精品解析：江苏省南京市励志高级中学2025-2026学年高一上学期如东创新班10月调研考试数学试卷

南京市励志高级中学创新班2025年秋学期 如东创新班10月调研考试数学试卷 （时间:120分钟 满分:150分） 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.） 1. 已知复数满足，则不可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（ ） A. 4.8 B. 4.9 C. 5.0 D. 5.1 7. 动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，满足，且当时，，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. C. 的图像关于点对称 D. 函数有3个零点 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 已知样本数据，，则（ ） A. 若样本数据的极差为，则样本数据的极差为 B. 若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C. 若样本数据的众数为，则样本数据的众数为 D. 若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 10. 已知，则（ ） A. 的最大值为4 B. 最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数的定义域为，，且对任意实数m，n，有，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 是上的单调递减函数 C. 偶函数 D. 为奇函数 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________． 13. 如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为__________. 14. 已知非零向量、，若，且，则的取值范围为_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分．其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取20名工人，将他们随机分成两组，每组10人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：min）如下： 生产方式 工作时间（单位：min） 第一种 68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 第二种 65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 假设每个工人完成工作所需时间相互独立，用频率估计概率． （1）从采用第一种生产方式工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率； （2）将工作时间分为三层，从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，求这两人完成生产任务的工作时间不在同一层的概率． 16. （1）已知，，求的值；新增小题 （2）已知，为正实数，求的值；新增小题 （3）已知，求的值.新增小题 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，点是上的动点 （1）求角的大小 （2）若是的角平分线，，，求的长度 （3）若，点满足，，求的面积； 18. 已知函数. （1）若的最小正周期为，求的值和函数的对称中心； （2）当时，若对任意，都有，求实数的取值范围. 19. 如图，在直角坐标系中，，已知为角的终边上一点，且为角的终边上一点，且，记与矩形重合的部分的面积为． （1）求的解析式； （2）求的最大值． 20. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，，求的取值范围； （3）若在上的最大值为，最小值为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市励志高级中学创新班2025年秋学期 如东创新班10月调研考试数学试卷 （时间:120分钟 满分:150分） 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.） 1. 已知复数满足，则不可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义求解判断. 【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 故的范围为. 故选：D. 2. 若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定为真命题，转化为恒成立问题，分离参数后求的最小值即可得解. 【详解】若命题是假命题，则是真命题， 此时在时恒成立， ， ， 故选：C 3. 已知：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先化简命题和，再利用包含关系，结合充分条件与必要条件的定义求解即可. 【详解】对于：，，即解得， 所以对应的集合. 对于：，，因为分母不为0，所以， 即，解得，所以对应的集合. 因为集合A与集合B不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【详解】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换底公式结合指数与对数间的运算，求得或，代入，即可化简求得结果. 【详解】由题知，， 则 ，可得或， 所以或， 若，又， 则，所以， 则或（舍去），，； 若，又， 则，所以， 则或（舍去）， 所以， 综上，. 故选：B 6. 中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（ ） A. 4.8 B. 4.9 C. 5.0 D. 5.1 【答案】B 【解析】 【分析】直接代入数据求值即可. 【详解】由题意，得，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，即，代入，得. 故选：B. 7. 动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意确定周期得到，再通过坐标，得到，即可求解. 【详解】由已知可得该函数的周期，， 又当时，， 设，令，得 由，得，在一个周期内可得，， 又需满足，故， . 故选：D 8. 已知是定义在上的偶函数，满足，且当时，，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. C. 的图像关于点对称 D 函数有3个零点 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设可得周期为4，对A，根据条件，利用偶函数的性质，即可求解；对B，利用函数的周期性，即可求解；对C，假设结论成立，从而有，再根据题设有，即可求解；对D，将问题转化成图象交点的个数，在同一坐标系中，作出两函数的图象，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且， 则，即周期为4， 对于选项A，因为时，， 则时，，，又， 所以时，，故A正确， 对于选项B，，故B正确， 对于选项C，若的图像关于点对称， 则，又， 则与矛盾，故C错误， 对于选项D，令，得， 由选项A知，， 又的周期为，则同一直角坐标系中， 作出函数的图象，如图所示， 由图可知，有个交点， 所以函数有个零点，故D正确， 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 已知样本数据，，则（ ） A. 若样本数据的极差为，则样本数据的极差为 B. 若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C. 若样本数据的众数为，则样本数据的众数为 D. 若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据极差的定义即可判断A；根据平均数的性质即可判断B；根据众数的定义即可判断C；根据方差的性质即可判断D. 【详解】对于A，设样本数据中，最大值为，最小值为， 则， 由于在上单调递增， 故样本数据中，最大值为，最小值为， 故， 则样本数据极差为，故A正确； 对于B，由平均数的性质可得样本数据的平均值为，故B错误； 对于C，根据众数的定义可得，样本数据的众数为，故C正确. 对于D，根据方差的性质，样本数据的方差为，故D错误； 故选：AC. 10. 已知，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】AB选项，由基本不等式直接求解即可得到；C选项，利用正切和角公式化简后，结合AB选项可得C正确；D选项，化简后，由AB选项得到，即可判断正误. 【详解】AB选项，，故， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为4，A错误，B正确； C选项，由AB可知，， 故， 当且仅当时，等号成立，C正确； D选项，由AB知，， 故 ， 当且仅当时等号成立，D错误. 故选：BC 11. 已知函数的定义域为，，且对任意实数m，n，有，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 是上的单调递减函数 C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】AD 【解析】 分析】根据已知条件，通过赋值法，结合函数单调性、奇偶性定义，对各选项进行逐一判断． 【详解】选项A：函数的定义域为，对任意实数满足， 令，得，，又， 令，得， ，解得，故A正确； 选项B：当时，， 设，则，则， ，，即， ，则在上单调递增，故B错误； 选项C：若为偶函数，则，与，矛盾，故C错误； 选项D：令，则，即， ，即函数为奇函数，故D正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的单调区间来求解参数范围即可. 【详解】由可得：， 因为正弦函数的单调递增区间是， 所以，解得：， 由解得：， 因，所以当时，有， 当时，有， 故答案为： 13. 如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助向量线性运算及数量积公式可得，再求出最小值即可得. 【详解】连接，则 ， 由最小值为中以为底的高， 则， 经检验等号成立时满足题意. 故答案为：. 14. 已知非零向量、，若，且，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件化简数量积，再设应用换元法列出一元二次不等式组计算求解. 【详解】因为，所以， 设，且，所以， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取20名工人，将他们随机分成两组，每组10人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：min）如下： 生产方式 工作时间（单位：min） 第一种 68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 第二种 65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 假设每个工人完成工作所需时间相互独立，用频率估计概率． （1）从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率； （2）将工作时间分为三层，从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，求这两人完成生产任务的工作时间不在同一层的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式直接求解即可. （2）先表示出事件并由古典概型概率公式求出概率，然后根据互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可. 【小问1详解】 第一组工人中工作时间小于的有5人，占第一组人数的， 所以从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率为； 【小问2详解】 将工作时间段分别记为第一、二、三层，从第一组工人中抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间属于第层，记作；从第二组工人中抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间属于第层，记作； 这两人完成生产任务的工作时间不在同一层，记作；由题意得，， 所以，，，，， 所以. 16. （1）已知，，求的值；新增小题 （2）已知，为正实数，求的值；新增小题 （3）已知，求的值.新增小题 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则求解即可； （2）根据指数幂的运算法则及完全平方公式、立方差公式求解即可； （3）由题可得，利用换元法及求根公式求解即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 因为， ， 所以. 【小问3详解】 由可得， 即， 又，令，则， 解得，即. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，点是上的动点 （1）求角的大小 （2）若是的角平分线，，，求的长度 （3）若，点满足，，求的面积； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得，可求解； （2）由题意可得，计算可求解； （3）由已知可得，平方可得，又由余弦定理可得，计算可得的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以，又，； 【小问2详解】 若是的角平分线，又， 所以， 所以，又，， 所以，解得； 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以，所以， 由余弦定理可得，又， 所以，解得， 所以， 所以的面积为. 18. 已知函数. （1）若的最小正周期为，求的值和函数的对称中心； （2）当时，若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式，辅助角公式化简函数的解析式.根据的最小正周期为，求得的值，利用整体代换法求得函数的对称中心； （2）根据条件确定函数的解析式，根据求得的取值范围，利用函数单调性求得相对应的的取值范围，从而得到实数的取值范围. 【小问1详解】 . 因为的最小正周期为，则，所以. 所以. 令，得. 函数的对称中心为； 【小问2详解】 由（1）知. 当时，. 若，则 由，得，即， 所以. 令，则. 结合下图可知：，所以. 故实数的取值范围是. 19. 如图，在直角坐标系中，，已知为角的终边上一点，且为角的终边上一点，且，记与矩形重合的部分的面积为． （1）求的解析式； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设为中点，分和两种情况可求得； （2）分和两种情况，利用换元法，结合函数的单调性可求得的最大值. 【小问1详解】 设为中点， ①当时，设与交于与交于，如下左图， 则， ②当时，设分别与交于，如上右图， 则， 综上所述，. 【小问2详解】 ①当时，， 设，当时，， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当，即时，取得最大值； ②当时，， 当时，，即， ， 综上所述，当时，取得最大值. 20. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，，求的取值范围； （3）若在上的最大值为，最小值为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据三角函数单调性，通过换元法求解不等式，最终求出即可. 通过的范围求整体范围，找出最大值和最小值，根据恒成立条件列出的不等式，最终求解的范围即可. 利用换元法，根据的范围求整体范围，在正弦函数固定长度区间上找出最值差. 【小问1详解】 函数的单调递增区间为. 令，，解得，. 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，，. 所以，的最大值为，最小值为0，即. ，. 因为，，所以. 所以解得，. 故的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可得函数在上的最大值为，最小值为. 令，则在上的最大值为，最小值为. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 以此类推，当时，. 当时，. 当时，. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $