精品解析：安徽省 合肥市蜀山区琥珀教育集团 2025-2026学年九年级上学期第一次段考数学试题（10月）

2026届九年级第一次阶段性质量调研 数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分． 2．本试卷包括"试题卷"和"答题卷"两部分．"试题卷"共4页，"答题卷"共6页． 3．请务必在"答题卷"上答题，在"试题卷"上答题是无效的． 4．考试结束后，将"试题卷"和"答题卷"一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象经过，则它的图象位于（ ） A. 第四象限 B. 第一象限 C. 第二、四象限 D. 第一、三象限 3. 若（），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图像的表达式是（　　） A. B. C. D. 5. 点都在二次函数图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，与相交于点H，如果，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数中的与的部分对应值如下表： … … … … 则下列判断正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 方程的正根在与之间 D. 当时，随的增大而减小 8. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（　　） A. 4 B. ﹣4 C. ﹣3 D. 3 9. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，，，分别是，的中点，点，分别从点，出发，沿折线方向运动，运动速度都是1个单位长度/秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则与之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 若反比例函数经过点，则的值为______． 12. 某学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图为的黄金分割点（），若的长度为，则的长度是______．（结果保留根号）． 13. 若二次函数与轴有交点，则的取值范围为______． 14. 已知二次函数． （1）该二次函数的图象的对称轴为直线______； （2）若的顶点坐标分别为，，，且此函数的图象与只有两个交点，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共2题，每小题8分，共16分） 15. 已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求． 16. 已知二次函数． （1）用配方法求函数图像的顶点坐标、对称轴； （2）用描点法在给定的平面直角坐标系中画出此函数的图像（需列表）． 四、解答题（本大题共2题，每小题8分，共16分） 17. 某景点圆形喷水池中心处竖直安装一根水管，喷水口处的水流呈抛物线型，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，为该水流的最高点，已知水流落地处离池中心处的距离为，于点，，． （1）求与之间的函数关系式； （2）求水管的高度． 18. 如图，在中，， （1）求证：； （2）若，，，求四边形的周长． 五、解答题（本大题共2题，每小题10分，共20分） 19. 抛物线经过，两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点是抛物线上一动点，点的横坐标的取值范围是，求的纵坐标的取值范围． 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 六、解答题（本大题共1题，共12分） 21. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经调查，每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/千克） 50 60 70 销售量（千克） 100 80 60 （1）求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； （2）设商品每天的总利润为（元），则当售价定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）该商品要想获得每天不低于1558元的利润，且符合该超市的规定，请你求出该商品每千克售价的取值范围． 七、解答题（本大题共1题，共12分） 22. 如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）计算及的长； （2）求的值． 八、解答题（本大题共1题，共14分） 23. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合） ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届九年级第一次阶段性质量调研 数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分． 2．本试卷包括"试题卷"和"答题卷"两部分．"试题卷"共4页，"答题卷"共6页． 3．请务必在"答题卷"上答题，在"试题卷"上答题是无效的． 4．考试结束后，将"试题卷"和"答题卷"一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数进行判断即可． 【详解】解：A、不属于二次函数，故本选项不符合题意； B、不属于二次函数，故本选项不符合题意； C、不属于二次函数，故本选项不符合题意； D、属于二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 若反比例函数的图象经过，则它的图象位于（ ） A. 第四象限 B. 第一象限 C. 第二、四象限 D. 第一、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的图象经过，则，从而可判断它的图象位于第二、四象限，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴它的图象位于第二、四象限， 故选：． 3. 若（），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．将等式两边分别同时除以12和，即可判断答案． 【详解】解：对于选项A、B和D， ，且 ， 两边同时除以12，得 ， 即， 故选项A正确，符合题意；选项B和D错误，不符合题意； 对于选项 C， 将两边同时除以，得 ， 即， 故选项C错误，不符合题意； 故选：A． 4. 将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图像的表达式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图像平移的规律：“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移5个单位， 平移后的函数图像的表达式为：； 故选A． 【点睛】此题考查了二次函数图像的平移变换，熟练掌握其平移的规律是解此题的关键． 5. 点都在二次函数图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，分别求出，和时的函数值即可判断． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴． 故选：C． 6. 如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，与相交于点H，如果，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理可求出的值． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 又， 设， ∴， ∴， 解得，， 所以，的值为， 故选：D． 7. 已知二次函数中的与的部分对应值如下表： … … … … 则下列判断正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 方程的正根在与之间 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据确定二次函数的开口方向、对称轴、与轴交点及根的区间，逐一分析选项即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴根据对称性确定对称轴为， ∴顶点坐标，抛物线开口向下， ∴是最大值， ∴抛物线开口向下，不符合题意； 、当时，， ∴抛物线与轴交点为，位于正半轴，不符合题意； 、根据表格可知：对称轴为，时，， ∴根据对称性，与时， ∴方程的正根在和之间，不符合题意； 、∵抛物线开口向下，对称轴， ∴当时，随的增大而减小，符合题意； 故选：． 8. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（　　） A. 4 B. ﹣4 C. ﹣3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBE＝90°， ∵∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠OAB＝∠CBE， ∵点A的坐标为（4，0）， ∴OA＝4， ∵AB＝5， ∴OB＝＝3， 在△ABO和△BCE中，， ∴△ABO≌△BCE（AAS）， ∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3， ∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1， ∴点C的坐标为（﹣3，1）， ∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C， ∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3， 故选：C． 【点睛】此题考查的是反比例函数与几何综合，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键． 9. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，利用抛物线开口向下，可得，抛物线与y轴交于正半轴，可得，又因为抛物线的对称轴是直线，即，即可判定A；利用时，；时，得到，则判定B；利用交点个数可判断C；利用对称轴小于1可判断D 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线，即，， ∴， ∴，故选项A错误； 当时，； 当时，， ∴ ∴，故选项B错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故C错误； ∵，， ∴， ∴，故选项D正确， 故选：D． 10. 在中，，，，，分别是，的中点，点，分别从点，出发，沿折线方向运动，运动速度都是1个单位长度/秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则与之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可． 【详解】解：如图，连接，作， ∴， ∴， 当时，点M在上，点N在上，， ∴； 如图，当时，点M在上，点N在上， ∵， ∴ ∴ ； 如图，当时，点M、N都在上， ∴， 综上判断选项B的图象符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 若反比例函数经过点，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法即可求得． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， 故答案为：2． 12. 某学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图为的黄金分割点（），若的长度为，则的长度是______．（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，根据黄金分割比例直接求解即可得到答案，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的比例关系，较长线段的平方等于较短线段乘以整条线段． 【详解】解：∵为的黄金分割点（）， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若二次函数与轴有交点，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x交点坐标问题，令，使且，列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数与x轴有交点， ∴， 解得且， 故答案为：且． 14. 已知二次函数． （1）该二次函数的图象的对称轴为直线______； （2）若的顶点坐标分别为，，，且此函数的图象与只有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ； ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （）直接利用抛物线的对称轴公式可得答案； （）先根据抛物线的图象判断抛物线的顶点在三角形的内部或抛物线刚刚过和，两种情况进行解答即可． 【详解】解：（）该二次函数的图象的对称轴为直线， 故答案为：； （）∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴点在抛物线对称轴上， ∵，， ∴点，关于对称轴对称， ∴是等腰三角形， 由二次函数，， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∵此函数的图象与只有两个交点， 抛物线的顶点在三角形的内部时， ∴，解得：， 抛物线顶点在线段下方且恰好经过和， ∴当时，此函数的图象与只有两个交点， ∴，解得：，满足， ∴的取值范围是或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共2题，每小题8分，共16分） 15. 已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求． 【答案】（1）12，8，24 （2）24 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k,然后求解即可； （2）根据比例中项的定义列式求解即可． 【小问1详解】 解：设 ，则， ∵， ∴， 解得，， 所以，，，； 【小问2详解】 解：∵线段x是线段、c的比例中项， ∴， ∴． 16. 已知二次函数． （1）用配方法求函数图像的顶点坐标、对称轴； （2）用描点法在给定的平面直角坐标系中画出此函数的图像（需列表）． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2）描点，连线如图： 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图像问题，关键是掌握画图的方法． （1）把函数解析式用配方法化为顶点式即可解答； （2）用列表，描点，连线作出图像即可． 【小问1详解】 解：， 所以，顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：列表： x …… 0 1 2 3 4 5 …… y …… 1 4 5 4 1 -4 …… 四、解答题（本大题共2题，每小题8分，共16分） 17. 某景点圆形喷水池中心处竖直安装一根水管，喷水口处的水流呈抛物线型，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，为该水流的最高点，已知水流落地处离池中心处的距离为，于点，，． （1）求与之间的函数关系式； （2）求水管的高度． 【答案】（1） （2）水管的高度为米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）令代入函数解析式可得结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 设函数解析式为， 把代入得， 解得，， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 所以，水管的高度为米． 18. 如图，在中，， （1）求证：； （2）若，，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴, ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）22 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）利用相似三角形和平行四边形的性质与判定即可证明； （2）运用（1）的结论得出的长，由（1）得四边形是平行四边形，再利用平行四边形的周长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴平行四边形的周长为． 五、解答题（本大题共2题，每小题10分，共20分） 19. 抛物线经过，两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点是抛物线上一动点，点的横坐标的取值范围是，求的纵坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线的函数表达式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图象与性质判断函数在范围内的最大与最小值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点， 得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∵， 所以，抛物线开口向下，对称轴为直线， 在对称轴处取得最大值， 当时，； 当时，, ∵点的横坐标的取值范围是， ∴当时，． 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 反比例函敕的图象经过点， ， 点在上， ， ． 把，坐标代入，则， 解得， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知直线， 直线交轴于， ， ，关于轴对称， ， ， 轴，． 点到的距离为． ． 【小问3详解】 根据图象得：不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键． 六、解答题（本大题共1题，共12分） 21. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经调查，每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/千克） 50 60 70 销售量（千克） 100 80 60 （1）求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； （2）设商品每天的总利润为（元），则当售价定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）该商品要想获得每天不低于1558元的利润，且符合该超市的规定，请你求出该商品每千克售价的取值范围． 【答案】（1） （2）售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元 （3）的取值范围 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组及二次函数的应用，理解题意，列出方程组及函数关系式是解题关键． （1）设，根据题意列出方程组求解即可； （2）根据利润=收入-成本列出函数关系式，化为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）根据获得每天不低于1558元的利润列出不等式，结合可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：设， 由题意，得， 解得． ∴所求函数表达式为； 【小问2详解】 解： ，其中， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大；当时，W随x的增大而减小； 当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元． 【小问3详解】 解：根据题意得，， 即， 解得， 又， ∴的取值范围． 七、解答题（本大题共1题，共12分） 22. 如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）计算及的长； （2）求的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）先求出，由勾股定理得，再由三角形的面积可求出，最后再由勾股定理得出； （2）求得，过点作交的延长线于点，可证明，得，可得，由可得，得出，设，则，得，故可求出． 【小问1详解】 解：∵点为的中点，， ∴， 在中，，，， ∴， 又， ∴， 解得； 在中，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； 过点作交的延长线于点，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，得， ∴． 八、解答题（本大题共1题，共14分） 23. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合） ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，再根据等式对任意都成立，通过比较对应项系数相等即可求出系数的值． 【小问1详解】 解：由题意得，将点代入得，， 即， ∴， 故所求抛物线的对称轴是直线． 【小问2详解】 解：①∵ ∴， ∴抛物线的解析式为． 又∵， ∴． ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ∴， 故； ②∵在上， ∴， ∵在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值， ∴设（k为定值,）, ∴, 将 代入上式得：， 整理得， 由于上式对任意都成立，所以对应项系数相等， 则有， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $