BC,若M为DF的中点，连接AM,则AM长的最小 第7页，共8页 值为一 D ③ 27.(本小题8分) 如图1，在矩形ABCD中，AB=8,BC=85,半径为√3的⊙P与线段BD相切于点M,圆心P与点C在直线BD 的同侧，⊙P沿线段BD从点B向点D滚动（图2）. 0 图1 图2 图3 (1)BD=,LCBD的度数为一 (2)①当切点M与点B重合时，求⊙P与矩形ABCD重叠部分的面积； ②求AP的最小值. (3)①若⊙P与矩形ABCD的两条对角线都相切，求此时线段BM的长；②如图3，N是AC上任意一点，直接 写出BP+PN的最小值. 第8页，共8页