期中专项训练01 数轴上的动点与距离问题专题复习（9大专项题型）2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

专练01 数轴上的动点与距离问题 【题型1】单动点基础位置与距离计算（共4小题） 1．（2024-2025•新野县期末）如图，数轴上的点A和点B分别表示一7和5，点P是线段AB上一动点．点P从点A出发沿A→B的方向以每秒2个单位的速度向B运动，C是线段AB的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过6秒）．若点P在运动过程中，当CP＝2时，则运动时间t的值为（　　） A．4 B．2 C．2或4 D．或 【答案】C 【分析】根据CP＝2列方程，求解即可． 【解答】解：动点P所表示的数是﹣7+2t， ∵C是线段AB的中点， ∴点C所表示的数是﹣1， ∵CP＝2， ∴|﹣7+2t+1|＝2， ∴2t﹣6＝﹣2或2t﹣6＝2， 整理得，2t＝4或2t＝8， 解得t＝2或4． 即运动时间t的值为2或4， 故选：C． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴，找出等量关系列出方程是解题的关键． 2．（2024-2025•宿豫区期末）在数轴上，点A表示的数为﹣5，点B表示的数为15．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为t秒，当点P到A、B两点距离之和为40时，则t的值是（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣5+2t，根据PA+PB＝40，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣5+2t， 根据题意得：|﹣5+2t﹣（﹣5）|+|﹣5+2t﹣15|＝40， 即2t+2t﹣20＝40， 解得：t＝15， ∴t的值是15． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2024-2025•潍坊期末）如图，在数轴上，点A表示﹣2，点B表示7．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿某一固定方向运动，设运动时间为t秒．当PA＝2PB时，运动时间t的值为 　2或8　 ． 【答案】2或8． 【分析】根据数轴直接得出AB的长即可；根据PA＝t﹣（﹣2）得出PA，然后计算出PB比较PA和PB的关系；分情况列方程求解即可． 【解答】解：（1）由数轴知，AB＝7﹣（﹣2）＝9， 当P点在B点左侧时， 由题意得2t﹣（﹣2）＝2[9﹣（2t+2）]， 解得t＝2， 当P点在B点右侧时， 由题意得2t﹣（﹣2）＝2（2t﹣7）， 得t＝8， 综上，当t的值为2或8时，PA＝2PB． 故答案为：2或8． 【点评】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列出方程求解是解题的关键． 4．（2024-2025•渭南期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣8，0，4，动点P从A点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点M始终为AP的中点，点N始终为PB的中点，点P在从A点运动到B点的过程中，则线段MN的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】首先计算出线段AB的长度，由题意知，动点P从A点出发，沿数轴向右运动，点M始终为AP的中点，点N始终为PB的中点，可得：AP+PB＝AB，MNAB，即可计算出NM的长度． 【解答】解：数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣8，0，4， ∴线段AB＝4﹣（﹣8）＝12， ∵动点P从A点出发，沿数轴向右运动，点M始终为AP的中点，点N始终为PB的中点， ∴MPAP，NPPB， ∵AP+PB＝AB， ∴MNAB12＝6， 故选：A． 【点评】本题考查数轴的知识点，解题的关键是读懂题意和正确计算两点间的距离． 【题型2】双动点相向运动的相遇问题（共4小题） 5．（2024-2025•南关区校级期中）点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁分别从A、B两点同时出发，沿着数轴以相同的速度相向而行，当两只蚂蚁相遇在点P时，点P在数轴上表示的数是　﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意得到当两只蚂蚁相遇在点P时，点P为点A和点B的中点，进而求解即可． 【解答】解：由题意可知：当两只蚂蚁相遇在点P时，点P为点A和点B的中点， ∴点P在数轴上表示的数是． 故答案为：﹣2． 【点评】此题考查数轴，正确记忆相关知识点是解题关键． 6．（2024-2025•新乐市期末）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是﹣30，点B表示的数是10． （1）线段AB的中点C对应的数为 　﹣10　 ； （2）若点D在数轴上，且AD＝3BD，求BD的长； （3）若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上每秒向右前进3个单位长度；同时一只毛毛虫从点B出发，在数轴上每秒向右前进1个单位长度，它们在点E处相遇，求点E对应的数． 【答案】（1）﹣10； （2）BD的长为10或20； （1）点E对应的数是30． 【分析】（1）根据数轴上线段中点所对应的数的计算方法进行计算即可； （2）分两种情况进行解答，即点D在点B的左侧或右侧，列式计算即可； （3）先设运动时间为t，然后用含有t的式子表示点A和点B所对应的数，再令两个数相等列出方程，最后解方程求得t的值，从而得到点E对应的数． 【解答】解：（1）线段AB的中点C对应的数为， 故答案为：﹣10； （2）当点D在点B的左侧时，3BD+BD＝10+30， 解得：BD＝10； 当点D在点B的右侧时，3BD﹣BD＝10+30， 解得：BD＝20； ∴BD的长为10或20； （3）设运动时间为t秒，由题意得， 点A对应的数为﹣30+3t，点B对应的数为10+t， ∴点A和点B相遇时，﹣30+3t＝10+t， 解得：t＝20， 此时，点E对应的数为10+20＝30， ∵点A和点B在点E相遇， ∴点E对应的数是30． 【点评】本题考查数轴，数轴上的点表示数，一元一次方程的应用，掌握速度、时间、路程之间的关系是解决问题的关键． 7．（2024-2025•白云区期末）如图，数轴上点A表示的数是﹣5，点B表示的数是13． （1）点A和点B在数轴上的距离是 　18　 个长度单位； （2）点C，D，E为数轴上的三个动点，点C的速度为3个单位长度每秒，点D的速度为11个单位长度每秒，点E的速度为2个单位长度每秒．点C和点D从A点出发，点E从B点出发． ①三点同时出发向右运动，当点D与点E重合时，求点C所对应的数； ②三点同时出发向右运动，当点D与点E重合后，点D立即沿反方向运动，当点D与点C相遇时，求此时点E所对应的数． 【答案】（1）18；（2）①1；②． 【分析】（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）①设运动时间为t秒，则点C表示的数为﹣5+3t，点D表示的数为﹣5+11t，点E表示的数为13+2t，再根据题意可得方程﹣5+11t＝13+2t，解方程即可得到答案； ②设当点D与点E重合后，经过m秒点D与点C相遇，由①可知当点D与点E重合时，点D和点E表示的数为﹣5+11×2＝17，点C表示的数为1，则3m+11m＝17﹣1，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数是﹣5，点B表示的数是13， ∴点A和点B在数轴上的距离是13﹣（﹣5）＝18个长度单位， 故答案为：18； （2）①设运动时间为t秒， 由题意得，点C表示的数为﹣5+3t，点D表示的数为﹣5+11t，点E表示的数为13+2t， ∵点D与点E重合， ∴﹣5+11t＝13+2t， 解得t＝2， ∴﹣5+3t＝1， ∴当点D与点E重合时，点C所对应的数为1； ②设当点D与点E重合后，经过m秒点D与点C相遇， 由①可知当点D与点E重合时，点D和点E表示的数为﹣5+11×2＝17，点C表示的数为1， ∴3m+11m＝17﹣1， 解得， ∴， ∴此时点E表示的数为． 【点评】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 8．（2024-2025•肇庆期末）如图，已知点A，点B是直线l上的两点，且AB＝6cm，点P和点Q是直线上的两个动点，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线l上运动，运动时间为t（s）． 请回答下列问题： （1）若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ （2）若点P、Q均向右运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ （3）若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出t的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据相遇时P，Q所走的路程＝AB的长度列出方程，解方程即可； （2）当点P、Q均向右运动时，P、Q两点相遇，此时P，Q两点运动的路程差为AB的长度，列出方程，解方程即可； （3）分Q在P的左边和Q在P的右边，列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得：2t+t＝6， 解得：t＝2， 答：t＝2时P、Q两点相遇； （2）根据题意得：2t﹣t＝6， 解得t＝6， 答：t＝6时P、Q两点相遇； （3）当P、Q两点之间距离为2时有两种情况， ①Q在P的左边，此时P，Q两点为AB的长度减去2， 即2t﹣t＝6﹣2， 解得t＝4； ②Q在P的右边，此时P，Q两点为AB的长度加上2， 即2t﹣t＝6+2， 解得t＝8， ∴t的值为4或8． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 【题型3】双动点同向运动的追及问题（共4小题） 9．（2024-2025•东莞市期末）已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数为80． （1）请直接写出AB的中点M对应的数． （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： ①试求出点C在数轴上所对应的数； ②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 【答案】（1）30； （2）①40， ②17秒或23秒． 【分析】（1）根据数轴上A、B两点所表示的数为a、b，则AB的中点所表示的数可以用公式计算； （2）①设出点C所表示的数，表示出AC、BC，再根据两只蚂蚁的运动时间相等，列方程求解即可；②分两种情况进行解答，即：Ⅰ）相遇前相距15个单位长度，Ⅱ）相遇后相距15个单位长度，分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）AB的中点M所对应的数为30 （2）①如图1，设点C所表示的数为x，则AC＝x+20，BC＝80﹣x， 由题意得，， 解得，x＝40， 答：点C在数轴上所表示的数为40； ②分两种情况进行解答，设运动的时间为t秒 Ⅰ）如图2，相遇前相距15个单位长度， 则3t+2t＝80﹣（﹣20）﹣15， 解得，t＝17（秒）， Ⅱ）如图3，相遇后相距15个单位长度 则3t+2t＝80﹣（﹣20）+15， 解得，t＝23（秒） 答：当两只蚂蚁运动17秒或23秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度． 【点评】考查数轴表示数的意义和方法，掌握数轴上两点间中点所表示的数的计算方法以及两种之间距离的计算方法是正确解答的关键． 10．（2024-2025•北林区校级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　 ，点P表示的数是 　6﹣6t （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则6t＝10+4t，然后解方程得到t＝5； ②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10+4a﹣6a＝8；超过Q，则10+4a+8＝6a；由此求得答案解即可． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10+4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【点评】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键． 11．（2024-2025•长宁区期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）运动 　4　 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是 　﹣4　 ； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）分别利用在相遇之前距离为10和在相遇之后距离为10，求出即可． 【解答】解：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得： 2x+3x＝8﹣（﹣12）， 解得：x＝4， ﹣12+2×4＝﹣4． 答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：﹣4； 故答案为：4；﹣4． （2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t， 若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10＝20， 解得：t＝2． 若在相遇之后距离为10，则有2t+3t﹣10＝20， 解得：t＝6． 综上所述：t的值为2或6． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴的应用，利用分类讨论得出是解题关键． 12．（2024-2025•晋江市期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解； （2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出﹣20向右运动到相遇地点所对应的数； （3）此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可． 【解答】解：（1）M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40； （2）A，B之间的距离为120， 它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒）， 即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位）， 即从数﹣20向右运动48个单位到数28； （3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒）， 相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）． 故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 【点评】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程＝速度×时间． 【题型4】动点与中点的动态关系问题（共4小题） 13．（2024-2025•北碚区校级月考）如图所示，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且|a+6|+|b﹣18|＝0，点O为原点，点C在数轴上且位于O，B两点之间，满足AC+OC＝BC． （1）直接写出a＝ 　﹣6　 ，b＝ 　18　 ，点C所对应的数是 　4　 ； （2）动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒． ①若PC＝3CQ，求t的值； ②若动点M同时从点A出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以同样的速度返回，当t为何值时，点M恰好是线段PQ的中点． 【答案】（1）﹣6，18，4； （2）①t＝6或t；②t＝14或t时，点M恰好是线段PQ的中点． 【分析】（1）依据方程求出a，b，根据等式求出点C对应的数； （2）根据条件列出方程，求解，动点问题分类讨论． 【解答】解：（1）∵|a+6|+|b﹣18|＝0， ∴a+6＝0，b﹣18＝0， ∴a＝﹣6，b＝18， ∵AC+OC＝BC，点C在数轴上O，B两点之间， ∴设点C所对应的数为x，（0＜x＜18） x﹣a+x﹣0＝b﹣x， x﹣（﹣6）+x＝18﹣x， 解得：x＝4， 故答案为：﹣6，18，4； （2）①依题意，t秒后，Q点对应的数是18﹣2t， ∴CQ＝|18﹣2t﹣4|＝|2t﹣14|， ∵PC＝t，PC＝3CQ， ∴3|2t﹣14|＝t， 解得：t＝6或t； ②根据题意，t秒后，由于动点M要返回，所以本题分两种情况讨论， （i）当0＜t≤4时，此时动点M还未返回，点M处于P，Q之间， 此时，P点对应的数是：4﹣t，Q点对应的数是：18﹣2t，M点对应的数是：﹣6t， ∴PM＝|t﹣10|，QM＝|t﹣24|， ∵点M恰好为PQ的中点， ∴PM＝QM， |t﹣10|＝|t﹣24|， 解得：t（舍去）或t＝14（舍去）， （ii）当t＞4时，此时动点M遇到Q点后返回， 动点M在 t时相遇，并返回，此时动点M所在位置表示的数是， 此时，M点对应的数是：（t）t， P点对应的数是：4﹣t，Q点对应的数是：18﹣2t， ∴PM＝|t|，QM＝|t|， ∵点M恰好为PQ的中点， ∴PM＝QM， |t|＝|t|， 解得：t＝14或t， ∴当t＝14或t时，点M恰好是线段PQ的中点． 【点评】本题考查了动点问题，要学会列出正确的方程，关键是分类讨论解决问题． 14．（2024-2025•夷陵区期末）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，A在B的左侧． （1）若AB＝8． ①若A，B到原点O的距离相等，则a＝　﹣4　 ． ②若点A与原点O相距3个单位长度，则b＝　5或11　 ． （2）若a＝﹣12，b＝16，点M是数轴上的点，其表示的数为m． ①当|m+12|+|m﹣16|有最小值时，最小值为　28　 ，此时点M须满足的条件是　点M在线段AB上　 ； ②若点M到点A和点B的距离之和为40，求m的值； ③点P，Q分别从A，B两点同时向左运动，点M始终是PQ的中点，P的速度为1个单位/s，Q的速度为3个单位长度/s，当P，Q两点相距4个单位长度时，求此时m的值． 【答案】（1）①﹣4；②5或11； （2）①28；点M在线段AB上；②﹣18或22；③﹣22或﹣30． 【分析】（1）①根据AB＝8，A，B到原点O的距离即可得出，即可求解； ②分A在原点的左和右侧时，分别求得a的值，进而根据AB＝8，A在B的左侧，即可求解； （2）①根据绝对值的意义，可得点M在线段AB上|m+12|+|m﹣16|有最小值时，最小值为AB的长，即可求解； ②根据题意可得点M不在线段AB上，进而分类讨论，即可求解； （3）设P、Q同时向左运动的时间为ts，表示出P、Q运动ts时，点P对应的数为﹣12﹣t，点Q对应的数为16﹣3t，进而根据题意列出绝对值方程，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）①由条件可知， ∴a＝﹣4， 故答案为：﹣4． ②∵AB＝8，点A与原点O相距3个单位长度，A在B的左侧． 当A在原点的左侧时，a＝﹣3 ∴b＝8+（﹣3）＝5， 当A在原点的右侧时，a＝3， ∴b＝8+3＝11 故答案为：5或11． （2）①∵a＝﹣12，b＝16，点M是数轴上的点，其表示的数为m． ∴|m+12|+|m﹣16|有最小值时，最小值为16﹣（﹣12）＝28， 此时点M须满足的条件是：点M在线段AB上， 故答案为：28；点M在线段AB上； ②∵AB＝16﹣（﹣12）＝28， 又∵40＞28， ∴点M不在线段AB上， 情形一：当点M在点A左侧时，MA＝﹣12﹣m，MB＝16﹣m， ∴（﹣12﹣m）+（16﹣m）＝40，解得m＝﹣18， 情形二：当点M在点B右侧时，MA＝m+12，MB＝m﹣16， ∴（m+12）+（m﹣16）＝40，解得m＝22， 综上所述，m的值为﹣18或22． ③设P、Q同时向左运动的时间为ts，则有： PQ＝|（﹣12﹣t）﹣（16﹣3t）|＝|2t﹣28|， 当PQ＝4时，即|2t﹣28|＝4， 解得t＝12或16， 当t＝12时，m＝﹣12﹣12+2＝﹣22； 当t＝16时，m＝﹣12﹣16﹣2＝﹣30． 综上，当P，Q两点相距4个单位长度时，m的值为﹣22或﹣30． 【点评】本题考查了数轴上动点问题，绝对值的意义，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 15．（2024-2025•大冶市期末）【问题背景】数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点M表示的数为． 【情境应用】已知数轴上有A、B两点，点A、B表示的数分别为﹣3和1． （1）填空：线段AB两点之间的距离为　4　 ，线段AB的中点M表示的数是　﹣1　 ； （2）若数轴上点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示　5　 的点重合； 【情境拓展】在数轴上A点表示数﹣3，B点表示数1，C点表示数9，若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． （1）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （2）当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】[情境应用]（1）4，﹣1；（2）5；[情境拓展]（1）1或4或16；（2）存在，． 【分析】[情境应用]（1）根据绝对值和有理数运算的性质求解，即可得到线段AB的中点M表示的数； （2）根据折叠和数轴的性质，首先计算得折痕表示的数，再结合绝对值的性质计算，即可得到答案； [情境拓展]（1）结合题意，根据数轴和一元一次方程的性质计算即可； （2）首先假设存在，首先得到mBC﹣2AB关于t的表达式，根据含t的项的系数为0列式求解，即可得到答案． 【解答】[情境应用]（1）AB＝|a﹣b|＝|（﹣3）﹣1|＝4， 线段AB的中点M表示的数， 故答案为：4，﹣1； （2）∵点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴折痕为AC中点，表示的数为：， ∴B点与折痕距离＝|1﹣3|＝2， ∴与点B的点表示的数＝3+2＝5， 故答案为：5； [情境拓展]（1）t秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t B点所在的数为：1﹣t， C点所在的数为：9﹣4t， 当B点为AC的中点时，即， ∴t＝1， 当C点为AB的中点时，即， ∴t＝4， 当A点为BC的中点时，即， ∴t＝16， ∴t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点； （2）假设存在，则BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t， 由条件可知4+t＞0， ∴AB＝|4+t|＝4+t， ∴mBC﹣2AB＝8m﹣8﹣（3m+2）t， 当3m+2＝0，即时，， ∴存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，． 【点评】本题考查了数轴，非负数的性质，整式的加减、一元一次方程的性质；利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 16．（2024-2025•永定区校级月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数如果分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以B是A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示的数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“联盟点”的是C2 ； （2）点A表示数﹣1，点B表示的数3，P在为数轴上一个动点：若有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数．（写出解题过程） （3）数轴上点A所表示的数为﹣10，点B所表示的数为20．一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．问：t秒后蚂蚁P所表示的数是　20﹣2t ；蚂蚁Q所表示的数是　﹣10+t ；求当t为何值时，P、Q、B三个点中恰有一个点为其余两点的“联盟点”？（写出解题过程） 【答案】（1）C2； （2）1，﹣5，7； （3）20﹣2t，﹣10+t；6或15． 【分析】（1）分别计算C1，C2，C3，C4到A点和B点的距离，然后根据“联盟点”的概念求解即可； （2）设点P表示的数为x，根据题意分3种情况讨论，分别列出方程求解即可； （3）首先表示出点P和点Q表示的数，然后根据题意分3种情况讨论，分别列出方程求解． 【解答】解：（1）∵，AC1≠BC1， ∴C1不是点A，B的“联盟点”； ∵AC2＝0﹣（﹣2）＝2，BC2＝2﹣0＝2，AC2＝BC2， ∴C2是点A，B的“联盟点”； ∵AC3＝4﹣（﹣2）＝6，BC3＝4﹣2＝2，AC3≠BC3， ∴C3不是点A，B的“联盟点”； ∵AC4＝6﹣（﹣2）＝8，BC4＝6﹣2＝4，AC4≠BC4， ∴C4不是点A，B的“联盟点”； ∴点A，B的“联盟点”的是C2， 故答案为：C2； （2）设点P表示x， 当P是A，B的“联盟点”时，PA＝PB， ∴点P时AB的中点， ∴， 当A是P，B的“联盟点”时，AP＝AB， ∴点A是PB的中点， ∴， ∴x＝﹣5， 当B是P，A的“联盟点”时，PB＝AB， ∴点B是AP的中点， ∴， ∴x＝7， 总之，若A、B、P中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，则点P表示的数为1或﹣5或7； （3）点P表示的数是20﹣2t，点Q表示的数是﹣10+t， ∴QP＝|20﹣2t﹣（﹣10+t）|＝|﹣3t+30|，BP＝20﹣（20﹣2t）＝2t，QB＝|20﹣（﹣10+t）|＝|﹣t+30|， ∴当P是B和Q的“联盟点”时，PB＝PQ， ∴2t＝|﹣3t+30|， ∴2t＝﹣3t+30或2t＝3t﹣30， ∴t＝6或t＝30（舍去）； ∴当B是P和Q的“联盟点”时，BP＝BQ， ∴2t＝|﹣t+30|， ∴2t＝﹣t+30或2t＝t﹣30， ∴t＝10（舍去）或t＝﹣30（舍去）； ∴当Q是P和B的“联盟点”时，QP＝QB， ∴|﹣3t+30|＝|﹣t+30|， ∴﹣3t+30＝﹣t+30或﹣3t+30＝t﹣30， ∴t＝0（舍）或t＝15； 总之，当t＝6或15时，P、Q、B三个点中恰有一个点为其余两点的“联盟点”． 故答案为：20﹣2t，﹣10+t． 【点评】本题考查数轴，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解（2）（3）的关键． 【题型5】数轴折叠与动点的结合问题（共4小题） 17．（2024-2025•衡阳月考）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，c＝|4|，请回答下列问题： （1）填空：a＝　﹣1　 ，b＝　1　 ，c＝　4　 ； （2）如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 【答案】（1）﹣1，1，4； （2）①1.5；②0.75或2或3.5． 【分析】（1）最大的负数时﹣1，﹣1的相反数是1，绝对值是4的正数时4，据此解答即可． （2）①对折后点A与点C重合，即点P到A，C的距离相等，据此求解即可． ②分三种情况进行分析计算． 【解答】解：（1）由条件可知a＝﹣1，b＝1， ∵在数轴上点A，B，C从左到右依次排列， ∴a＜b＜c， 又∵c＝|4|， ∴c＝4． 故答案为：﹣1，1，4； （2）①由条件可知点P表示的数为：． ②i）折后B，C不动，A′在BC之间到B，C距离相等． ∴A折后A′对应的数：． ∴点P表示的数为：． ii）折后A，B动，C不动，C在A′B′之间到A′，B′距离相等， ∴B折后B′对应的数：4﹣1＝3， ∴点P表示的数为：． iii）折后A，B动，C不动，点B′在CA′之间到A′，C距离相等， ∴B折后B′对应的数：4+2＝6， ∴点P表示的数为：． 综上，p的值为0.75或2或3.5． 【点评】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． 18．（2024-2025•南部县校级期中）在数轴上有A、B分别表示数a、b，其中，且|a+14|与（b﹣4）2互为相反数．点P是数轴上一动点，规定点P到A的距离是点P到B的距离的2倍时，我们就称点P是关于A→B的“亲密点”． （1）当P运动到表示最大的负整数时，若将数轴折叠，使A点与B点重合，求出与P点重合的点表示的数是多少？ （2）①若P点运动到原点O时，此时点P　不是　 关于A→B的“亲密点”（填是或不是）； ②若P点从A点以每秒2个单位长度向右运动，当点P是关于A→B的“亲密点”，求点P的运动时间． （3）若P在原点左边（即P对应的数是负数）且P、A、B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“亲密点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数． 【答案】（1）﹣9； （2）①不是；②6s或18s； （3）﹣50或﹣23或﹣5或﹣2或﹣8或﹣32． 【分析】（1）根据非负数的性质和相反数的定义求出a、b的值，即得线段AB的中点表示的数，由根据点P表示最大的负整数，可得点P表示的数为﹣1，最后利用中点公式即可求解； （2）①分别求出PA、PB的距离，再根据“亲密点”的定义判断即可；②设点P的运动时间为t秒，可得点P表示的数为﹣14+2t，再分点P在点B的左侧和右侧，分别列出方程解答即可； （3）设点P表示的数为n，则PA＝n+14或﹣n﹣14，PB＝4﹣n，AB＝4﹣（﹣14）＝18，再分分六种情况进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）∵|a+14|与（b﹣4）2互为相反数， ∴|a+14|+（b﹣4）2＝0， ∴|a+14|＝0，（b﹣4）2＝0， ∴根据非负数的性质得，a＝﹣14，b＝4， ∴A、B分别表示数﹣14、4， ∴线段AB的中点表示的数为， ∵点P表示最大的负整数， ∴点P表示的数为﹣1， 设与P点重合的点表示的数为x，则， ∴x＝﹣9， ∴与P点重合的点表示的数是﹣9； （2）①当P点运动到原点O时，PA＝0﹣（﹣14）＝14，PB＝4﹣0＝4， ∵PA≠2PB， ∴此时点P不是关于A→B的“亲密点”， 故答案为：不是； ②设点P的运动时间为t秒， 由题意得，点P表示的数为﹣14+2t， 当点P在点B的左侧时，PA＝﹣14+2t﹣（﹣14）＝2t，PB＝4﹣（﹣14+2t）＝18﹣2t， ∵点P是关于A→B的“亲密点”， ∴根据题意列一元一次方程得，2t＝2（18﹣2t）， 整理得，6t＝36， 解得t＝6； 当点P在点B的右侧时，PA＝﹣14+2t﹣（﹣14）＝2t，PB＝﹣14+2t﹣4＝2t﹣18， ∵点P是关于A→B的“亲密点”， ∴根据题意，列一元一次方程得，2t＝2（2t﹣18）， 整理得，2t＝36， 解得t＝18； 综上，点P的运动时间为6s或18s； （3）设点P表示的数为n，则PA＝n+14或﹣n﹣14，PB＝4﹣n，AB＝4﹣（﹣14）＝18， 分六种情况进行讨论：①当点A是关于P→B的“亲密点”时，|PA|＝2|AB|， 即得一元一次方程：﹣n﹣14＝36， 解得n＝﹣50； ②当点A是关于B→P的“亲密点”时，|AB|＝2|AP|， 即2（﹣n﹣14）＝18 或2（n+14）＝18， 解得n＝﹣23或n＝﹣5； ③当点P是关于A→B的“亲密点”时，|PA|＝2|PB|， 即n+14＝2（4﹣n）， 整理得，3n＝﹣6， 解得n＝﹣2； ④当点P是关于B→A的“亲密点”时，|PB|＝2|AP|， 即4﹣n＝2（n+14）或4﹣n＝2（﹣n﹣14）， 整理得，3n＝﹣24或n＝﹣28﹣4， 解得n＝﹣8或n＝﹣32； ⑤当点B是关于P→A的“亲密点”时，|PB|＝2|AB|， 即4﹣n＝36， 解得n＝﹣32； ⑤当点B是关于A→P的“亲密点”时，2|PB|＝|AB|， 即得一元一次方程：2（4﹣n）＝18， 整理得，2n＝﹣10， 解得n＝﹣5； 综上所述，所有符合条件的点P表示的数是﹣50或﹣23或﹣5或﹣2或﹣8或﹣32． 【点评】本题考查了数轴，相反数，一元一次方程的应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 19．（2024-2025•涧西区校级月考）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3． （1）点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①若点P到点A、点B的距离相等，则x＝ 　1　 ； ②若点P在原点的右侧，且到点A、点B的距离之和为10，则x＝ 　6　 ； （2）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合． ①则﹣3表示的点与数 　5　 表示的点重合； ②若数轴上的点M在点N的左侧，M、N两点之间的距离为2026，且M、N两点经过折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【答案】（1）①1； ②6； （2）①5； ②点M表示的数是﹣1012，点N表示的数是1014． 【分析】（1）①根据点P到点A、点B的距离相等，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值； ②根据点P到点A、点B的距离之和为10，可列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）①由﹣1与3表示的点重合，可得出折叠点表示的数为1，设﹣3表示的点与数a表示的点重合，根据折叠点到两点的距离相同，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； ②设点M表示的数是m，则点N表示的数是m+2026，根据折叠点到点M，N的距离相等，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值（即点M表示的数），再将其代入m+2026中，即可求出点N表示的数． 【解答】解：（1）①根据题意得：x﹣（﹣1）＝3﹣x， 解得：x＝1． 故答案为：1； ②根据题意得：x﹣（﹣1）+|x﹣3|＝10， 当0＜x≤3时，x﹣（﹣1）+3﹣x＝4≠10，不符合题意，舍去； 当x＞3时，x﹣（﹣1）+x﹣3＝10， 解得：x＝6． 故答案为：6； （2）①∵将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合， ∴折叠的点表示的数为． 设﹣3表示的点与数a表示的点重合， 根据题意得：1﹣（﹣3）＝x﹣1， 解得：x＝5， ∴﹣3表示的点与数5表示的点重合． 故答案为：5； ②设点M表示的数是m，则点N表示的数是m+2026， 根据题意得：1﹣m＝m+2026﹣1， 解得：m＝﹣1012， ∴m+2026＝﹣1012+2026＝1014． 答：点M表示的数是﹣1012，点N表示的数是1014． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 20．（2024-2025•银川期末）综合与实践 如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣8，点B表示的数为2．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t＝3时，求此时点P表示的数； （2）当t＝7时，数轴上有一点M，沿着点M折叠，点P与点A刚好重合，求点M表示的数； （3）点C为线段AB的中点，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，若点P、Q同时出发，求当点P与点Q相遇时，t的值． 【答案】（1）﹣2； （2）﹣1； （3）． 【分析】（1）先求出点P表示的数为﹣8+2t，再把t＝3代入计算即可； （2）先求得AP＝2t＝14，再根据折叠得出点M是AP的中点，从而求得，进而可点M表示的数； （3）先求出，再根据相遇问题，列关于t的方程求解即可． 【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣8，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动， ∴点P表示的数为﹣8+2t， 当t＝3时，﹣8+2t＝﹣8+2×3＝﹣2， ∴当t＝3时，点P表示的数为﹣2； （2）当t＝7时，AP＝2t＝2×7＝14， ∵沿着点M折叠，点P与点A刚好重合， ∴点M为AP的中点， ∴ ∴点M表示的数为：﹣8+7＝﹣1； （3）∵点A表示的数为﹣8，点B表示的数为2． ∴AB＝2﹣（﹣8）＝10． ∵点C为线段AB的中点， ∴． ∴2t+t＝5． ∴． ∴当点P与点Q相遇时，t的值为． 【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用与数轴上两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键． 【题型6】动点的折返与往返运动问题（共4小题） 21．（2024-2025•浙江期中）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣10，﹣4，4，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为x秒． （1）当x＝3时，点P到点A的距离PA为 　3　 ；此时点P所表示的数为 　﹣7　 ； （2）当点P运动到B点时，点Q同时从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后停止运动，则点Q出发5秒时与P点之间的距离QP＝ 　1　 ； （3）当点P运动到B点时，点Q同时从A点出发，以每秒2个单位的速度在AC之间来回运动，当点Q第一次返回点A前，点Q移动几秒时恰好与点P之间的距离为2个单位． 【答案】（1）3，﹣7； （2）1； （3）4或8秒． 【分析】（1）利用PA的长＝点P的运动速度×点P的运动时间，可求出PA的长，再利用点P表示的数＝点A表示的数+PA的长，可求出点P表示的数； （2）当点Q出发5秒时，点P表示的数为1，点Q表示的数为0，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出QP的长； （3）设点Q的运动时间为t秒，分0＜t≤7及7＜t＜14两种情况考虑，当0＜t≤7时，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为﹣10+2t，根据PQ＝2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；当7＜t＜14时，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为4﹣2（t﹣7）＝18﹣2t，根据PQ＝2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：当x＝3时，点P到点A的距离PA为1×3＝3， 此时点P表示的数为﹣10+3＝﹣7． 故答案为：3，﹣7； （2）当点Q出发5秒时，点P表示的数为﹣4+1×5＝1，点Q表示的数为﹣10+2×5＝0， ∴QP＝|1﹣0|＝1． 故答案为：1； （3）|﹣10﹣4|÷2＝7（秒），7×2＝14（秒）． 设点Q的运动时间为t秒， 当0＜t≤7时，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为﹣10+2t， 根据题意得：|﹣4+t﹣（﹣10+2t）|＝2， 即6﹣t＝2或t﹣6＝2， 解得：t＝4或t＝8（不符合题意，舍去）； 当7＜t＜14时，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为4﹣2（t﹣7）＝18﹣2t， 根据题意得：|﹣4+t﹣（18﹣2t）|＝2， 即22﹣3t＝2或3t﹣22＝2， 解得：t（不符合题意，舍去）或t＝8． 答：点Q移动4或8秒时恰好与点P之间的距离为2个单位． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 22．（2024-2025•盐城月考）【定义新知】在数轴上点M和点N表示的数为m、n，则可以用绝对值表示点M和点N之间的距离d（M，N），即d（M，N）＝|m﹣n|．若d（M，N）＝0，则点M与点N重合． 【初步应用】 （1）在数轴上，点A、B、C分别表示的数为﹣2、1、x，解答下列问题： ①d（A，B）＝　3　 ； ②若d（A，C）＝3，则x的值为　1或﹣5　 ； ③若d（A，C）+d（B，C）＝d（A，B），且x为负整数，则x的值为　﹣1或﹣2　 ． 【综合应用】 （2）在数轴上，点D、E、F分别表示数﹣3、5、12，动点P沿数轴以每秒3个单位长度从点D开始向点F运动，到达F点后立刻原速返回到D点；同时，动点Q沿数轴以每秒1个单位长度从点E开始向点F运动，到达F点后停止．设点P的运动时间为t秒，在整个运动过程中，若，求t的值． 【答案】（1）①3；②0或﹣5；③﹣2或﹣1； （2）t的值为2或． 【分析】（1）①由两点距离公式可求解；②由两点距离公式可求解；③由两点距离公式可求解； （2）先求出，再分“当0≤t≤5时”，“当5＜t≤7时”，“当7＜t≤10时”三种情况，列出方程即可求解． 【解答】解：（1）①由题意得：|﹣2﹣1|＝3； ②由题意列一元一次方程得：|﹣2﹣x|＝3，即|2+x|＝3， ∴x＝1或﹣5； ③由题意得：|﹣2﹣x|+|1﹣x|＝|﹣2﹣1|，即|2+x|+|1﹣x|＝3， ∵x为负整数， ∴1﹣x≥0， 当x＝﹣1时，有|2+x|+|1﹣x|＝|2﹣1|+|1﹣（﹣1）|＝3， 当|x|＜2时，2+x＞0， ∴2+x+1﹣x＝3，此方程无解； 当|x|＞2时，2+x＞0， ∴根据列一元一次方程得，﹣2﹣x+1﹣x＝3， 整理得，2x＝﹣4， 解得，x＝﹣2， 故答案为：3，1或﹣5，﹣1或﹣2； （2）点D、E、F分别表示数﹣3、5、12，d（D，E）＝|﹣3﹣5|＝8， ∴， ∴P从点D运动到E的时间为（12+3）÷3＝5（秒）， ∴当0≤t≤5时，P表示的数为﹣3+3t，Q表示的数为5+t， 则d（P，Q）＝|﹣3+3t﹣5﹣t|＝|2t﹣8|＝4， ∴当2t﹣8＝4时，t＝6（舍去）； 当8﹣2t＝4时，t＝2； 当5＜t≤7时，这时P表示的数为12﹣3（t﹣5），Q表示的数为5+t， ∴d（P，Q）＝|12﹣3（t﹣5）﹣5﹣t|， ∴根据题意列一元一次方程得，|22﹣4t|＝4， ∴当22﹣4t＝4时， 解得（不符合题意，舍去）； 当22﹣4t＝﹣4时， 整理得，4t＝26， 解得， 当7＜t≤10时，这时Q表示的数为12，P表示的数为12﹣3（t﹣5）＝27﹣3t， d（P，Q）＝|（27﹣3t）﹣12|＞4，不存在． 综上，t的值为2或． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值，由数轴上两点的距离公式列出一元一次方程是解题的关键，注意分类讨论． 23．（2024-2025•南部县校级月考）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． （1）当t＝0.5时，求点Q到原点O的距离； （2）当t＝2.5时，求点Q到原点O的距离； （3）当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】（1）6； （2）2； （3）6或10或22． 【分析】（1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点Q在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为4，返回经过点A后，与点A的距离为4，再计算时间，即可得到点P运动的路程，即可解答． 【解答】解：（1）∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当t＝0.5时，AQ＝4t＝4×0.5＝2， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴OA＝8， ∴OQ＝OA﹣AQ＝8﹣2＝6， ∴当t＝0.5时，点Q到原点O的距离为6； （2）∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当t＝2.5时，点Q运动的距离为4t＝4×2.5＝10， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴OA＝8， ∴OQ＝10﹣8＝2， ∴当t＝2.5时，点Q到原点O的距离为2； （3）当点Q到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点Q向右运动时且还没经过点A时， ∵AQ＝4， ∴QO＝8﹣4＝8， 运动时间为t＝（OA+OQ）÷4＝（8+4）÷4＝3（秒）， ∴OP＝2×3＝6； ∴PQ＝6+4＝10； ②点Q向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴OA＝8， ∵AQ＝4， ∴QO＝8﹣4＝8 运动时间为t＝4÷4＝1（秒）， ∴OP＝2×1＝2； ∴PQ＝4+2＝6； ③点Q向右运动时且经过点A后， ∵AQ＝4， ∴QO＝OA+AQ＝8+4＝12， 运动时间为t＝（OA+OQ）÷4＝（8+12）÷4＝5（秒）， ∴OP＝2×5＝10； ∴PQ＝10+12＝22； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． 24．（2024-2025•安康期末）如图，直线l上有A，B两点，AB＝15cm，点O是线段AB上一点，OA＝2OB． （1）OA＝　10　 cm，OB＝　5　 cm； （2）若点P以2cm/s的速度从点A出发沿直线l向右运动，同时，点Q以1cm/s的速度从点B出发沿直线l也向右运动，设运动时间为ts，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动． ①当t为何值时，2OP﹣OQ＝4； ②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也沿直线l向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以3cm/s的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以3cm/s的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止运动时，点M也停止运动，在此过程中，点M行驶的总路程是多少？ 【答案】（1）10，5； （2）①或；②30cm． 【分析】（1）由于AB＝15cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，则OA+OB＝3OB＝AB＝15cm，依此即可求解； （2）①分P在线段AO上和P在线段AO的延长线上时，两种情况讨论求解即可； ②求出点P经过点O到点P，Q停止时的时间，再根据路程＝速度×时间即可求解． 【解答】解：（1）∵AB＝15cm，OA＝2OB， ∴AB＝AO+OB＝3OB＝15cm， ∴OB＝5cm， ∴OA＝2OB＝10cm； 故答案为：10，5； （2）①由题意，得：AP＝2t，BQ＝t，则：OQ＝OB+BQ＝5+t， 当P在线段AO上时，OP＝OA﹣AP＝10﹣2t， 由题意列一元一次方程得：2（10﹣2t）﹣（5+t）＝4， 解得， 当P在线段AO的延长线上时，OP＝AP﹣OA＝2t﹣10， 由题意列一元一次方程得：2（2t﹣10）﹣（5+t）＝4， 整理得，3t＝29， 解得； 综上所述，或； ②∵AO＝10， ∴点P运动到O点时，，此时PQ两点的间的距离为：BO+OQ＝5+5×1＝5+5＝10（cm）， 当点P与点Q重合时，所需时间为：10÷（2﹣1）＝10÷1＝10（秒）， ∴点M行驶的总路程是3×10＝30cm． 【点评】本题考查线段的和与差，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 【题型7】动点的挡板问题（共4小题） 25．（2024-2025•江岸区校级月考）O为原点，点A、B、C在数轴上的位置如图所示，AO＝BC＝5，OB＝10，在C点处有一挡板．D、E为数轴上两动点，动点D从A点出发，以3个单位/秒的速度沿BA方向运动；同时，动点E从B点出发，以2个单位/秒的速度沿BC方向运动，碰到挡板后以原速的2倍反向运动，设运动的时间为t秒． （1）A点对应的数为　﹣5　 ；B点对应的数为　10　 ；C点对应的数为　15　 ； （2）若DE＝19，求t的值； （3）M为CE的中点，N为BD中点，当时，若4MC+k•MN的值与t无关，求k的值． 【答案】（1）﹣5；10；15； （2）或11或49； （3）． 【分析】（1）根据AO＝BC＝5，OB＝10以及数轴位置即可解答； （2）根据题意得出动点D对应的数为﹣5﹣3t，当0≤t≤2.5时，动点E对应的数为10+2t，当t＞2.5时，动点E对应的数为25﹣4t，若DE＝19，分为当0≤t≤2.5时，当t＞2.5时，分别列方程求解即可． （3）写出，动点E对应的数，动点M对应的数，动点N对应的数，从而表示出4MC+k•MN，结合4MC+k•MN的值与t无关，列出方程求解即可． 【解答】解：（1）∵AO＝BC＝5，OB＝10， ∴OC＝15， 则A点对应的数为﹣5；B点对应的数为10；C点对应的数为15； 故答案为：﹣5，10，15； （2）∵动点D从A点出发，以3个单位/秒的速度沿BA方向运动， ∴动点D对应的数为﹣5﹣3t， 5÷2＝2.5（秒）， ∵动点E从B点出发，以2个单位/秒的速度沿BC方向运动，碰到挡板后以原速的2倍反向运动， ∴当0≤t≤2.5时，动点E对应的数为10+2t， 当t＞2.5时，动点E对应的数为15﹣4（t﹣2.5）＝25﹣4t， 若DE＝19，当0≤t≤2.5时，则10+2t﹣（﹣5﹣3t）＝19， 解得：； 当t＞2.5时，则|25﹣4t﹣（﹣5﹣3t）|＝19， 解得：t＝11或t＝49； 综上，或11或49； （3）∵M为CE的中点，N为BD中点，， 则动点E对应的数为10+2t，动点M对应的数为，动点N对应的数为， ∴4MC+k•MN ， ∵4MC+k•MN的值与t无关， ∴， 解得：． 【点评】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上两点之间的距离以及数轴上的动点，一元一次方程，整式无关项问题等知识点，解题的关键是理解题意，掌握题中的等量关系，分时间段进行讨论求解即可． 26．（2024-2025•荔湾区期末）在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B，C表示的数分别为﹣10，0，12，28． （1）点P在数轴上表示的数为x，若点P为线段AB上的一个动点，求|x+10|+|x﹣12|的值． （2）如图，在数轴的原点O处放置了一台粒子加速器，当粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的3倍．在C处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即反弹，速度不变．甲粒子从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动．同时，乙粒子从B点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t． ①当甲、乙两粒子第一次相遇时，相遇点表示的数为 　14.4　 ． ②当甲、乙两粒子距离为4时，求t的值． 【答案】（1）22； （2）①14.4；②7或7.8或或． 【分析】（1）根据绝对值的定义可知|x+10|＝AP，|x﹣12|＝BP，所以|x+10|+|x﹣12|＝AP+BP＝AB＝12﹣（﹣10）＝22； （2）①由题易知第一次相遇应为甲穿过了O，乙从C反弹后相遇，进而得出S甲+S乙＝AM+BC+CM＝AC+BC，再分别用t表示出S甲和S乙，再建立方程求解即可； ②由题意可知分当甲粒子未到达点C处时，甲乙粒子相遇前后会有距离为4的情况，当甲粒子到达点C开始反弹时，则此时甲粒子开始追乙粒子，追上前后会有距离为4的情况，再建立方程求解即可． 【解答】解：（1）由题可知|x+10|＝AP，|x﹣12|＝BP， ∵P在线段AB上， ∴|x+10|+|x﹣12|＝AP+BP＝AB＝12﹣（﹣10）＝22， 即|x+10|+|x﹣12|的值为22； （2）①第一次相遇应为甲穿过了O，乙从C反弹后相遇，假设相遇点为M， 此时，S甲+S乙＝AM+BC+CM＝AC+BC， ∵S乙＝4t，S甲＝10+2×3（t）＝6t﹣20， ∴6t﹣20+4t＝38+16， 解得t＝7.4， 此时相遇点为：2×3（t﹣5）＝14.4； ②当甲粒子未到达点C处时， 1°当第一次相遇前，甲、乙两粒子距离为4时， S甲+S乙+4＝AC+BC， ∴6t﹣20+4t+4＝38+16， 解得t＝7； 2°当第一次相遇后，甲、乙两粒子距离为4时， S甲+S乙﹣4＝AC+BC， ∴6t﹣20+4t﹣4＝38+16， 解得t＝7.8； 当甲粒子从C处反弹开始追乙粒子， ∵甲粒子运动到点C时，6t﹣20＝38， 解得t， 甲从C到点O的时间为， 此时乙粒子穿过了点O，速度变成3×4＝12个单位/秒， 所以甲乙粒子距离为4时，甲粒子再次反弹过程中穿过了O， 此时S甲＝10+28+28+2×3×3（t）＝18t﹣192， S乙＝16+28+4×3（t﹣11）＝12t﹣88， 3°未追上前，甲、乙两粒子距离为4时， S甲﹣AC+4＝S乙﹣BC， ∴18t﹣192﹣38+4＝12t﹣88﹣16， 解得t； 4°追上后，甲、乙两粒子距离为4时， S甲﹣AC﹣4＝S乙﹣BC， ∴18t﹣192﹣38﹣4＝12t﹣88﹣16， 解得t； 综上，t的值为7或7.8或或． 【点评】本题主要考查了利用一元一次方程解决数轴动点问题等内容，根据临界值分类讨论是解题的关键． 27．我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a，点B表示数b，线段AB的长表示为AB．当点C为线段AB中点时，即AC＝BC时，点C表示的数为．请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的点A表示数﹣2，点B表示数5．若在原点O处放一挡板，一动点P从点A处以2个单位长度/秒的速度向左运动；同时另一个动点Q从点B处以3个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到点B后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为t秒． （1）动点P表示的数为　﹣2﹣2t ；当时，动点Q表示的数为　5﹣3t ；当时，动点Q表示的数为　3t﹣5　 ．（用含t的代数式表示） （2）当O是线段PQ中点时，求时间t的值． （3）分别取OB和AQ的中点E，F． ①当EF＝2时，求时间t的值； ②试判断是否存在常数m，使得AB﹣OQ+mEF的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）﹣2﹣2t，5﹣3t，3t﹣5； （2）； （3）①或；②存在，m＝﹣2； 【分析】（1）根据两点间的距离公式结合数轴上的动点，左移减，右移加，列出代数式即可； （2）分和两种情况，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，根据AB﹣OQ+mEF的值是定值，得到整式的值与t的值无关，进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意，点P表示的数为：﹣2﹣2t， 当时，动点Q表示的数为5﹣3t， 当时，动点Q表示的数为3t﹣5； 故答案为：﹣2﹣2t，5﹣3t，3t﹣5； （2）①当时，则， 解得t； ②当时，则， 解得t＝7（舍去）； 综上所述，； （3）①由题意可知，点E表示的数为：， 当时，点F表示的数为：， 则， 解得t或t＝﹣2（舍去）； 当时，点F表示的数为：， 则， 解得t或t（舍去）； 综上所述，t或t； ②存在， 由题意可知，AB＝5﹣（﹣2）＝7， 当时，OQ＝5﹣3t，EF＝||＝||， ∴， ∴当m＝﹣2时，AB﹣OQ+mEF＝7+3t﹣5﹣3t﹣2＝0为定值； 当，OQ＝3t﹣5，， ∴， ∴当m＝﹣2时，AB﹣OQ+mEF＝7+5﹣3t+3t﹣10＝2为定值； 综上所述：当m＝﹣2时，AB﹣OQ+mEF的值是定值． 【点评】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题． 28．（2024-2025•巴彦县校级月考）如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，点A与点B之间的距离是40个单位长度，且|a|＝3|b|． （1）a＝ 　﹣30　 ，b＝ 　10　 ； （2）动点P、Q分别从点A、B两点同时出发，分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，设两点运动时间为t秒，求P、Q两点之间的距离（用含t的代数式表示）； （3）如图2，在（2）的条件下，当t＝5时点P、Q停止运动，在数轴上的点P和点Q处各竖立一个挡板，数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，当弹珠遇到挡板后立即以原速度向相反方向运动，若甲、乙两个弹珠在各自遇到挡板返回后，在其中一个弹珠第二次遇到挡板时两个弹珠停止运动，如果甲、乙两个弹珠首次返回过程中的距离为10个单位长度，求出此时甲、乙两个弹珠运动的时间是多少秒？ 【答案】（1）﹣30，10； （2）当t≤40s时，40﹣t；当t＞40s时，﹣40+t； （3）t＝15.4s． 【分析】（1）根据已知关系列方程求解； （2）用含t的代数式表示P点和Q点的位置进行计算； （3）求出P点和Q点的位置，再列方程进行计算． 【解答】解：（1）由已知点A与点B之间的距离是40个单位长度，且|a|＝3|b|，则可得方程： |b|+3|b|＝40， 解得：|b|＝10，故|a|＝30， 根据A点和B点在数轴上的位置可知： a＝﹣30，b＝10， 故答案为：﹣30，10． （2）当t≤40s时， P点所表示的数字为：﹣30+3t，Q点所表示的数字为：10+2t， P、Q两点之间的距离为：10+2t﹣（﹣30+3t）＝40﹣t； 当t＞40s时，P点所表示的数字为：﹣30+3t，Q点所表示的数字为：10+2t， P、Q两点之间的距离为：﹣30+3t﹣（10+2t）＝﹣40+t． （3）当t＝5时，P点的位置为：﹣30+3×5＝﹣15，Q点的位置为：10+2×2＝14， 则P点，Q点之间的距离为14﹣（﹣15）＝29， 根据甲、乙两个弹珠首次返回过程中的距离为10个单位长度可列方程： 29﹣[（3t﹣29）+（2t﹣29）]＝10， 解得t＝15.4． 故此时甲、乙两个弹珠运动的时间是15.4s． 【点评】本题考查数轴相关问题，利用方程思想是解题关键． 【题型8】动点与动态定值问题（共4小题） 29．（2024-2025•孝南区期末）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位长度/秒的速度沿射线AB运动，M为AP中点． （1）当点P在线段AB上运动时， ①出发多少秒后，PB＝2AM？ ②试说明2MB﹣BP为定值； （2）当点P在线段AB延长线上运动时，设N为BP的中点，有下列两个结论：①MN长度不变；②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． 【答案】（1）①出发6秒后，PB＝2AM； 设AM＝x，则MB＝AB﹣AM＝24﹣x，PB＝AB﹣AP＝24﹣2x， ∴2MB﹣BP＝2（24﹣x）﹣（24﹣2x）＝48﹣2x﹣24+2x＝24 所以2BM﹣BP为定值． （2）①MN长度不变，MN＝12． 【分析】（1）①出发x秒后PB＝2AM，则AP＝2x，PB＝AB﹣AP＝24﹣2x，AM＝x，建立方程，求出x的值即可．②设AM＝x，则MB＝AB﹣AM＝24﹣x，PB＝AB﹣AP＝24﹣2x，表示出2BM﹣BP后，化简即可得出结论． （2）设PA＝2x，则AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，，分别表示出MN，MN+PN的长度，即可作出判断． 【解答】解：（1）①设出发x秒后PB＝2AM， 则AP＝2x，PB＝AB﹣AP＝24﹣2x， ∵M为AP中点， ∴AM＝PM＝x ∵PB＝2AM， ∴根据题意列一元一次方程得，24﹣2x＝2x， 整理得，4x＝24， 解得x＝6， ∴出发6秒后，PB＝2AM； ②设AM＝x，则MB＝AB﹣AM＝24﹣x，PB＝AB﹣AP＝24﹣2x， ∴2MB﹣BP＝2（24﹣x）﹣（24﹣2x）＝48﹣2x﹣24+2x＝24 所以2BM﹣BP为定值． （2）①MN长度不变，MN＝12； 理由：如图 设AP＝2x， ∵M为AP中点， ∴AM＝PM＝x，BP＝AP﹣AB＝2x﹣24， ∵N为BP的中点， ∴PN＝x﹣12 ∴①MN＝PM﹣PN＝x﹣（x﹣12）＝12，12为定值，所以MN长度不变； ②MN+PN＝x+x﹣12＝2x﹣12，长度变化； 所以①MN长度不变，MN＝12． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，直线、射线、线段，两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． 30．（2024-2025•西山区校级月考）如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）A、C两点之间的距离为　28　 ，P、Q两点相遇时，t＝　　 ； （2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等； （3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，判断2CN﹣PC是否为定值． 【答案】（1）28，； （2）3或； （3）在点P到达点C之前，2CN﹣PC是定值． 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式，即可求出A，C两点之间的距离；当运动时间为t秒时，点P表示的数是﹣10+2t，点Q表示的数是18﹣t，根据P、Q两点相遇时两点表示的数相同，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值； （2）当运动时间为t（0＜t＜7）秒时，点P表示的数是﹣10+2t，点Q表示的数是18﹣t，根据PO＝BQ，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为t（0＜t＜14）秒时，点P表示的数是﹣10+2t，点Q表示的数是18﹣t，由N是AP的中点，可得出点N表示的数是﹣10+t，利用数轴上两点间的距离公式，可得出CN＝28﹣t，PC＝28﹣2t，再将其代入2CN﹣PC中，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点A表示﹣10，点C表示18， ∴A，C两点之间的距离为|﹣10﹣18|＝28． 当运动时间为t秒时，点P表示的数是﹣10+2t，点Q表示的数是18﹣t， 根据题意得：﹣10+2t＝18﹣t， 解得：t， ∴P，Q两点相遇时，t． 故答案为：28，； （2）（18﹣11）÷1＝7（秒）． 当运动时间为t（0＜t＜7）秒时，点P表示的数是﹣10+2t，点Q表示的数是18﹣t， 根据题意得：|﹣10+2t﹣0|＝18﹣t﹣11， 即10﹣2t＝7﹣t或2t﹣10＝7﹣t， 解得：t＝3或t． 答：t为3或时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等； （3）28÷2＝14（秒）． 当运动时间为t（0＜t＜14）秒时，点P表示的数是﹣10+2t，点Q表示的数是18﹣t， ∵N是AP的中点， ∴点N表示的数是10+t， ∴CN＝18﹣（﹣10+t）＝28﹣t，PC＝18﹣（﹣10+2t）＝28﹣2t， ∴2CN﹣PC＝2（28﹣t）﹣（28﹣2t）＝28． 答：在点P到达点C之前，2CN﹣PC是定值． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 31．（2024-2025•高唐县期末）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，且a是多项式﹣5x2﹣6x﹣15的二次项系数． （1）求a，b； （2）数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． （3）在（2）的条件下，点P、Q相遇之前，4PQ+PA是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）a＝﹣5，b＝5； （2）35； （3）是定值，40． 【分析】（1）根据多项式的定义即可求出a的值，再由相反数的定义即可求出b的值； （2）设运动了t秒，点P追上点Q，根据题意列出方程4t﹣3t＝10，然后求解即可； （3）设运动时间为t秒，则t＜10，由题知P对应的数为﹣5+4t，Q对应的数为3t+5，则PA＝4t，PQ＝10﹣t，然后代入4PQ+PA即可求解． 【解答】解：（1）因为a是多项式﹣5x2﹣6x﹣15的二次项系数， 所以a＝﹣5， 因为a，b互为相反数， 所以b＝5； （2）设运动了t秒，点P追上点Q，则4t﹣3t＝10， 解得t＝10， 所以C点表示的有理数c为5+3×10＝35； （3）4PQ+PA为定值，理由， 设运动时间为t秒，则t＜10， 由题知P对应的数为﹣5+4t，Q对应的数为3t+5， 所以PA＝4t，PQ＝10﹣t， 所以4PQ+PA＝4（10﹣t）+4t＝40， 所以4PQ+PA为定值40． 【点评】本题考查了数轴，相反数，一元一次方程的应用，整式的加减，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． 32．（2024-2025•金平区校级期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若已知a＞b，则AB＝a﹣b．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣18，﹣8，+8，A到C的距离可以用AC表示，计算方法：AC＝|（﹣18）﹣（+8）|＝26或AC＝（+8）﹣（﹣18）＝26． （1）填空：AB＝　10　 ，BC＝　16　 ． 【构建联系】（2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是　﹣8+t ，点Q表示的数是　﹣18+3t ；（用含t的代数式表示） ②求P、Q两点间的距离PQ（用含t的代数式表示）． 【深入探究】（3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且CD﹣3AD的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 【答案】（1）10，16； （2）①﹣8+t，﹣18+3t；②|﹣10+2t|； （3）点D向左运动，m的值为． 【分析】（1）利用数轴上两点间距离公式求解； （2）①根据点P，Q的运动方向及速度列代数式；②根据数轴上两点间距离公式求解； （3）分点D向左、向右运动两种情况，列代式数表示出CD﹣3AD，由CD﹣3AD为定值得t的系数为0，即可求出m的值． 【解答】解：（1）AB＝﹣8﹣（﹣18）＝﹣8+18＝10，BC＝8﹣（﹣8）＝8+8＝16， 故答案为：10，16； （2）①由点P，Q的运动方向及速度可得：运动过程中点P表示的数是﹣8+t，点Q表示的数是﹣18+3t， 故答案为：﹣8+t，﹣18+3t； ②PQ＝|﹣18+3t﹣（﹣8+t）|＝|﹣10+2t|； （3）由题意知，运动过程中点A表示的数为：﹣18﹣3t，点C表示的数为：8+2t， 根据题意，分两种情况讨论： 当点D向左运动时，点D表示的数是﹣mt， CD﹣3AD＝[8+2t﹣（﹣mt）]﹣3[﹣mt﹣（﹣18﹣3t）] ＝8+2t+mt+3mt﹣54﹣9t ＝﹣46+（4m﹣7）t， 由CD﹣3AD的值始终是一个定值，得一元一次方程：4m﹣7＝0， 整理得，4m＝7， 解得； 当点D向右运动时，点D表示的数是mt， CD﹣3AD＝（8+2t﹣mt）﹣3[mt﹣（﹣18﹣3t）] ＝8+2t﹣mt﹣3mt﹣54﹣9t ＝﹣46+（﹣4m﹣7）t， 由CD﹣3AD的值始终是一个定值，得一元一次方程：﹣4m﹣7＝0， 整理得，4m＝﹣7， 解得，不合题意，舍去； 综上可知，点D向左运动，m的值为． 【点评】本题考查数轴，两点间的距离，列代数式，整式的加减，一元一次方程的应用，由CD﹣3AD为定值得出t的系数为0是解题的关键． 【题型9】动点与变速运动问题（共4小题） 33．（2024-2025•源汇区校级月考）已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a，b满足（a+10）2+|b﹣10|＝0．动点M从点A出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1单位/秒的速度向左运动．线段OB为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点M到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． （1）a＝　﹣10　 ，b＝　10　 ，AC＝　28　 ； （2）动点M从点A运动至点C时，求t的值； （3）M、N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数． 【答案】（1）﹣10，10，28； （2）19； （3）． 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性计算即可求出a和b的值，再根据两点间的距离公式即可求出AC的长度； （2）分别求出AO，BO和BC的距离，再根据“时间＝路程÷速度”计算即可得出答案； （3）设P点在数轴上所对应的数为y，根据题意列出方程，解方程即可得出答案． 【解答】解：（1）∵（a+10）2+|b﹣10|＝0， ∴a＝﹣10，b＝10， ∴AC＝18﹣（﹣10）＝28． 故答案为：﹣10，10，28； （2）∵a＝10，b＝10，c＝18， ∴AO＝10，BO＝10，BC＝18﹣10＝8， ∵19（s）， ∴动点M从点A运动至点C时，t的值为19s； （3）设M、N两点在P点相遇，P点在数轴上所对应的数为y， ∵N运动到B时需8÷1＝8秒，此时M表示的数为（8）×1＝3， ∴点P落在线段OB段， 根据题意得：， 解得：， ∴M、N两点相遇时，相遇点P在数轴上所对应的数为． 【点评】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键． 34．（2024-2025•宿迁月考）如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足（a+12）2+|b﹣8|＝0，点C到原点距离是点B到原点距离的2倍． （1）填空：a＝　﹣12　 ，b＝　8　 ，c＝　16　 ； （2）如图1，若点A、B、C分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和m（m＞4）个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD． ①t为何值时，AD＝3BD？ ②若的值始终保持不变，求m的值： （3）如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为　　 ． 【答案】（1）﹣12，8，16； （2）①t＝12，②m＝6； （3）． 【分析】（1）由（a+12）2+|b﹣8|＝0可得：a+12＝0，b﹣8＝0，从而可求出a、b，再根据点C到原点距离是点B到原点距离的2倍，可求出c； （2）①把AD，BD用含有t的式子表达，根据AD＝3BD列出关于t的方程即可求解； ②先把AB、AC的长度分别用含有t的式子表达，然后再用含有t的式子表达出，由的值始终保持不变，可令t＝0，t＝1分别得出的值，最后列出关于m的一元一次方程即可求解； （3）先由题意分别计算Q点运动到点C、B、O三点时的t值，再分类讨论在CD、BC、OB上相遇的t值是否符合题意即可． 【解答】解：（1）∵（a+12）2+|b﹣8|＝0， ∴a+12＝0，b﹣8＝0， 解得a＝﹣12，b＝8， ∵点C到原点距离是点B到原点距离的2倍，OB＝8， ∴OC＝2OB＝2×8＝16， ∴c＝16， 故答案为：﹣12，8，16； （2）①由（1）可知，a＝﹣12，b＝8，c＝16， ∴点A向左平移对应的点的数是（﹣12﹣4t），点B向左平移对应的点的数是（8﹣t），点C向左平移对应的点的数是（16﹣mt）， ∴AD＝24﹣（﹣12﹣4t）＝36+4t，BD＝24﹣（8﹣t）＝16+t， ∵AD＝3BD， ∴36+4t＝3（16+t）， ∴t＝12； ②已知点A以每秒4个单位长度向左运动，B以每秒1个单位长度向左运动，C以每秒m（m＞4）个单位长度向左运动， ∵AB＝（8﹣t）﹣（﹣12﹣4t）＝20+3t，AC＝|（16﹣mt）﹣（﹣12﹣4t）|＝|28﹣（m﹣4）t|， ∴ABAC＝20+3t|（m﹣4）t﹣28|， 第一种情况：当（m﹣4）t＜28时，ABAC＝20+3t|（m﹣4）t﹣28|mt﹣3t﹣22， 令t＝0时，ABAC＝﹣22； 令t＝1时，ABACm﹣25； ∵ABAC的值始终保持不变， ∴m﹣25＝﹣22， 解得，m＝2； ∵m＞4， ∴m＝2不符合题意，舍去， 第二种情况：当（m﹣4）t≥28时，ABAC＝20+3t[（m﹣4）t﹣28]＝62+9tmt， 令t＝0时，ABAC＝62； 令t＝1时，ABAC＝71m； ∵ABAC的值始终保持不变， ∴71m＝62， ∴m＝6； （3）点A表示的数为﹣12，以每秒3个单位长度的速度沿正方向运动至点D， ∴移动后的数表示为：（﹣12+3t），当点A移动至点D时，AD＝24﹣（﹣12）＝36， ∴t＝16（s）， 根据题意可知CD＝8、BC＝8、OB＝8， ∴当Q点运动到点C时，t2；运动到点B时，t6，运动到点O时，t7， ①P点、Q点在CD上相遇， 则3t+4t＝36，t， ∵2， ∴t不符合题意； ②P点、Q点在BC上相遇， 则3t+2（t﹣2）+8＝36， ∴t， ∵6， ∴t不符合题意； ③P点、Q点在OB上相遇， 则3t+16+8（t﹣6）＝36，t， ∵7，符合题意， ∴点M表示的数为：﹣12+3t＝﹣12+3， ∴点M表示的数为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次方程，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 35．（2025•大渡口区校级开学）如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足（a+12）2+|b﹣8|＝0，OC＝2OB． （1）填空：a＝　﹣12　 ，b＝　8　 ，c＝　16　 ； （2）如图1，若点A、B分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD．问：当t为何值时，A、B之间的距离为2？ （3）如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为 　　 ． 【答案】（1）﹣12，8，16； （2）6或； （3）． 【分析】（1）分别利用偶次方和绝对值的非负性质，求出a和b，再由OC与OB的数量关系求出c； （2）分别用含t的代数式表示出点A和B对应的数，再由A、B之间的距离列绝对值方程并求解即可； （3）分别求出点Q在DC、CB、BO、OA上的速度，并将对应的数用含t的代数式表示出来，并标明t的取值范围；根据P、Q两点相遇时，点P和Q表示的数相同，建立方程并求解，求出此时点M表示的数即可． 【解答】解：（1）∵（a+12）2+|b﹣8|＝0， ∴a+12＝0，b﹣8＝0， ∴a＝﹣12，b＝8， ∵OC＝2OB，即c＝2b， ∴c＝16． 故答案为：﹣12，8，16． （2）∵经过t秒后，点A对应的数为4t﹣12，点B对应的数为t+8， ∴AB＝|4t﹣12﹣（t+8）|＝|3t﹣20|， 当AB＝2时，得|3t﹣20|＝2，即20﹣3t＝2或3t﹣20＝2， 解得t＝6或， ∴当t为6或时，A、B之间的距离为2． （3）点P在数轴上对应的数为3t﹣12（0≤t≤12）； 当点Q在DC上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为﹣4t+24（0≤t＜2）； 当点Q在CB上时，速度为每秒8个单位长度，对应的数为﹣8（t﹣2）+16＝﹣8t+32（2≤t＜3）； 当点Q在BO上时，速度为每秒2个单位长度，对应的数为﹣2（t﹣3）+8＝﹣2t+14（3≤t＜7）； 当点Q在OA上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为﹣4（t﹣7）＝﹣4t+28（t≥7）． ①当点M在DC上时，得3t﹣12＝﹣4t+24，解得t（不符合题意，舍去）； ②当点M在CB上时，得3t﹣12＝﹣8t+32，解得t＝4（不符合题意，舍去）； ③当点M在BO上时，得3t﹣12＝﹣2t+14，解得t； ④当点M在OA上时，得3t﹣12＝﹣4t+28，解得t（不符合题意，舍去）； ∴当t时，P、Q两点在点M处相遇，此时点M表示的数为312． 故答案为：． 【点评】本题考查数轴、一元一次方程的应用及绝对值和偶次方的非负性质，利用绝对值和偶次方的非负性质求出a和b是本题的关键． 36．（2024-2025•常州期中）已知数轴上A，B，C三点，若点C在点A，B之间且CA＝3CB，则称点C是{A，B}的和谐点．例如，图1中，点A，B，C，D表示的数分别为﹣3，1，0，﹣2，此时CA＝3CB，DB＝3DA，则点C是{A，B}的和谐点，点D是{B，A}的和谐点． （1）如图2，数轴上点M，N表示的数分别为﹣3，5，若点P是{M，N}的和谐点，则点P表示的数是 　3　 ；若点Q是{N，M}的和谐点，则点Q表示的数是 　﹣1　 ； （2）已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a，b，c，d，且a、b满足|a+24|+（b+6）2＝0，点C在点B的右侧且到点B的距离为12个单位长度，点D表示的数是18；动点P从点A出发以6单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以3个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为t秒． ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 　12t﹣42（3＜t≤4）　 ，从C运动到B的过程中，点Q表示的数是 　12t（4＜t≤12）　 ；（用含t的代数式表示） ②求使得点C是{P，Q}的和谐点的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3；﹣1； （2）①12t﹣42（3＜t≤4）；12t（4＜t≤12）； ②t的值为2或16秒． 【分析】（1）根据点P是{M，N}的和谐点，得PM＝3PN，设点P所表示的数为p，则PM＝p+3，PN＝5﹣p，由此得p+3＝3（5﹣p），据此解出p即可；根据点Q是{N，M}的和谐点，得QN＝3QM，设点Q所表示的数为q，则QN＝5﹣q，QM＝q+3，由此得5﹣q＝3（q+3），据此解出q即可； （2）先由非负数的性质得a＝﹣24，b＝﹣6，进而得点A所表示的数为﹣24，点B所表示的数为﹣6，点C所表示的数为6． ①依题意得点P从点A运动到点B所用的时间为3秒，点P从点B运动到点C所用的时间为1秒，进而可得点P表示的数；再由点Q从点D运动到点C所用的时间为4秒，点Q从点C运动到点B所用的时间为8秒，进而可得点Q表示的数； ②根据点C是{P，Q}的和谐点，得CP＝3CQ，且点C在点P，Q之间，然后分类讨论，根据①中运动范围，讨论P在AB、BC上，以及Q在CB、越过B之后四种情况，将每种情况下的P和Q的数用t表示出来，然后建立方程求解． 【解答】解：（1）∵数轴上点M，N表示的数分别为﹣3，5，点P是{M，N}的和谐点， ∴PM＝3PN， 设点P所表示的数为p，则PM＝p﹣（﹣3）＝p+3，PN＝5﹣p， ∴p+3＝3（5﹣p）， 解得：p＝3， ∴点P所表示的数为3； ∵点Q是{N，M}的和谐点， ∴QN＝3QM， 设点Q所表示的数为q，则QN＝5﹣q，QM＝q﹣（﹣3）＝q+3， ∴5﹣q＝3（q+3）， 解得：q＝﹣1， ∴点Q所表示的数为﹣1． 故答案为：3；﹣1． （2）∵|a+25|+（b+6）2＝0， ∴a+24＝0，b+6＝0， ∴a＝﹣24，b＝﹣6， ∴点A所表示的数为﹣24，点B所表示的数为﹣6， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为12个单位长度， ∴点C所表示的数为6， 又∵点D所表示的数为18， ∴点A，B，C，D在数轴上为位置如图所示： ①∵动点P从点A出发以6单位/秒的速度向右运动， ∴点P从点A运动到点B所用的时间为：[﹣6﹣（﹣24）]÷6＝3（秒）， 又∵点P在线段BC上的运动速度为2×6＝12（个单位/秒）， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为[6﹣（﹣6）]÷12＝1（秒）， ∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：﹣6+12（t﹣3）＝12t﹣42，其中3＜t≤4； ∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（18﹣6）÷3＝4（秒）， ∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：3（个单位/秒）， ∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：[6﹣（﹣6）]8（秒）， ∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：6﹣（t﹣4）12t，其中4＜t≤12． 故答案为：12t﹣42（3＜t≤4）；12t（4＜t≤12）． ②∵点C是{P，Q}的和谐点， ∴CP＝3CQ，且点C在点P，Q之间， ∴有以下四种情况： （Ⅰ）当点P在点A，B之间时，此时0＜t＜3， 点P所表示的数为﹣24+6t， 此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为：18﹣3t， ∴CP＝6﹣（﹣24+6t）＝30﹣6t，CQ＝18﹣3t﹣6＝12﹣3t， ∴30﹣6t＝3（12﹣3t）， 解得：t＝2； （Ⅱ）当P在BC之间时，此时3＜t≤4，且Q依然在CD上， 点P表示的数为12t﹣42，点Q表示的数为18﹣3t， ∴CP＝6﹣（12t﹣42）＝48﹣12t，CQ＝12﹣3t， ∴48﹣12t＝3（12﹣3t）， 解得：t＝4， 当t＝4时，P、C、Q三点重合，不合题意，舍去； （Ⅲ）当点Q在点C，B之间时，此时4＜t≤12，点P已过C点， ∴点P所表示的数为6+6（t﹣4）＝6t﹣18，点Q所表示的数为12t， ∴CP＝6t﹣18﹣6＝6t﹣24，CQ＝6﹣（12t）t﹣6， ∴6t﹣24＝3（t﹣6）， 解得：t＝4， 当t＝4时，点Q正好到达点C，即点Q于点C重合，不合题意，舍去； （Ⅳ）当点Q在点A，B之间时，此时t＞12，点P已过C点， ∴点P所表示的数为6+6（t﹣4）＝6t﹣18，点Q所表示的数为﹣6﹣3（t﹣12）＝30﹣3t， ∴CP＝6t﹣18﹣6＝6t﹣24，CQ＝6﹣（30﹣3t）＝3t﹣24， ∴6t﹣24＝3（3t﹣24）， 解得：t＝16． 综上所述：t的值为2或16秒． 【点评】此题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理解题意，读懂题目中“和谐点”的定义，熟练掌握解一元一次方程，准确地用代数式表示出数轴上的点，根据“和谐点”的定义列出方程是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/30 9:46:04；用户：陈剑清（小初高数学）；邮箱：18659079182；学号：39903391 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专练01 数轴上的动点与距离问题 【题型1】单动点基础位置与距离计算（共4小题） 1．（2024-2025•新野县期末）如图，数轴上的点A和点B分别表示一7和5，点P是线段AB上一动点．点P从点A出发沿A→B的方向以每秒2个单位的速度向B运动，C是线段AB的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过6秒）．若点P在运动过程中，当CP＝2时，则运动时间t的值为（　　） A．4 B．2 C．2或4 D．或 2．（2024-2025•宿豫区期末）在数轴上，点A表示的数为﹣5，点B表示的数为15．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为t秒，当点P到A、B两点距离之和为40时，则t的值是（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 3．（2024-2025•潍坊期末）如图，在数轴上，点A表示﹣2，点B表示7．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿某一固定方向运动，设运动时间为t秒．当PA＝2PB时，运动时间t的值为 　 　 ． 4．（2024-2025•渭南期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣8，0，4，动点P从A点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点M始终为AP的中点，点N始终为PB的中点，点P在从A点运动到B点的过程中，则线段MN的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型2】双动点相向运动的相遇问题（共4小题） 5．（2024-2025•南关区校级期中）点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁分别从A、B两点同时出发，沿着数轴以相同的速度相向而行，当两只蚂蚁相遇在点P时，点P在数轴上表示的数是　 　 ． 6．（2024-2025•新乐市期末）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是﹣30，点B表示的数是10． （1）线段AB的中点C对应的数为 　 　 ； （2）若点D在数轴上，且AD＝3BD，求BD的长； （3）若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上每秒向右前进3个单位长度；同时一只毛毛虫从点B出发，在数轴上每秒向右前进1个单位长度，它们在点E处相遇，求点E对应的数． 7．（2024-2025•白云区期末）如图，数轴上点A表示的数是﹣5，点B表示的数是13． （1）点A和点B在数轴上的距离是 　 　 个长度单位； （2）点C，D，E为数轴上的三个动点，点C的速度为3个单位长度每秒，点D的速度为11个单位长度每秒，点E的速度为2个单位长度每秒．点C和点D从A点出发，点E从B点出发． ①三点同时出发向右运动，当点D与点E重合时，求点C所对应的数； ②三点同时出发向右运动，当点D与点E重合后，点D立即沿反方向运动，当点D与点C相遇时，求此时点E所对应的数． 8．（2024-2025•肇庆期末）如图，已知点A，点B是直线l上的两点，且AB＝6cm，点P和点Q是直线上的两个动点，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线l上运动，运动时间为t（s）． 请回答下列问题： （1）若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ （2）若点P、Q均向右运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ （3）若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出t的值． 【题型3】双动点同向运动的追及问题（共4小题） 9．（2024-2025•东莞市期末）已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数为80． （1）请直接写出AB的中点M对应的数． （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： ①试求出点C在数轴上所对应的数； ②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 10．（2024-2025•北林区校级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 11．（2024-2025•长宁区期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）运动 　 　 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是 　 　 ； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 12．（2024-2025•晋江市期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 【题型4】动点与中点的动态关系问题（共4小题） 13．（2024-2025•北碚区校级月考）如图所示，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且|a+6|+|b﹣18|＝0，点O为原点，点C在数轴上且位于O，B两点之间，满足AC+OC＝BC． （1）直接写出a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，点C所对应的数是 　 　 ； （2）动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒． ①若PC＝3CQ，求t的值； ②若动点M同时从点A出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以同样的速度返回，当t为何值时，点M恰好是线段PQ的中点． 14．（2024-2025•夷陵区期末）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，A在B的左侧． （1）若AB＝8． ①若A，B到原点O的距离相等，则a＝　 　 ． ②若点A与原点O相距3个单位长度，则b＝　 　 ． （2）若a＝﹣12，b＝16，点M是数轴上的点，其表示的数为m． ①当|m+12|+|m﹣16|有最小值时，最小值为　 　 ，此时点M须满足的条件是　 　 ； ②若点M到点A和点B的距离之和为40，求m的值； ③点P，Q分别从A，B两点同时向左运动，点M始终是PQ的中点，P的速度为1个单位/s，Q的速度为3个单位长度/s，当P，Q两点相距4个单位长度时，求此时m的值． 15．（2024-2025•大冶市期末）【问题背景】数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点M表示的数为． 【情境应用】已知数轴上有A、B两点，点A、B表示的数分别为﹣3和1． （1）填空：线段AB两点之间的距离为　 　 ，线段AB的中点M表示的数是　 　 ； （2）若数轴上点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示　 　 的点重合； 【情境拓展】在数轴上A点表示数﹣3，B点表示数1，C点表示数9，若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． （1）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （2）当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 16．（2024-2025•永定区校级月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数如果分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以B是A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示的数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“联盟点”的是　 　 ； （2）点A表示数﹣1，点B表示的数3，P在为数轴上一个动点：若有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数．（写出解题过程） （3）数轴上点A所表示的数为﹣10，点B所表示的数为20．一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．问：t秒后蚂蚁P所表示的数是　 　 ；蚂蚁Q所表示的数是　 　 ；求当t为何值时，P、Q、B三个点中恰有一个点为其余两点的“联盟点”？（写出解题过程） 【题型5】数轴折叠与动点的结合问题（共4小题） 17．（2024-2025•衡阳月考）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，c＝|4|，请回答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 18．（2024-2025•南部县校级期中）在数轴上有A、B分别表示数a、b，其中，且|a+14|与（b﹣4）2互为相反数．点P是数轴上一动点，规定点P到A的距离是点P到B的距离的2倍时，我们就称点P是关于A→B的“亲密点”． （1）当P运动到表示最大的负整数时，若将数轴折叠，使A点与B点重合，求出与P点重合的点表示的数是多少？ （2）①若P点运动到原点O时，此时点P　 　 关于A→B的“亲密点”（填是或不是）； ②若P点从A点以每秒2个单位长度向右运动，当点P是关于A→B的“亲密点”，求点P的运动时间． （3）若P在原点左边（即P对应的数是负数）且P、A、B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“亲密点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数． 19．（2024-2025•涧西区校级月考）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3． （1）点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①若点P到点A、点B的距离相等，则x＝ 　 　 ； ②若点P在原点的右侧，且到点A、点B的距离之和为10，则x＝ 　 　 ； （2）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合． ①则﹣3表示的点与数 　 　 表示的点重合； ②若数轴上的点M在点N的左侧，M、N两点之间的距离为2026，且M、N两点经过折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 20．（2024-2025•银川期末）综合与实践 如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣8，点B表示的数为2．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t＝3时，求此时点P表示的数； （2）当t＝7时，数轴上有一点M，沿着点M折叠，点P与点A刚好重合，求点M表示的数； （3）点C为线段AB的中点，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，若点P、Q同时出发，求当点P与点Q相遇时，t的值． 【题型6】动点的折返与往返运动问题（共4小题） 21．（2024-2025•浙江期中）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣10，﹣4，4，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为x秒． （1）当x＝3时，点P到点A的距离PA为 　 　 ；此时点P所表示的数为 　 　 ； （2）当点P运动到B点时，点Q同时从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后停止运动，则点Q出发5秒时与P点之间的距离QP＝ 　 　 ； （3）当点P运动到B点时，点Q同时从A点出发，以每秒2个单位的速度在AC之间来回运动，当点Q第一次返回点A前，点Q移动几秒时恰好与点P之间的距离为2个单位． 22．（2024-2025•盐城月考）【定义新知】在数轴上点M和点N表示的数为m、n，则可以用绝对值表示点M和点N之间的距离d（M，N），即d（M，N）＝|m﹣n|．若d（M，N）＝0，则点M与点N重合． 【初步应用】 （1）在数轴上，点A、B、C分别表示的数为﹣2、1、x，解答下列问题： ①d（A，B）＝　 　 ； ②若d（A，C）＝3，则x的值为　 　 ； ③若d（A，C）+d（B，C）＝d（A，B），且x为负整数，则x的值为　 　 ． 【综合应用】 （2）在数轴上，点D、E、F分别表示数﹣3、5、12，动点P沿数轴以每秒3个单位长度从点D开始向点F运动，到达F点后立刻原速返回到D点；同时，动点Q沿数轴以每秒1个单位长度从点E开始向点F运动，到达F点后停止．设点P的运动时间为t秒，在整个运动过程中，若，求t的值． 23．（2024-2025•南部县校级月考）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． （1）当t＝0.5时，求点Q到原点O的距离； （2）当t＝2.5时，求点Q到原点O的距离； （3）当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 24．（2024-2025•安康期末）如图，直线l上有A，B两点，AB＝15cm，点O是线段AB上一点，OA＝2OB． （1）OA＝　 　 cm，OB＝　 　 cm； （2）若点P以2cm/s的速度从点A出发沿直线l向右运动，同时，点Q以1cm/s的速度从点B出发沿直线l也向右运动，设运动时间为ts，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动． ①当t为何值时，2OP﹣OQ＝4； ②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也沿直线l向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以3cm/s的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以3cm/s的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止运动时，点M也停止运动，在此过程中，点M行驶的总路程是多少？ 【题型7】动点的挡板问题（共4小题） 25．（2024-2025•江岸区校级月考）O为原点，点A、B、C在数轴上的位置如图所示，AO＝BC＝5，OB＝10，在C点处有一挡板．D、E为数轴上两动点，动点D从A点出发，以3个单位/秒的速度沿BA方向运动；同时，动点E从B点出发，以2个单位/秒的速度沿BC方向运动，碰到挡板后以原速的2倍反向运动，设运动的时间为t秒． （1）A点对应的数为　 　 ；B点对应的数为　 　 ；C点对应的数为　 　 ； （2）若DE＝19，求t的值； （3）M为CE的中点，N为BD中点，当时，若4MC+k•MN的值与t无关，求k的值． 26．（2024-2025•荔湾区期末）在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B，C表示的数分别为﹣10，0，12，28． （1）点P在数轴上表示的数为x，若点P为线段AB上的一个动点，求|x+10|+|x﹣12|的值． （2）如图，在数轴的原点O处放置了一台粒子加速器，当粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的3倍．在C处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即反弹，速度不变．甲粒子从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动．同时，乙粒子从B点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t． ①当甲、乙两粒子第一次相遇时，相遇点表示的数为 　 　 ． ②当甲、乙两粒子距离为4时，求t的值． 27．我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a，点B表示数b，线段AB的长表示为AB．当点C为线段AB中点时，即AC＝BC时，点C表示的数为．请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的点A表示数﹣2，点B表示数5．若在原点O处放一挡板，一动点P从点A处以2个单位长度/秒的速度向左运动；同时另一个动点Q从点B处以3个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到点B后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为t秒． （1）动点P表示的数为　 　 ；当时，动点Q表示的数为　 　 ；当时，动点Q表示的数为　 　 ．（用含t的代数式表示） （2）当O是线段PQ中点时，求时间t的值． （3）分别取OB和AQ的中点E，F． ①当EF＝2时，求时间t的值； ②试判断是否存在常数m，使得AB﹣OQ+mEF的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 28．（2024-2025•巴彦县校级月考）如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，点A与点B之间的距离是40个单位长度，且|a|＝3|b|． （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）动点P、Q分别从点A、B两点同时出发，分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，设两点运动时间为t秒，求P、Q两点之间的距离（用含t的代数式表示）； （3）如图2，在（2）的条件下，当t＝5时点P、Q停止运动，在数轴上的点P和点Q处各竖立一个挡板，数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，当弹珠遇到挡板后立即以原速度向相反方向运动，若甲、乙两个弹珠在各自遇到挡板返回后，在其中一个弹珠第二次遇到挡板时两个弹珠停止运动，如果甲、乙两个弹珠首次返回过程中的距离为10个单位长度，求出此时甲、乙两个弹珠运动的时间是多少秒？ 【题型8】动点与动态定值问题（共4小题） 29．（2024-2025•孝南区期末）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位长度/秒的速度沿射线AB运动，M为AP中点． （1）当点P在线段AB上运动时， ①出发多少秒后，PB＝2AM？ ②试说明2MB﹣BP为定值； （2）当点P在线段AB延长线上运动时，设N为BP的中点，有下列两个结论：①MN长度不变；②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． 30．（2024-2025•西山区校级月考）如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）A、C两点之间的距离为　 　 ，P、Q两点相遇时，t＝　 　 ； （2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等； （3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，判断2CN﹣PC是否为定值． 31．（2024-2025•高唐县期末）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，且a是多项式﹣5x2﹣6x﹣15的二次项系数． （1）求a，b； （2）数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． （3）在（2）的条件下，点P、Q相遇之前，4PQ+PA是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 32．（2024-2025•金平区校级期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若已知a＞b，则AB＝a﹣b．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣18，﹣8，+8，A到C的距离可以用AC表示，计算方法：AC＝|（﹣18）﹣（+8）|＝26或AC＝（+8）﹣（﹣18）＝26． （1）填空：AB＝　 　 ，BC＝　 　 ． 【构建联系】（2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是　 　 ，点Q表示的数是　 　 ；（用含t的代数式表示） ②求P、Q两点间的距离PQ（用含t的代数式表示）． 【深入探究】（3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且CD﹣3AD的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 【题型9】动点与变速运动问题（共4小题） 33．（2024-2025•源汇区校级月考）已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a，b满足（a+10）2+|b﹣10|＝0．动点M从点A出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1单位/秒的速度向左运动．线段OB为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点M到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，AC＝　 　 ； （2）动点M从点A运动至点C时，求t的值； （3）M、N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数． 34．（2024-2025•宿迁月考）如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足（a+12）2+|b﹣8|＝0，点C到原点距离是点B到原点距离的2倍． （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）如图1，若点A、B、C分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和m（m＞4）个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD． ①t为何值时，AD＝3BD？ ②若的值始终保持不变，求m的值： （3）如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为　 　 ． 35．（2025•大渡口区校级开学）如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足（a+12）2+|b﹣8|＝0，OC＝2OB． （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）如图1，若点A、B分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD．问：当t为何值时，A、B之间的距离为2？ （3）如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为 　 　 ． 36．（2024-2025•常州期中）已知数轴上A，B，C三点，若点C在点A，B之间且CA＝3CB，则称点C是{A，B}的和谐点．例如，图1中，点A，B，C，D表示的数分别为﹣3，1，0，﹣2，此时CA＝3CB，DB＝3DA，则点C是{A，B}的和谐点，点D是{B，A}的和谐点． （1）如图2，数轴上点M，N表示的数分别为﹣3，5，若点P是{M，N}的和谐点，则点P表示的数是 　 　 ；若点Q是{N，M}的和谐点，则点Q表示的数是 　 　 ； （2）已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a，b，c，d，且a、b满足|a+24|+（b+6）2＝0，点C在点B的右侧且到点B的距离为12个单位长度，点D表示的数是18；动点P从点A出发以6单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以3个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为t秒． ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 　 　 ，从C运动到B的过程中，点Q表示的数是 　 　 ；（用含t的代数式表示） ②求使得点C是{P，Q}的和谐点的t值；若不存在，请说明理由． 专练-动点 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 题号 1 2 4 答案 C B A 一．【题型1】单动点基础位置与距离计算（共4小题） 1．（2024-2025•新野县期末）如图，数轴上的点A和点B分别表示一7和5，点P是线段AB上一动点．点P从点A出发沿A→B的方向以每秒2个单位的速度向B运动，C是线段AB的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过6秒）．若点P在运动过程中，当CP＝2时，则运动时间t的值为（　　） A．4 B．2 C．2或4 D．或 【答案】C 【分析】根据CP＝2列方程，求解即可． 【解答】解：动点P所表示的数是﹣7+2t， ∵C是线段AB的中点， ∴点C所表示的数是﹣1， ∵CP＝2， ∴|﹣7+2t+1|＝2， ∴2t﹣6＝﹣2或2t﹣6＝2， 整理得，2t＝4或2t＝8， 解得t＝2或4． 即运动时间t的值为2或4， 故选：C． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴，找出等量关系列出方程是解题的关键． 2．（2024-2025•宿豫区期末）在数轴上，点A表示的数为﹣5，点B表示的数为15．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为t秒，当点P到A、B两点距离之和为40时，则t的值是（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣5+2t，根据PA+PB＝40，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣5+2t， 根据题意得：|﹣5+2t﹣（﹣5）|+|﹣5+2t﹣15|＝40， 即2t+2t﹣20＝40， 解得：t＝15， ∴t的值是15． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2024-2025•潍坊期末）如图，在数轴上，点A表示﹣2，点B表示7．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿某一固定方向运动，设运动时间为t秒．当PA＝2PB时，运动时间t的值为 　2或8　 ． 【答案】2或8． 【分析】根据数轴直接得出AB的长即可；根据PA＝t﹣（﹣2）得出PA，然后计算出PB比较PA和PB的关系；分情况列方程求解即可． 【解答】解：（1）由数轴知，AB＝7﹣（﹣2）＝9， 当P点在B点左侧时， 由题意得2t﹣（﹣2）＝2[9﹣（2t+2）]， 解得t＝2， 当P点在B点右侧时， 由题意得2t﹣（﹣2）＝2（2t﹣7）， 得t＝8， 综上，当t的值为2或8时，PA＝2PB． 故答案为：2或8． 【点评】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列出方程求解是解题的关键． 4．（2024-2025•渭南期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣8，0，4，动点P从A点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点M始终为AP的中点，点N始终为PB的中点，点P在从A点运动到B点的过程中，则线段MN的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】首先计算出线段AB的长度，由题意知，动点P从A点出发，沿数轴向右运动，点M始终为AP的中点，点N始终为PB的中点，可得：AP+PB＝AB，MNAB，即可计算出NM的长度． 【解答】解：数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣8，0，4， ∴线段AB＝4﹣（﹣8）＝12， ∵动点P从A点出发，沿数轴向右运动，点M始终为AP的中点，点N始终为PB的中点， ∴MPAP，NPPB， ∵AP+PB＝AB， ∴MNAB12＝6， 故选：A． 【点评】本题考查数轴的知识点，解题的关键是读懂题意和正确计算两点间的距离． 二．【题型2】双动点相向运动的相遇问题（共4小题） 5．（2024-2025•南关区校级期中）点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁分别从A、B两点同时出发，沿着数轴以相同的速度相向而行，当两只蚂蚁相遇在点P时，点P在数轴上表示的数是　﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意得到当两只蚂蚁相遇在点P时，点P为点A和点B的中点，进而求解即可． 【解答】解：由题意可知：当两只蚂蚁相遇在点P时，点P为点A和点B的中点， ∴点P在数轴上表示的数是． 故答案为：﹣2． 【点评】此题考查数轴，正确记忆相关知识点是解题关键． 6．（2024-2025•新乐市期末）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是﹣30，点B表示的数是10． （1）线段AB的中点C对应的数为 　﹣10　 ； （2）若点D在数轴上，且AD＝3BD，求BD的长； （3）若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上每秒向右前进3个单位长度；同时一只毛毛虫从点B出发，在数轴上每秒向右前进1个单位长度，它们在点E处相遇，求点E对应的数． 【答案】（1）﹣10； （2）BD的长为10或20； （1）点E对应的数是30． 【分析】（1）根据数轴上线段中点所对应的数的计算方法进行计算即可； （2）分两种情况进行解答，即点D在点B的左侧或右侧，列式计算即可； （3）先设运动时间为t，然后用含有t的式子表示点A和点B所对应的数，再令两个数相等列出方程，最后解方程求得t的值，从而得到点E对应的数． 【解答】解：（1）线段AB的中点C对应的数为， 故答案为：﹣10； （2）当点D在点B的左侧时，3BD+BD＝10+30， 解得：BD＝10； 当点D在点B的右侧时，3BD﹣BD＝10+30， 解得：BD＝20； ∴BD的长为10或20； （3）设运动时间为t秒，由题意得， 点A对应的数为﹣30+3t，点B对应的数为10+t， ∴点A和点B相遇时，﹣30+3t＝10+t， 解得：t＝20， 此时，点E对应的数为10+20＝30， ∵点A和点B在点E相遇， ∴点E对应的数是30． 【点评】本题考查数轴，数轴上的点表示数，一元一次方程的应用，掌握速度、时间、路程之间的关系是解决问题的关键． 7．（2024-2025•白云区期末）如图，数轴上点A表示的数是﹣5，点B表示的数是13． （1）点A和点B在数轴上的距离是 　18　 个长度单位； （2）点C，D，E为数轴上的三个动点，点C的速度为3个单位长度每秒，点D的速度为11个单位长度每秒，点E的速度为2个单位长度每秒．点C和点D从A点出发，点E从B点出发． ①三点同时出发向右运动，当点D与点E重合时，求点C所对应的数； ②三点同时出发向右运动，当点D与点E重合后，点D立即沿反方向运动，当点D与点C相遇时，求此时点E所对应的数． 【答案】（1）18；（2）①1；②． 【分析】（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）①设运动时间为t秒，则点C表示的数为﹣5+3t，点D表示的数为﹣5+11t，点E表示的数为13+2t，再根据题意可得方程﹣5+11t＝13+2t，解方程即可得到答案； ②设当点D与点E重合后，经过m秒点D与点C相遇，由①可知当点D与点E重合时，点D和点E表示的数为﹣5+11×2＝17，点C表示的数为1，则3m+11m＝17﹣1，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数是﹣5，点B表示的数是13， ∴点A和点B在数轴上的距离是13﹣（﹣5）＝18个长度单位， 故答案为：18； （2）①设运动时间为t秒， 由题意得，点C表示的数为﹣5+3t，点D表示的数为﹣5+11t，点E表示的数为13+2t， ∵点D与点E重合， ∴﹣5+11t＝13+2t， 解得t＝2， ∴﹣5+3t＝1， ∴当点D与点E重合时，点C所对应的数为1； ②设当点D与点E重合后，经过m秒点D与点C相遇， 由①可知当点D与点E重合时，点D和点E表示的数为﹣5+11×2＝17，点C表示的数为1， ∴3m+11m＝17﹣1， 解得， ∴， ∴此时点E表示的数为． 【点评】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 8．（2024-2025•肇庆期末）如图，已知点A，点B是直线l上的两点，且AB＝6cm，点P和点Q是直线上的两个动点，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线l上运动，运动时间为t（s）． 请回答下列问题： （1）若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ （2）若点P、Q均向右运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ （3）若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出t的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据相遇时P，Q所走的路程＝AB的长度列出方程，解方程即可； （2）当点P、Q均向右运动时，P、Q两点相遇，此时P，Q两点运动的路程差为AB的长度，列出方程，解方程即可； （3）分Q在P的左边和Q在P的右边，列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得：2t+t＝6， 解得：t＝2， 答：t＝2时P、Q两点相遇； （2）根据题意得：2t﹣t＝6， 解得t＝6， 答：t＝6时P、Q两点相遇； （3）当P、Q两点之间距离为2时有两种情况， ①Q在P的左边，此时P，Q两点为AB的长度减去2， 即2t﹣t＝6﹣2， 解得t＝4； ②Q在P的右边，此时P，Q两点为AB的长度加上2， 即2t﹣t＝6+2， 解得t＝8， ∴t的值为4或8． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 三．【题型3】双动点同向运动的追及问题（共4小题） 9．（2024-2025•东莞市期末）已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数为80． （1）请直接写出AB的中点M对应的数． （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： ①试求出点C在数轴上所对应的数； ②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 【答案】（1）30； （2）①40， ②17秒或23秒． 【分析】（1）根据数轴上A、B两点所表示的数为a、b，则AB的中点所表示的数可以用公式计算； （2）①设出点C所表示的数，表示出AC、BC，再根据两只蚂蚁的运动时间相等，列方程求解即可；②分两种情况进行解答，即：Ⅰ）相遇前相距15个单位长度，Ⅱ）相遇后相距15个单位长度，分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）AB的中点M所对应的数为30 （2）①如图1，设点C所表示的数为x，则AC＝x+20，BC＝80﹣x， 由题意得，， 解得，x＝40， 答：点C在数轴上所表示的数为40； ②分两种情况进行解答，设运动的时间为t秒 Ⅰ）如图2，相遇前相距15个单位长度， 则3t+2t＝80﹣（﹣20）﹣15， 解得，t＝17（秒）， Ⅱ）如图3，相遇后相距15个单位长度 则3t+2t＝80﹣（﹣20）+15， 解得，t＝23（秒） 答：当两只蚂蚁运动17秒或23秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度． 【点评】考查数轴表示数的意义和方法，掌握数轴上两点间中点所表示的数的计算方法以及两种之间距离的计算方法是正确解答的关键． 10．（2024-2025•北林区校级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　 ，点P表示的数是 　6﹣6t （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则6t＝10+4t，然后解方程得到t＝5； ②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10+4a﹣6a＝8；超过Q，则10+4a+8＝6a；由此求得答案解即可． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10+4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【点评】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键． 11．（2024-2025•长宁区期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）运动 　4　 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是 　﹣4　 ； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）分别利用在相遇之前距离为10和在相遇之后距离为10，求出即可． 【解答】解：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得： 2x+3x＝8﹣（﹣12）， 解得：x＝4， ﹣12+2×4＝﹣4． 答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：﹣4； 故答案为：4；﹣4． （2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t， 若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10＝20， 解得：t＝2． 若在相遇之后距离为10，则有2t+3t﹣10＝20， 解得：t＝6． 综上所述：t的值为2或6． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴的应用，利用分类讨论得出是解题关键． 12．（2024-2025•晋江市期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解； （2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出﹣20向右运动到相遇地点所对应的数； （3）此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可． 【解答】解：（1）M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40； （2）A，B之间的距离为120， 它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒）， 即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位）， 即从数﹣20向右运动48个单位到数28； （3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒）， 相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）． 故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 【点评】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程＝速度×时间． 四．【题型4】动点与中点的动态关系问题（共4小题） 13．（2024-2025•北碚区校级月考）如图所示，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且|a+6|+|b﹣18|＝0，点O为原点，点C在数轴上且位于O，B两点之间，满足AC+OC＝BC． （1）直接写出a＝ 　﹣6　 ，b＝ 　18　 ，点C所对应的数是 　4　 ； （2）动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒． ①若PC＝3CQ，求t的值； ②若动点M同时从点A出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以同样的速度返回，当t为何值时，点M恰好是线段PQ的中点． 【答案】（1）﹣6，18，4； （2）①t＝6或t；②t＝14或t时，点M恰好是线段PQ的中点． 【分析】（1）依据方程求出a，b，根据等式求出点C对应的数； （2）根据条件列出方程，求解，动点问题分类讨论． 【解答】解：（1）∵|a+6|+|b﹣18|＝0， ∴a+6＝0，b﹣18＝0， ∴a＝﹣6，b＝18， ∵AC+OC＝BC，点C在数轴上O，B两点之间， ∴设点C所对应的数为x，（0＜x＜18） x﹣a+x﹣0＝b﹣x， x﹣（﹣6）+x＝18﹣x， 解得：x＝4， 故答案为：﹣6，18，4； （2）①依题意，t秒后，Q点对应的数是18﹣2t， ∴CQ＝|18﹣2t﹣4|＝|2t﹣14|， ∵PC＝t，PC＝3CQ， ∴3|2t﹣14|＝t， 解得：t＝6或t； ②根据题意，t秒后，由于动点M要返回，所以本题分两种情况讨论， （i）当0＜t≤4时，此时动点M还未返回，点M处于P，Q之间， 此时，P点对应的数是：4﹣t，Q点对应的数是：18﹣2t，M点对应的数是：﹣6t， ∴PM＝|t﹣10|，QM＝|t﹣24|， ∵点M恰好为PQ的中点， ∴PM＝QM， |t﹣10|＝|t﹣24|， 解得：t（舍去）或t＝14（舍去）， （ii）当t＞4时，此时动点M遇到Q点后返回， 动点M在 t时相遇，并返回，此时动点M所在位置表示的数是， 此时，M点对应的数是：（t）t， P点对应的数是：4﹣t，Q点对应的数是：18﹣2t， ∴PM＝|t|，QM＝|t|， ∵点M恰好为PQ的中点， ∴PM＝QM， |t|＝|t|， 解得：t＝14或t， ∴当t＝14或t时，点M恰好是线段PQ的中点． 【点评】本题考查了动点问题，要学会列出正确的方程，关键是分类讨论解决问题． 14．（2024-2025•夷陵区期末）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，A在B的左侧． （1）若AB＝8． ①若A，B到原点O的距离相等，则a＝　﹣4　 ． ②若点A与原点O相距3个单位长度，则b＝　5或11　 ． （2）若a＝﹣12，b＝16，点M是数轴上的点，其表示的数为m． ①当|m+12|+|m﹣16|有最小值时，最小值为　28　 ，此时点M须满足的条件是　点M在线段AB上　 ； ②若点M到点A和点B的距离之和为40，求m的值； ③点P，Q分别从A，B两点同时向左运动，点M始终是PQ的中点，P的速度为1个单位/s，Q的速度为3个单位长度/s，当P，Q两点相距4个单位长度时，求此时m的值． 【答案】（1）①﹣4；②5或11； （2）①28；点M在线段AB上；②﹣18或22；③﹣22或﹣30． 【分析】（1）①根据AB＝8，A，B到原点O的距离即可得出，即可求解； ②分A在原点的左和右侧时，分别求得a的值，进而根据AB＝8，A在B的左侧，即可求解； （2）①根据绝对值的意义，可得点M在线段AB上|m+12|+|m﹣16|有最小值时，最小值为AB的长，即可求解； ②根据题意可得点M不在线段AB上，进而分类讨论，即可求解； （3）设P、Q同时向左运动的时间为ts，表示出P、Q运动ts时，点P对应的数为﹣12﹣t，点Q对应的数为16﹣3t，进而根据题意列出绝对值方程，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）①由条件可知， ∴a＝﹣4， 故答案为：﹣4． ②∵AB＝8，点A与原点O相距3个单位长度，A在B的左侧． 当A在原点的左侧时，a＝﹣3 ∴b＝8+（﹣3）＝5， 当A在原点的右侧时，a＝3， ∴b＝8+3＝11 故答案为：5或11． （2）①∵a＝﹣12，b＝16，点M是数轴上的点，其表示的数为m． ∴|m+12|+|m﹣16|有最小值时，最小值为16﹣（﹣12）＝28， 此时点M须满足的条件是：点M在线段AB上， 故答案为：28；点M在线段AB上； ②∵AB＝16﹣（﹣12）＝28， 又∵40＞28， ∴点M不在线段AB上， 情形一：当点M在点A左侧时，MA＝﹣12﹣m，MB＝16﹣m， ∴（﹣12﹣m）+（16﹣m）＝40，解得m＝﹣18， 情形二：当点M在点B右侧时，MA＝m+12，MB＝m﹣16， ∴（m+12）+（m﹣16）＝40，解得m＝22， 综上所述，m的值为﹣18或22． ③设P、Q同时向左运动的时间为ts，则有： PQ＝|（﹣12﹣t）﹣（16﹣3t）|＝|2t﹣28|， 当PQ＝4时，即|2t﹣28|＝4， 解得t＝12或16， 当t＝12时，m＝﹣12﹣12+2＝﹣22； 当t＝16时，m＝﹣12﹣16﹣2＝﹣30． 综上，当P，Q两点相距4个单位长度时，m的值为﹣22或﹣30． 【点评】本题考查了数轴上动点问题，绝对值的意义，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 15．（2024-2025•大冶市期末）【问题背景】数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点M表示的数为． 【情境应用】已知数轴上有A、B两点，点A、B表示的数分别为﹣3和1． （1）填空：线段AB两点之间的距离为　4　 ，线段AB的中点M表示的数是　﹣1　 ； （2）若数轴上点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示　5　 的点重合； 【情境拓展】在数轴上A点表示数﹣3，B点表示数1，C点表示数9，若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． （1）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （2）当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】[情境应用]（1）4，﹣1；（2）5；[情境拓展]（1）1或4或16；（2）存在，． 【分析】[情境应用]（1）根据绝对值和有理数运算的性质求解，即可得到线段AB的中点M表示的数； （2）根据折叠和数轴的性质，首先计算得折痕表示的数，再结合绝对值的性质计算，即可得到答案； [情境拓展]（1）结合题意，根据数轴和一元一次方程的性质计算即可； （2）首先假设存在，首先得到mBC﹣2AB关于t的表达式，根据含t的项的系数为0列式求解，即可得到答案． 【解答】[情境应用]（1）AB＝|a﹣b|＝|（﹣3）﹣1|＝4， 线段AB的中点M表示的数， 故答案为：4，﹣1； （2）∵点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴折痕为AC中点，表示的数为：， ∴B点与折痕距离＝|1﹣3|＝2， ∴与点B的点表示的数＝3+2＝5， 故答案为：5； [情境拓展]（1）t秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t B点所在的数为：1﹣t， C点所在的数为：9﹣4t， 当B点为AC的中点时，即， ∴t＝1， 当C点为AB的中点时，即， ∴t＝4， 当A点为BC的中点时，即， ∴t＝16， ∴t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点； （2）假设存在，则BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t， 由条件可知4+t＞0， ∴AB＝|4+t|＝4+t， ∴mBC﹣2AB＝8m﹣8﹣（3m+2）t， 当3m+2＝0，即时，， ∴存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，． 【点评】本题考查了数轴，非负数的性质，整式的加减、一元一次方程的性质；利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 16．（2024-2025•永定区校级月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数如果分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以B是A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示的数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“联盟点”的是C2 ； （2）点A表示数﹣1，点B表示的数3，P在为数轴上一个动点：若有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数．（写出解题过程） （3）数轴上点A所表示的数为﹣10，点B所表示的数为20．一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．问：t秒后蚂蚁P所表示的数是　20﹣2t ；蚂蚁Q所表示的数是　﹣10+t ；求当t为何值时，P、Q、B三个点中恰有一个点为其余两点的“联盟点”？（写出解题过程） 【答案】（1）C2； （2）1，﹣5，7； （3）20﹣2t，﹣10+t；6或15． 【分析】（1）分别计算C1，C2，C3，C4到A点和B点的距离，然后根据“联盟点”的概念求解即可； （2）设点P表示的数为x，根据题意分3种情况讨论，分别列出方程求解即可； （3）首先表示出点P和点Q表示的数，然后根据题意分3种情况讨论，分别列出方程求解． 【解答】解：（1）∵，AC1≠BC1， ∴C1不是点A，B的“联盟点”； ∵AC2＝0﹣（﹣2）＝2，BC2＝2﹣0＝2，AC2＝BC2， ∴C2是点A，B的“联盟点”； ∵AC3＝4﹣（﹣2）＝6，BC3＝4﹣2＝2，AC3≠BC3， ∴C3不是点A，B的“联盟点”； ∵AC4＝6﹣（﹣2）＝8，BC4＝6﹣2＝4，AC4≠BC4， ∴C4不是点A，B的“联盟点”； ∴点A，B的“联盟点”的是C2， 故答案为：C2； （2）设点P表示x， 当P是A，B的“联盟点”时，PA＝PB， ∴点P时AB的中点， ∴， 当A是P，B的“联盟点”时，AP＝AB， ∴点A是PB的中点， ∴， ∴x＝﹣5， 当B是P，A的“联盟点”时，PB＝AB， ∴点B是AP的中点， ∴， ∴x＝7， 总之，若A、B、P中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，则点P表示的数为1或﹣5或7； （3）点P表示的数是20﹣2t，点Q表示的数是﹣10+t， ∴QP＝|20﹣2t﹣（﹣10+t）|＝|﹣3t+30|，BP＝20﹣（20﹣2t）＝2t，QB＝|20﹣（﹣10+t）|＝|﹣t+30|， ∴当P是B和Q的“联盟点”时，PB＝PQ， ∴2t＝|﹣3t+30|， ∴2t＝﹣3t+30或2t＝3t﹣30， ∴t＝6或t＝30（舍去）； ∴当B是P和Q的“联盟点”时，BP＝BQ， ∴2t＝|﹣t+30|， ∴2t＝﹣t+30或2t＝t﹣30， ∴t＝10（舍去）或t＝﹣30（舍去）； ∴当Q是P和B的“联盟点”时，QP＝QB， ∴|﹣3t+30|＝|﹣t+30|， ∴﹣3t+30＝﹣t+30或﹣3t+30＝t﹣30， ∴t＝0（舍）或t＝15； 总之，当t＝6或15时，P、Q、B三个点中恰有一个点为其余两点的“联盟点”． 故答案为：20﹣2t，﹣10+t． 【点评】本题考查数轴，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解（2）（3）的关键． 五．【题型5】数轴折叠与动点的结合问题（共4小题） 17．（2024-2025•衡阳月考）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，c＝|4|，请回答下列问题： （1）填空：a＝　﹣1　 ，b＝　1　 ，c＝　4　 ； （2）如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 【答案】（1）﹣1，1，4； （2）①1.5；②0.75或2或3.5． 【分析】（1）最大的负数时﹣1，﹣1的相反数是1，绝对值是4的正数时4，据此解答即可． （2）①对折后点A与点C重合，即点P到A，C的距离相等，据此求解即可． ②分三种情况进行分析计算． 【解答】解：（1）由条件可知a＝﹣1，b＝1， ∵在数轴上点A，B，C从左到右依次排列， ∴a＜b＜c， 又∵c＝|4|， ∴c＝4． 故答案为：﹣1，1，4； （2）①由条件可知点P表示的数为：． ②i）折后B，C不动，A′在BC之间到B，C距离相等． ∴A折后A′对应的数：． ∴点P表示的数为：． ii）折后A，B动，C不动，C在A′B′之间到A′，B′距离相等， ∴B折后B′对应的数：4﹣1＝3， ∴点P表示的数为：． iii）折后A，B动，C不动，点B′在CA′之间到A′，C距离相等， ∴B折后B′对应的数：4+2＝6， ∴点P表示的数为：． 综上，p的值为0.75或2或3.5． 【点评】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． 18．（2024-2025•南部县校级期中）在数轴上有A、B分别表示数a、b，其中，且|a+14|与（b﹣4）2互为相反数．点P是数轴上一动点，规定点P到A的距离是点P到B的距离的2倍时，我们就称点P是关于A→B的“亲密点”． （1）当P运动到表示最大的负整数时，若将数轴折叠，使A点与B点重合，求出与P点重合的点表示的数是多少？ （2）①若P点运动到原点O时，此时点P　不是　 关于A→B的“亲密点”（填是或不是）； ②若P点从A点以每秒2个单位长度向右运动，当点P是关于A→B的“亲密点”，求点P的运动时间． （3）若P在原点左边（即P对应的数是负数）且P、A、B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“亲密点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数． 【答案】（1）﹣9； （2）①不是；②6s或18s； （3）﹣50或﹣23或﹣5或﹣2或﹣8或﹣32． 【分析】（1）根据非负数的性质和相反数的定义求出a、b的值，即得线段AB的中点表示的数，由根据点P表示最大的负整数，可得点P表示的数为﹣1，最后利用中点公式即可求解； （2）①分别求出PA、PB的距离，再根据“亲密点”的定义判断即可；②设点P的运动时间为t秒，可得点P表示的数为﹣14+2t，再分点P在点B的左侧和右侧，分别列出方程解答即可； （3）设点P表示的数为n，则PA＝n+14或﹣n﹣14，PB＝4﹣n，AB＝4﹣（﹣14）＝18，再分分六种情况进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）∵|a+14|与（b﹣4）2互为相反数， ∴|a+14|+（b﹣4）2＝0， ∴|a+14|＝0，（b﹣4）2＝0， ∴根据非负数的性质得，a＝﹣14，b＝4， ∴A、B分别表示数﹣14、4， ∴线段AB的中点表示的数为， ∵点P表示最大的负整数， ∴点P表示的数为﹣1， 设与P点重合的点表示的数为x，则， ∴x＝﹣9， ∴与P点重合的点表示的数是﹣9； （2）①当P点运动到原点O时，PA＝0﹣（﹣14）＝14，PB＝4﹣0＝4， ∵PA≠2PB， ∴此时点P不是关于A→B的“亲密点”， 故答案为：不是； ②设点P的运动时间为t秒， 由题意得，点P表示的数为﹣14+2t， 当点P在点B的左侧时，PA＝﹣14+2t﹣（﹣14）＝2t，PB＝4﹣（﹣14+2t）＝18﹣2t， ∵点P是关于A→B的“亲密点”， ∴根据题意列一元一次方程得，2t＝2（18﹣2t）， 整理得，6t＝36， 解得t＝6； 当点P在点B的右侧时，PA＝﹣14+2t﹣（﹣14）＝2t，PB＝﹣14+2t﹣4＝2t﹣18， ∵点P是关于A→B的“亲密点”， ∴根据题意，列一元一次方程得，2t＝2（2t﹣18）， 整理得，2t＝36， 解得t＝18； 综上，点P的运动时间为6s或18s； （3）设点P表示的数为n，则PA＝n+14或﹣n﹣14，PB＝4﹣n，AB＝4﹣（﹣14）＝18， 分六种情况进行讨论：①当点A是关于P→B的“亲密点”时，|PA|＝2|AB|， 即得一元一次方程：﹣n﹣14＝36， 解得n＝﹣50； ②当点A是关于B→P的“亲密点”时，|AB|＝2|AP|， 即2（﹣n﹣14）＝18 或2（n+14）＝18， 解得n＝﹣23或n＝﹣5； ③当点P是关于A→B的“亲密点”时，|PA|＝2|PB|， 即n+14＝2（4﹣n）， 整理得，3n＝﹣6， 解得n＝﹣2； ④当点P是关于B→A的“亲密点”时，|PB|＝2|AP|， 即4﹣n＝2（n+14）或4﹣n＝2（﹣n﹣14）， 整理得，3n＝﹣24或n＝﹣28﹣4， 解得n＝﹣8或n＝﹣32； ⑤当点B是关于P→A的“亲密点”时，|PB|＝2|AB|， 即4﹣n＝36， 解得n＝﹣32； ⑤当点B是关于A→P的“亲密点”时，2|PB|＝|AB|， 即得一元一次方程：2（4﹣n）＝18， 整理得，2n＝﹣10， 解得n＝﹣5； 综上所述，所有符合条件的点P表示的数是﹣50或﹣23或﹣5或﹣2或﹣8或﹣32． 【点评】本题考查了数轴，相反数，一元一次方程的应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 19．（2024-2025•涧西区校级月考）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3． （1）点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①若点P到点A、点B的距离相等，则x＝ 　1　 ； ②若点P在原点的右侧，且到点A、点B的距离之和为10，则x＝ 　6　 ； （2）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合． ①则﹣3表示的点与数 　5　 表示的点重合； ②若数轴上的点M在点N的左侧，M、N两点之间的距离为2026，且M、N两点经过折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【答案】（1）①1； ②6； （2）①5； ②点M表示的数是﹣1012，点N表示的数是1014． 【分析】（1）①根据点P到点A、点B的距离相等，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值； ②根据点P到点A、点B的距离之和为10，可列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）①由﹣1与3表示的点重合，可得出折叠点表示的数为1，设﹣3表示的点与数a表示的点重合，根据折叠点到两点的距离相同，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； ②设点M表示的数是m，则点N表示的数是m+2026，根据折叠点到点M，N的距离相等，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值（即点M表示的数），再将其代入m+2026中，即可求出点N表示的数． 【解答】解：（1）①根据题意得：x﹣（﹣1）＝3﹣x， 解得：x＝1． 故答案为：1； ②根据题意得：x﹣（﹣1）+|x﹣3|＝10， 当0＜x≤3时，x﹣（﹣1）+3﹣x＝4≠10，不符合题意，舍去； 当x＞3时，x﹣（﹣1）+x﹣3＝10， 解得：x＝6． 故答案为：6； （2）①∵将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合， ∴折叠的点表示的数为． 设﹣3表示的点与数a表示的点重合， 根据题意得：1﹣（﹣3）＝x﹣1， 解得：x＝5， ∴﹣3表示的点与数5表示的点重合． 故答案为：5； ②设点M表示的数是m，则点N表示的数是m+2026， 根据题意得：1﹣m＝m+2026﹣1， 解得：m＝﹣1012， ∴m+2026＝﹣1012+2026＝1014． 答：点M表示的数是﹣1012，点N表示的数是1014． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 20．（2024-2025•银川期末）综合与实践 如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣8，点B表示的数为2．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t＝3时，求此时点P表示的数； （2）当t＝7时，数轴上有一点M，沿着点M折叠，点P与点A刚好重合，求点M表示的数； （3）点C为线段AB的中点，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，若点P、Q同时出发，求当点P与点Q相遇时，t的值． 【答案】（1）﹣2； （2）﹣1； （3）． 【分析】（1）先求出点P表示的数为﹣8+2t，再把t＝3代入计算即可； （2）先求得AP＝2t＝14，再根据折叠得出点M是AP的中点，从而求得，进而可点M表示的数； （3）先求出，再根据相遇问题，列关于t的方程求解即可． 【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣8，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动， ∴点P表示的数为﹣8+2t， 当t＝3时，﹣8+2t＝﹣8+2×3＝﹣2， ∴当t＝3时，点P表示的数为﹣2； （2）当t＝7时，AP＝2t＝2×7＝14， ∵沿着点M折叠，点P与点A刚好重合， ∴点M为AP的中点， ∴ ∴点M表示的数为：﹣8+7＝﹣1； （3）∵点A表示的数为﹣8，点B表示的数为2． ∴AB＝2﹣（﹣8）＝10． ∵点C为线段AB的中点， ∴． ∴2t+t＝5． ∴． ∴当点P与点Q相遇时，t的值为． 【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用与数轴上两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键． 六．【题型6】动点的折返与往返运动问题（共4小题） 21．（2024-2025•浙江期中）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣10，﹣4，4，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为x秒． （1）当x＝3时，点P到点A的距离PA为 　3　 ；此时点P所表示的数为 　﹣7　 ； （2）当点P运动到B点时，点Q同时从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后停止运动，则点Q出发5秒时与P点之间的距离QP＝ 　1　 ； （3）当点P运动到B点时，点Q同时从A点出发，以每秒2个单位的速度在AC之间来回运动，当点Q第一次返回点A前，点Q移动几秒时恰好与点P之间的距离为2个单位． 【答案】（1）3，﹣7； （2）1； （3）4或8秒． 【分析】（1）利用PA的长＝点P的运动速度×点P的运动时间，可求出PA的长，再利用点P表示的数＝点A表示的数+PA的长，可求出点P表示的数； （2）当点Q出发5秒时，点P表示的数为1，点Q表示的数为0，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出QP的长； （3）设点Q的运动时间为t秒，分0＜t≤7及7＜t＜14两种情况考虑，当0＜t≤7时，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为﹣10+2t，根据PQ＝2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；当7＜t＜14时，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为4﹣2（t﹣7）＝18﹣2t，根据PQ＝2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：当x＝3时，点P到点A的距离PA为1×3＝3， 此时点P表示的数为﹣10+3＝﹣7． 故答案为：3，﹣7； （2）当点Q出发5秒时，点P表示的数为﹣4+1×5＝1，点Q表示的数为﹣10+2×5＝0， ∴QP＝|1﹣0|＝1． 故答案为：1； （3）|﹣10﹣4|÷2＝7（秒），7×2＝14（秒）． 设点Q的运动时间为t秒， 当0＜t≤7时，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为﹣10+2t， 根据题意得：|﹣4+t﹣（﹣10+2t）|＝2， 即6﹣t＝2或t﹣6＝2， 解得：t＝4或t＝8（不符合题意，舍去）； 当7＜t＜14时，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为4﹣2（t﹣7）＝18﹣2t， 根据题意得：|﹣4+t﹣（18﹣2t）|＝2， 即22﹣3t＝2或3t﹣22＝2， 解得：t（不符合题意，舍去）或t＝8． 答：点Q移动4或8秒时恰好与点P之间的距离为2个单位． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 22．（2024-2025•盐城月考）【定义新知】在数轴上点M和点N表示的数为m、n，则可以用绝对值表示点M和点N之间的距离d（M，N），即d（M，N）＝|m﹣n|．若d（M，N）＝0，则点M与点N重合． 【初步应用】 （1）在数轴上，点A、B、C分别表示的数为﹣2、1、x，解答下列问题： ①d（A，B）＝　3　 ； ②若d（A，C）＝3，则x的值为　1或﹣5　 ； ③若d（A，C）+d（B，C）＝d（A，B），且x为负整数，则x的值为　﹣1或﹣2　 ． 【综合应用】 （2）在数轴上，点D、E、F分别表示数﹣3、5、12，动点P沿数轴以每秒3个单位长度从点D开始向点F运动，到达F点后立刻原速返回到D点；同时，动点Q沿数轴以每秒1个单位长度从点E开始向点F运动，到达F点后停止．设点P的运动时间为t秒，在整个运动过程中，若，求t的值． 【答案】（1）①3；②0或﹣5；③﹣2或﹣1； （2）t的值为2或． 【分析】（1）①由两点距离公式可求解；②由两点距离公式可求解；③由两点距离公式可求解； （2）先求出，再分“当0≤t≤5时”，“当5＜t≤7时”，“当7＜t≤10时”三种情况，列出方程即可求解． 【解答】解：（1）①由题意得：|﹣2﹣1|＝3； ②由题意列一元一次方程得：|﹣2﹣x|＝3，即|2+x|＝3， ∴x＝1或﹣5； ③由题意得：|﹣2﹣x|+|1﹣x|＝|﹣2﹣1|，即|2+x|+|1﹣x|＝3， ∵x为负整数， ∴1﹣x≥0， 当x＝﹣1时，有|2+x|+|1﹣x|＝|2﹣1|+|1﹣（﹣1）|＝3， 当|x|＜2时，2+x＞0， ∴2+x+1﹣x＝3，此方程无解； 当|x|＞2时，2+x＞0， ∴根据列一元一次方程得，﹣2﹣x+1﹣x＝3， 整理得，2x＝﹣4， 解得，x＝﹣2， 故答案为：3，1或﹣5，﹣1或﹣2； （2）点D、E、F分别表示数﹣3、5、12，d（D，E）＝|﹣3﹣5|＝8， ∴， ∴P从点D运动到E的时间为（12+3）÷3＝5（秒）， ∴当0≤t≤5时，P表示的数为﹣3+3t，Q表示的数为5+t， 则d（P，Q）＝|﹣3+3t﹣5﹣t|＝|2t﹣8|＝4， ∴当2t﹣8＝4时，t＝6（舍去）； 当8﹣2t＝4时，t＝2； 当5＜t≤7时，这时P表示的数为12﹣3（t﹣5），Q表示的数为5+t， ∴d（P，Q）＝|12﹣3（t﹣5）﹣5﹣t|， ∴根据题意列一元一次方程得，|22﹣4t|＝4， ∴当22﹣4t＝4时， 解得（不符合题意，舍去）； 当22﹣4t＝﹣4时， 整理得，4t＝26， 解得， 当7＜t≤10时，这时Q表示的数为12，P表示的数为12﹣3（t﹣5）＝27﹣3t， d（P，Q）＝|（27﹣3t）﹣12|＞4，不存在． 综上，t的值为2或． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值，由数轴上两点的距离公式列出一元一次方程是解题的关键，注意分类讨论． 23．（2024-2025•南部县校级月考）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． （1）当t＝0.5时，求点Q到原点O的距离； （2）当t＝2.5时，求点Q到原点O的距离； （3）当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】（1）6； （2）2； （3）6或10或22． 【分析】（1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点Q在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为4，返回经过点A后，与点A的距离为4，再计算时间，即可得到点P运动的路程，即可解答． 【解答】解：（1）∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当t＝0.5时，AQ＝4t＝4×0.5＝2， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴OA＝8， ∴OQ＝OA﹣AQ＝8﹣2＝6， ∴当t＝0.5时，点Q到原点O的距离为6； （2）∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当t＝2.5时，点Q运动的距离为4t＝4×2.5＝10， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴OA＝8， ∴OQ＝10﹣8＝2， ∴当t＝2.5时，点Q到原点O的距离为2； （3）当点Q到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点Q向右运动时且还没经过点A时， ∵AQ＝4， ∴QO＝8﹣4＝8， 运动时间为t＝（OA+OQ）÷4＝（8+4）÷4＝3（秒）， ∴OP＝2×3＝6； ∴PQ＝6+4＝10； ②点Q向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴OA＝8， ∵AQ＝4， ∴QO＝8﹣4＝8 运动时间为t＝4÷4＝1（秒）， ∴OP＝2×1＝2； ∴PQ＝4+2＝6； ③点Q向右运动时且经过点A后， ∵AQ＝4， ∴QO＝OA+AQ＝8+4＝12， 运动时间为t＝（OA+OQ）÷4＝（8+12）÷4＝5（秒）， ∴OP＝2×5＝10； ∴PQ＝10+12＝22； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． 24．（2024-2025•安康期末）如图，直线l上有A，B两点，AB＝15cm，点O是线段AB上一点，OA＝2OB． （1）OA＝　10　 cm，OB＝　5　 cm； （2）若点P以2cm/s的速度从点A出发沿直线l向右运动，同时，点Q以1cm/s的速度从点B出发沿直线l也向右运动，设运动时间为ts，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动． ①当t为何值时，2OP﹣OQ＝4； ②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也沿直线l向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以3cm/s的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以3cm/s的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止运动时，点M也停止运动，在此过程中，点M行驶的总路程是多少？ 【答案】（1）10，5； （2）①或；②30cm． 【分析】（1）由于AB＝15cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，则OA+OB＝3OB＝AB＝15cm，依此即可求解； （2）①分P在线段AO上和P在线段AO的延长线上时，两种情况讨论求解即可； ②求出点P经过点O到点P，Q停止时的时间，再根据路程＝速度×时间即可求解． 【解答】解：（1）∵AB＝15cm，OA＝2OB， ∴AB＝AO+OB＝3OB＝15cm， ∴OB＝5cm， ∴OA＝2OB＝10cm； 故答案为：10，5； （2）①由题意，得：AP＝2t，BQ＝t，则：OQ＝OB+BQ＝5+t， 当P在线段AO上时，OP＝OA﹣AP＝10﹣2t， 由题意列一元一次方程得：2（10﹣2t）﹣（5+t）＝4， 解得， 当P在线段AO的延长线上时，OP＝AP﹣OA＝2t﹣10， 由题意列一元一次方程得：2（2t﹣10）﹣（5+t）＝4， 整理得，3t＝29， 解得； 综上所述，或； ②∵AO＝10， ∴点P运动到O点时，，此时PQ两点的间的距离为：BO+OQ＝5+5×1＝5+5＝10（cm）， 当点P与点Q重合时，所需时间为：10÷（2﹣1）＝10÷1＝10（秒）， ∴点M行驶的总路程是3×10＝30cm． 【点评】本题考查线段的和与差，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 七．【题型7】动点的挡板问题（共4小题） 25．（2024-2025•江岸区校级月考）O为原点，点A、B、C在数轴上的位置如图所示，AO＝BC＝5，OB＝10，在C点处有一挡板．D、E为数轴上两动点，动点D从A点出发，以3个单位/秒的速度沿BA方向运动；同时，动点E从B点出发，以2个单位/秒的速度沿BC方向运动，碰到挡板后以原速的2倍反向运动，设运动的时间为t秒． （1）A点对应的数为　﹣5　 ；B点对应的数为　10　 ；C点对应的数为　15　 ； （2）若DE＝19，求t的值； （3）M为CE的中点，N为BD中点，当时，若4MC+k•MN的值与t无关，求k的值． 【答案】（1）﹣5；10；15； （2）或11或49； （3）． 【分析】（1）根据AO＝BC＝5，OB＝10以及数轴位置即可解答； （2）根据题意得出动点D对应的数为﹣5﹣3t，当0≤t≤2.5时，动点E对应的数为10+2t，当t＞2.5时，动点E对应的数为25﹣4t，若DE＝19，分为当0≤t≤2.5时，当t＞2.5时，分别列方程求解即可． （3）写出，动点E对应的数，动点M对应的数，动点N对应的数，从而表示出4MC+k•MN，结合4MC+k•MN的值与t无关，列出方程求解即可． 【解答】解：（1）∵AO＝BC＝5，OB＝10， ∴OC＝15， 则A点对应的数为﹣5；B点对应的数为10；C点对应的数为15； 故答案为：﹣5，10，15； （2）∵动点D从A点出发，以3个单位/秒的速度沿BA方向运动， ∴动点D对应的数为﹣5﹣3t， 5÷2＝2.5（秒）， ∵动点E从B点出发，以2个单位/秒的速度沿BC方向运动，碰到挡板后以原速的2倍反向运动， ∴当0≤t≤2.5时，动点E对应的数为10+2t， 当t＞2.5时，动点E对应的数为15﹣4（t﹣2.5）＝25﹣4t， 若DE＝19，当0≤t≤2.5时，则10+2t﹣（﹣5﹣3t）＝19， 解得：； 当t＞2.5时，则|25﹣4t﹣（﹣5﹣3t）|＝19， 解得：t＝11或t＝49； 综上，或11或49； （3）∵M为CE的中点，N为BD中点，， 则动点E对应的数为10+2t，动点M对应的数为，动点N对应的数为， ∴4MC+k•MN ， ∵4MC+k•MN的值与t无关， ∴， 解得：． 【点评】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上两点之间的距离以及数轴上的动点，一元一次方程，整式无关项问题等知识点，解题的关键是理解题意，掌握题中的等量关系，分时间段进行讨论求解即可． 26．（2024-2025•荔湾区期末）在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B，C表示的数分别为﹣10，0，12，28． （1）点P在数轴上表示的数为x，若点P为线段AB上的一个动点，求|x+10|+|x﹣12|的值． （2）如图，在数轴的原点O处放置了一台粒子加速器，当粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的3倍．在C处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即反弹，速度不变．甲粒子从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动．同时，乙粒子从B点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t． ①当甲、乙两粒子第一次相遇时，相遇点表示的数为 　14.4　 ． ②当甲、乙两粒子距离为4时，求t的值． 【答案】（1）22； （2）①14.4；②7或7.8或或． 【分析】（1）根据绝对值的定义可知|x+10|＝AP，|x﹣12|＝BP，所以|x+10|+|x﹣12|＝AP+BP＝AB＝12﹣（﹣10）＝22； （2）①由题易知第一次相遇应为甲穿过了O，乙从C反弹后相遇，进而得出S甲+S乙＝AM+BC+CM＝AC+BC，再分别用t表示出S甲和S乙，再建立方程求解即可； ②由题意可知分当甲粒子未到达点C处时，甲乙粒子相遇前后会有距离为4的情况，当甲粒子到达点C开始反弹时，则此时甲粒子开始追乙粒子，追上前后会有距离为4的情况，再建立方程求解即可． 【解答】解：（1）由题可知|x+10|＝AP，|x﹣12|＝BP， ∵P在线段AB上， ∴|x+10|+|x﹣12|＝AP+BP＝AB＝12﹣（﹣10）＝22， 即|x+10|+|x﹣12|的值为22； （2）①第一次相遇应为甲穿过了O，乙从C反弹后相遇，假设相遇点为M， 此时，S甲+S乙＝AM+BC+CM＝AC+BC， ∵S乙＝4t，S甲＝10+2×3（t）＝6t﹣20， ∴6t﹣20+4t＝38+16， 解得t＝7.4， 此时相遇点为：2×3（t﹣5）＝14.4； ②当甲粒子未到达点C处时， 1°当第一次相遇前，甲、乙两粒子距离为4时， S甲+S乙+4＝AC+BC， ∴6t﹣20+4t+4＝38+16， 解得t＝7； 2°当第一次相遇后，甲、乙两粒子距离为4时， S甲+S乙﹣4＝AC+BC， ∴6t﹣20+4t﹣4＝38+16， 解得t＝7.8； 当甲粒子从C处反弹开始追乙粒子， ∵甲粒子运动到点C时，6t﹣20＝38， 解得t， 甲从C到点O的时间为， 此时乙粒子穿过了点O，速度变成3×4＝12个单位/秒， 所以甲乙粒子距离为4时，甲粒子再次反弹过程中穿过了O， 此时S甲＝10+28+28+2×3×3（t）＝18t﹣192， S乙＝16+28+4×3（t﹣11）＝12t﹣88， 3°未追上前，甲、乙两粒子距离为4时， S甲﹣AC+4＝S乙﹣BC， ∴18t﹣192﹣38+4＝12t﹣88﹣16， 解得t； 4°追上后，甲、乙两粒子距离为4时， S甲﹣AC﹣4＝S乙﹣BC， ∴18t﹣192﹣38﹣4＝12t﹣88﹣16， 解得t； 综上，t的值为7或7.8或或． 【点评】本题主要考查了利用一元一次方程解决数轴动点问题等内容，根据临界值分类讨论是解题的关键． 27．我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a，点B表示数b，线段AB的长表示为AB．当点C为线段AB中点时，即AC＝BC时，点C表示的数为．请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的点A表示数﹣2，点B表示数5．若在原点O处放一挡板，一动点P从点A处以2个单位长度/秒的速度向左运动；同时另一个动点Q从点B处以3个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到点B后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为t秒． （1）动点P表示的数为　﹣2﹣2t ；当时，动点Q表示的数为　5﹣3t ；当时，动点Q表示的数为　3t﹣5　 ．（用含t的代数式表示） （2）当O是线段PQ中点时，求时间t的值． （3）分别取OB和AQ的中点E，F． ①当EF＝2时，求时间t的值； ②试判断是否存在常数m，使得AB﹣OQ+mEF的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）﹣2﹣2t，5﹣3t，3t﹣5； （2）； （3）①或；②存在，m＝﹣2； 【分析】（1）根据两点间的距离公式结合数轴上的动点，左移减，右移加，列出代数式即可； （2）分和两种情况，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，根据AB﹣OQ+mEF的值是定值，得到整式的值与t的值无关，进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意，点P表示的数为：﹣2﹣2t， 当时，动点Q表示的数为5﹣3t， 当时，动点Q表示的数为3t﹣5； 故答案为：﹣2﹣2t，5﹣3t，3t﹣5； （2）①当时，则， 解得t； ②当时，则， 解得t＝7（舍去）； 综上所述，； （3）①由题意可知，点E表示的数为：， 当时，点F表示的数为：， 则， 解得t或t＝﹣2（舍去）； 当时，点F表示的数为：， 则， 解得t或t（舍去）； 综上所述，t或t； ②存在， 由题意可知，AB＝5﹣（﹣2）＝7， 当时，OQ＝5﹣3t，EF＝||＝||， ∴， ∴当m＝﹣2时，AB﹣OQ+mEF＝7+3t﹣5﹣3t﹣2＝0为定值； 当，OQ＝3t﹣5，， ∴， ∴当m＝﹣2时，AB﹣OQ+mEF＝7+5﹣3t+3t﹣10＝2为定值； 综上所述：当m＝﹣2时，AB﹣OQ+mEF的值是定值． 【点评】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题． 28．（2024-2025•巴彦县校级月考）如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，点A与点B之间的距离是40个单位长度，且|a|＝3|b|． （1）a＝ 　﹣30　 ，b＝ 　10　 ； （2）动点P、Q分别从点A、B两点同时出发，分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，设两点运动时间为t秒，求P、Q两点之间的距离（用含t的代数式表示）； （3）如图2，在（2）的条件下，当t＝5时点P、Q停止运动，在数轴上的点P和点Q处各竖立一个挡板，数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，当弹珠遇到挡板后立即以原速度向相反方向运动，若甲、乙两个弹珠在各自遇到挡板返回后，在其中一个弹珠第二次遇到挡板时两个弹珠停止运动，如果甲、乙两个弹珠首次返回过程中的距离为10个单位长度，求出此时甲、乙两个弹珠运动的时间是多少秒？ 【答案】（1）﹣30，10； （2）当t≤40s时，40﹣t；当t＞40s时，﹣40+t； （3）t＝15.4s． 【分析】（1）根据已知关系列方程求解； （2）用含t的代数式表示P点和Q点的位置进行计算； （3）求出P点和Q点的位置，再列方程进行计算． 【解答】解：（1）由已知点A与点B之间的距离是40个单位长度，且|a|＝3|b|，则可得方程： |b|+3|b|＝40， 解得：|b|＝10，故|a|＝30， 根据A点和B点在数轴上的位置可知： a＝﹣30，b＝10， 故答案为：﹣30，10． （2）当t≤40s时， P点所表示的数字为：﹣30+3t，Q点所表示的数字为：10+2t， P、Q两点之间的距离为：10+2t﹣（﹣30+3t）＝40﹣t； 当t＞40s时，P点所表示的数字为：﹣30+3t，Q点所表示的数字为：10+2t， P、Q两点之间的距离为：﹣30+3t﹣（10+2t）＝﹣40+t． （3）当t＝5时，P点的位置为：﹣30+3×5＝﹣15，Q点的位置为：10+2×2＝14， 则P点，Q点之间的距离为14﹣（﹣15）＝29， 根据甲、乙两个弹珠首次返回过程中的距离为10个单位长度可列方程： 29﹣[（3t﹣29）+（2t﹣29）]＝10， 解得t＝15.4． 故此时甲、乙两个弹珠运动的时间是15.4s． 【点评】本题考查数轴相关问题，利用方程思想是解题关键． 八．【题型9】动点与动态定值问题（共4小题） 29．（2024-2025•孝南区期末）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位长度/秒的速度沿射线AB运动，M为AP中点． （1）当点P在线段AB上运动时， ①出发多少秒后，PB＝2AM？ ②试说明2MB﹣BP为定值； （2）当点P在线段AB延长线上运动时，设N为BP的中点，有下列两个结论：①MN长度不变；②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． 【答案】（1）①出发6秒后，PB＝2AM； 设AM＝x，则MB＝AB﹣AM＝24﹣x，PB＝AB﹣AP＝24﹣2x， ∴2MB﹣BP＝2（24﹣x）﹣（24﹣2x）＝48﹣2x﹣24+2x＝24 所以2BM﹣BP为定值． （2）①MN长度不变，MN＝12． 【分析】（1）①出发x秒后PB＝2AM，则AP＝2x，PB＝AB﹣AP＝24﹣2x，AM＝x，建立方程，求出x的值即可．②设AM＝x，则MB＝AB﹣AM＝24﹣x，PB＝AB﹣AP＝24﹣2x，表示出2BM﹣BP后，化简即可得出结论． （2）设PA＝2x，则AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，，分别表示出MN，MN+PN的长度，即可作出判断． 【解答】解：（1）①设出发x秒后PB＝2AM， 则AP＝2x，PB＝AB﹣AP＝24﹣2x， ∵M为AP中点， ∴AM＝PM＝x ∵PB＝2AM， ∴根据题意列一元一次方程得，24﹣2x＝2x， 整理得，4x＝24， 解得x＝6， ∴出发6秒后，PB＝2AM； ②设AM＝x，则MB＝AB﹣AM＝24﹣x，PB＝AB﹣AP＝24﹣2x， ∴2MB﹣BP＝2（24﹣x）﹣（24﹣2x）＝48﹣2x﹣24+2x＝24 所以2BM﹣BP为定值． （2）①MN长度不变，MN＝12； 理由：如图 设AP＝2x， ∵M为AP中点， ∴AM＝PM＝x，BP＝AP﹣AB＝2x﹣24， ∵N为BP的中点， ∴PN＝x﹣12 ∴①MN＝PM﹣PN＝x﹣（x﹣12）＝12，12为定值，所以MN长度不变； ②MN+PN＝x+x﹣12＝2x﹣12，长度变化； 所以①MN长度不变，MN＝12． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，直线、射线、线段，两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． 30．（2024-2025•西山区校级月考）如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）A、C两点之间的距离为　28　 ，P、Q两点相遇时，t＝　　 ； （2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等； （3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，判断2CN﹣PC是否为定值． 【答案】（1）28，； （2）3或； （3）在点P到达点C之前，2CN﹣PC是定值． 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式，即可求出A，C两点之间的距离；当运动时间为t秒时，点P表示的数是﹣10+2t，点Q表示的数是18﹣t，根据P、Q两点相遇时两点表示的数相同，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值； （2）当运动时间为t（0＜t＜7）秒时，点P表示的数是﹣10+2t，点Q表示的数是18﹣t，根据PO＝BQ，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为t（0＜t＜14）秒时，点P表示的数是﹣10+2t，点Q表示的数是18﹣t，由N是AP的中点，可得出点N表示的数是﹣10+t，利用数轴上两点间的距离公式，可得出CN＝28﹣t，PC＝28﹣2t，再将其代入2CN﹣PC中，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点A表示﹣10，点C表示18， ∴A，C两点之间的距离为|﹣10﹣18|＝28． 当运动时间为t秒时，点P表示的数是﹣10+2t，点Q表示的数是18﹣t， 根据题意得：﹣10+2t＝18﹣t， 解得：t， ∴P，Q两点相遇时，t． 故答案为：28，； （2）（18﹣11）÷1＝7（秒）． 当运动时间为t（0＜t＜7）秒时，点P表示的数是﹣10+2t，点Q表示的数是18﹣t， 根据题意得：|﹣10+2t﹣0|＝18﹣t﹣11， 即10﹣2t＝7﹣t或2t﹣10＝7﹣t， 解得：t＝3或t． 答：t为3或时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等； （3）28÷2＝14（秒）． 当运动时间为t（0＜t＜14）秒时，点P表示的数是﹣10+2t，点Q表示的数是18﹣t， ∵N是AP的中点， ∴点N表示的数是10+t， ∴CN＝18﹣（﹣10+t）＝28﹣t，PC＝18﹣（﹣10+2t）＝28﹣2t， ∴2CN﹣PC＝2（28﹣t）﹣（28﹣2t）＝28． 答：在点P到达点C之前，2CN﹣PC是定值． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 31．（2024-2025•高唐县期末）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，且a是多项式﹣5x2﹣6x﹣15的二次项系数． （1）求a，b； （2）数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． （3）在（2）的条件下，点P、Q相遇之前，4PQ+PA是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）a＝﹣5，b＝5； （2）35； （3）是定值，40． 【分析】（1）根据多项式的定义即可求出a的值，再由相反数的定义即可求出b的值； （2）设运动了t秒，点P追上点Q，根据题意列出方程4t﹣3t＝10，然后求解即可； （3）设运动时间为t秒，则t＜10，由题知P对应的数为﹣5+4t，Q对应的数为3t+5，则PA＝4t，PQ＝10﹣t，然后代入4PQ+PA即可求解． 【解答】解：（1）因为a是多项式﹣5x2﹣6x﹣15的二次项系数， 所以a＝﹣5， 因为a，b互为相反数， 所以b＝5； （2）设运动了t秒，点P追上点Q，则4t﹣3t＝10， 解得t＝10， 所以C点表示的有理数c为5+3×10＝35； （3）4PQ+PA为定值，理由， 设运动时间为t秒，则t＜10， 由题知P对应的数为﹣5+4t，Q对应的数为3t+5， 所以PA＝4t，PQ＝10﹣t， 所以4PQ+PA＝4（10﹣t）+4t＝40， 所以4PQ+PA为定值40． 【点评】本题考查了数轴，相反数，一元一次方程的应用，整式的加减，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． 32．（2024-2025•金平区校级期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若已知a＞b，则AB＝a﹣b．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣18，﹣8，+8，A到C的距离可以用AC表示，计算方法：AC＝|（﹣18）﹣（+8）|＝26或AC＝（+8）﹣（﹣18）＝26． （1）填空：AB＝　10　 ，BC＝　16　 ． 【构建联系】（2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是　﹣8+t ，点Q表示的数是　﹣18+3t ；（用含t的代数式表示） ②求P、Q两点间的距离PQ（用含t的代数式表示）． 【深入探究】（3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且CD﹣3AD的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 【答案】（1）10，16； （2）①﹣8+t，﹣18+3t；②|﹣10+2t|； （3）点D向左运动，m的值为． 【分析】（1）利用数轴上两点间距离公式求解； （2）①根据点P，Q的运动方向及速度列代数式；②根据数轴上两点间距离公式求解； （3）分点D向左、向右运动两种情况，列代式数表示出CD﹣3AD，由CD﹣3AD为定值得t的系数为0，即可求出m的值． 【解答】解：（1）AB＝﹣8﹣（﹣18）＝﹣8+18＝10，BC＝8﹣（﹣8）＝8+8＝16， 故答案为：10，16； （2）①由点P，Q的运动方向及速度可得：运动过程中点P表示的数是﹣8+t，点Q表示的数是﹣18+3t， 故答案为：﹣8+t，﹣18+3t； ②PQ＝|﹣18+3t﹣（﹣8+t）|＝|﹣10+2t|； （3）由题意知，运动过程中点A表示的数为：﹣18﹣3t，点C表示的数为：8+2t， 根据题意，分两种情况讨论： 当点D向左运动时，点D表示的数是﹣mt， CD﹣3AD＝[8+2t﹣（﹣mt）]﹣3[﹣mt﹣（﹣18﹣3t）] ＝8+2t+mt+3mt﹣54﹣9t ＝﹣46+（4m﹣7）t， 由CD﹣3AD的值始终是一个定值，得一元一次方程：4m﹣7＝0， 整理得，4m＝7， 解得； 当点D向右运动时，点D表示的数是mt， CD﹣3AD＝（8+2t﹣mt）﹣3[mt﹣（﹣18﹣3t）] ＝8+2t﹣mt﹣3mt﹣54﹣9t ＝﹣46+（﹣4m﹣7）t， 由CD﹣3AD的值始终是一个定值，得一元一次方程：﹣4m﹣7＝0， 整理得，4m＝﹣7， 解得，不合题意，舍去； 综上可知，点D向左运动，m的值为． 【点评】本题考查数轴，两点间的距离，列代数式，整式的加减，一元一次方程的应用，由CD﹣3AD为定值得出t的系数为0是解题的关键． 九．【题型8】动点与变速运动问题（共4小题） 33．（2024-2025•源汇区校级月考）已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a，b满足（a+10）2+|b﹣10|＝0．动点M从点A出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1单位/秒的速度向左运动．线段OB为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点M到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． （1）a＝　﹣10　 ，b＝　10　 ，AC＝　28　 ； （2）动点M从点A运动至点C时，求t的值； （3）M、N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数． 【答案】（1）﹣10，10，28； （2）19； （3）． 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性计算即可求出a和b的值，再根据两点间的距离公式即可求出AC的长度； （2）分别求出AO，BO和BC的距离，再根据“时间＝路程÷速度”计算即可得出答案； （3）设P点在数轴上所对应的数为y，根据题意列出方程，解方程即可得出答案． 【解答】解：（1）∵（a+10）2+|b﹣10|＝0， ∴a＝﹣10，b＝10， ∴AC＝18﹣（﹣10）＝28． 故答案为：﹣10，10，28； （2）∵a＝10，b＝10，c＝18， ∴AO＝10，BO＝10，BC＝18﹣10＝8， ∵19（s）， ∴动点M从点A运动至点C时，t的值为19s； （3）设M、N两点在P点相遇，P点在数轴上所对应的数为y， ∵N运动到B时需8÷1＝8秒，此时M表示的数为（8）×1＝3， ∴点P落在线段OB段， 根据题意得：， 解得：， ∴M、N两点相遇时，相遇点P在数轴上所对应的数为． 【点评】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键． 34．（2024-2025•宿迁月考）如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足（a+12）2+|b﹣8|＝0，点C到原点距离是点B到原点距离的2倍． （1）填空：a＝　﹣12　 ，b＝　8　 ，c＝　16　 ； （2）如图1，若点A、B、C分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和m（m＞4）个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD． ①t为何值时，AD＝3BD？ ②若的值始终保持不变，求m的值： （3）如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为　　 ． 【答案】（1）﹣12，8，16； （2）①t＝12，②m＝6； （3）． 【分析】（1）由（a+12）2+|b﹣8|＝0可得：a+12＝0，b﹣8＝0，从而可求出a、b，再根据点C到原点距离是点B到原点距离的2倍，可求出c； （2）①把AD，BD用含有t的式子表达，根据AD＝3BD列出关于t的方程即可求解； ②先把AB、AC的长度分别用含有t的式子表达，然后再用含有t的式子表达出，由的值始终保持不变，可令t＝0，t＝1分别得出的值，最后列出关于m的一元一次方程即可求解； （3）先由题意分别计算Q点运动到点C、B、O三点时的t值，再分类讨论在CD、BC、OB上相遇的t值是否符合题意即可． 【解答】解：（1）∵（a+12）2+|b﹣8|＝0， ∴a+12＝0，b﹣8＝0， 解得a＝﹣12，b＝8， ∵点C到原点距离是点B到原点距离的2倍，OB＝8， ∴OC＝2OB＝2×8＝16， ∴c＝16， 故答案为：﹣12，8，16； （2）①由（1）可知，a＝﹣12，b＝8，c＝16， ∴点A向左平移对应的点的数是（﹣12﹣4t），点B向左平移对应的点的数是（8﹣t），点C向左平移对应的点的数是（16﹣mt）， ∴AD＝24﹣（﹣12﹣4t）＝36+4t，BD＝24﹣（8﹣t）＝16+t， ∵AD＝3BD， ∴36+4t＝3（16+t）， ∴t＝12； ②已知点A以每秒4个单位长度向左运动，B以每秒1个单位长度向左运动，C以每秒m（m＞4）个单位长度向左运动， ∵AB＝（8﹣t）﹣（﹣12﹣4t）＝20+3t，AC＝|（16﹣mt）﹣（﹣12﹣4t）|＝|28﹣（m﹣4）t|， ∴ABAC＝20+3t|（m﹣4）t﹣28|， 第一种情况：当（m﹣4）t＜28时，ABAC＝20+3t|（m﹣4）t﹣28|mt﹣3t﹣22， 令t＝0时，ABAC＝﹣22； 令t＝1时，ABACm﹣25； ∵ABAC的值始终保持不变， ∴m﹣25＝﹣22， 解得，m＝2； ∵m＞4， ∴m＝2不符合题意，舍去， 第二种情况：当（m﹣4）t≥28时，ABAC＝20+3t[（m﹣4）t﹣28]＝62+9tmt， 令t＝0时，ABAC＝62； 令t＝1时，ABAC＝71m； ∵ABAC的值始终保持不变， ∴71m＝62， ∴m＝6； （3）点A表示的数为﹣12，以每秒3个单位长度的速度沿正方向运动至点D， ∴移动后的数表示为：（﹣12+3t），当点A移动至点D时，AD＝24﹣（﹣12）＝36， ∴t＝16（s）， 根据题意可知CD＝8、BC＝8、OB＝8， ∴当Q点运动到点C时，t2；运动到点B时，t6，运动到点O时，t7， ①P点、Q点在CD上相遇， 则3t+4t＝36，t， ∵2， ∴t不符合题意； ②P点、Q点在BC上相遇， 则3t+2（t﹣2）+8＝36， ∴t， ∵6， ∴t不符合题意； ③P点、Q点在OB上相遇， 则3t+16+8（t﹣6）＝36，t， ∵7，符合题意， ∴点M表示的数为：﹣12+3t＝﹣12+3， ∴点M表示的数为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次方程，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 35．（2025•大渡口区校级开学）如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足（a+12）2+|b﹣8|＝0，OC＝2OB． （1）填空：a＝　﹣12　 ，b＝　8　 ，c＝　16　 ； （2）如图1，若点A、B分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD．问：当t为何值时，A、B之间的距离为2？ （3）如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为 　　 ． 【答案】（1）﹣12，8，16； （2）6或； （3）． 【分析】（1）分别利用偶次方和绝对值的非负性质，求出a和b，再由OC与OB的数量关系求出c； （2）分别用含t的代数式表示出点A和B对应的数，再由A、B之间的距离列绝对值方程并求解即可； （3）分别求出点Q在DC、CB、BO、OA上的速度，并将对应的数用含t的代数式表示出来，并标明t的取值范围；根据P、Q两点相遇时，点P和Q表示的数相同，建立方程并求解，求出此时点M表示的数即可． 【解答】解：（1）∵（a+12）2+|b﹣8|＝0， ∴a+12＝0，b﹣8＝0， ∴a＝﹣12，b＝8， ∵OC＝2OB，即c＝2b， ∴c＝16． 故答案为：﹣12，8，16． （2）∵经过t秒后，点A对应的数为4t﹣12，点B对应的数为t+8， ∴AB＝|4t﹣12﹣（t+8）|＝|3t﹣20|， 当AB＝2时，得|3t﹣20|＝2，即20﹣3t＝2或3t﹣20＝2， 解得t＝6或， ∴当t为6或时，A、B之间的距离为2． （3）点P在数轴上对应的数为3t﹣12（0≤t≤12）； 当点Q在DC上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为﹣4t+24（0≤t＜2）； 当点Q在CB上时，速度为每秒8个单位长度，对应的数为﹣8（t﹣2）+16＝﹣8t+32（2≤t＜3）； 当点Q在BO上时，速度为每秒2个单位长度，对应的数为﹣2（t﹣3）+8＝﹣2t+14（3≤t＜7）； 当点Q在OA上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为﹣4（t﹣7）＝﹣4t+28（t≥7）． ①当点M在DC上时，得3t﹣12＝﹣4t+24，解得t（不符合题意，舍去）； ②当点M在CB上时，得3t﹣12＝﹣8t+32，解得t＝4（不符合题意，舍去）； ③当点M在BO上时，得3t﹣12＝﹣2t+14，解得t； ④当点M在OA上时，得3t﹣12＝﹣4t+28，解得t（不符合题意，舍去）； ∴当t时，P、Q两点在点M处相遇，此时点M表示的数为312． 故答案为：． 【点评】本题考查数轴、一元一次方程的应用及绝对值和偶次方的非负性质，利用绝对值和偶次方的非负性质求出a和b是本题的关键． 36．（2024-2025•常州期中）已知数轴上A，B，C三点，若点C在点A，B之间且CA＝3CB，则称点C是{A，B}的和谐点．例如，图1中，点A，B，C，D表示的数分别为﹣3，1，0，﹣2，此时CA＝3CB，DB＝3DA，则点C是{A，B}的和谐点，点D是{B，A}的和谐点． （1）如图2，数轴上点M，N表示的数分别为﹣3，5，若点P是{M，N}的和谐点，则点P表示的数是 　3　 ；若点Q是{N，M}的和谐点，则点Q表示的数是 　﹣1　 ； （2）已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a，b，c，d，且a、b满足|a+24|+（b+6）2＝0，点C在点B的右侧且到点B的距离为12个单位长度，点D表示的数是18；动点P从点A出发以6单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以3个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为t秒． ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 　12t﹣42（3＜t≤4）　 ，从C运动到B的过程中，点Q表示的数是 　12t（4＜t≤12）　 ；（用含t的代数式表示） ②求使得点C是{P，Q}的和谐点的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3；﹣1； （2）①12t﹣42（3＜t≤4）；12t（4＜t≤12）； ②t的值为2或16秒． 【分析】（1）根据点P是{M，N}的和谐点，得PM＝3PN，设点P所表示的数为p，则PM＝p+3，PN＝5﹣p，由此得p+3＝3（5﹣p），据此解出p即可；根据点Q是{N，M}的和谐点，得QN＝3QM，设点Q所表示的数为q，则QN＝5﹣q，QM＝q+3，由此得5﹣q＝3（q+3），据此解出q即可； （2）先由非负数的性质得a＝﹣24，b＝﹣6，进而得点A所表示的数为﹣24，点B所表示的数为﹣6，点C所表示的数为6． ①依题意得点P从点A运动到点B所用的时间为3秒，点P从点B运动到点C所用的时间为1秒，进而可得点P表示的数；再由点Q从点D运动到点C所用的时间为4秒，点Q从点C运动到点B所用的时间为8秒，进而可得点Q表示的数； ②根据点C是{P，Q}的和谐点，得CP＝3CQ，且点C在点P，Q之间，然后分类讨论，根据①中运动范围，讨论P在AB、BC上，以及Q在CB、越过B之后四种情况，将每种情况下的P和Q的数用t表示出来，然后建立方程求解． 【解答】解：（1）∵数轴上点M，N表示的数分别为﹣3，5，点P是{M，N}的和谐点， ∴PM＝3PN， 设点P所表示的数为p，则PM＝p﹣（﹣3）＝p+3，PN＝5﹣p， ∴p+3＝3（5﹣p）， 解得：p＝3， ∴点P所表示的数为3； ∵点Q是{N，M}的和谐点， ∴QN＝3QM， 设点Q所表示的数为q，则QN＝5﹣q，QM＝q﹣（﹣3）＝q+3， ∴5﹣q＝3（q+3）， 解得：q＝﹣1， ∴点Q所表示的数为﹣1． 故答案为：3；﹣1． （2）∵|a+25|+（b+6）2＝0， ∴a+24＝0，b+6＝0， ∴a＝﹣24，b＝﹣6， ∴点A所表示的数为﹣24，点B所表示的数为﹣6， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为12个单位长度， ∴点C所表示的数为6， 又∵点D所表示的数为18， ∴点A，B，C，D在数轴上为位置如图所示： ①∵动点P从点A出发以6单位/秒的速度向右运动， ∴点P从点A运动到点B所用的时间为：[﹣6﹣（﹣24）]÷6＝3（秒）， 又∵点P在线段BC上的运动速度为2×6＝12（个单位/秒）， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为[6﹣（﹣6）]÷12＝1（秒）， ∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：﹣6+12（t﹣3）＝12t﹣42，其中3＜t≤4； ∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（18﹣6）÷3＝4（秒）， ∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：3（个单位/秒）， ∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：[6﹣（﹣6）]8（秒）， ∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：6﹣（t﹣4）12t，其中4＜t≤12． 故答案为：12t﹣42（3＜t≤4）；12t（4＜t≤12）． ②∵点C是{P，Q}的和谐点， ∴CP＝3CQ，且点C在点P，Q之间， ∴有以下四种情况： （Ⅰ）当点P在点A，B之间时，此时0＜t＜3， 点P所表示的数为﹣24+6t， 此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为：18﹣3t， ∴CP＝6﹣（﹣24+6t）＝30﹣6t，CQ＝18﹣3t﹣6＝12﹣3t， ∴30﹣6t＝3（12﹣3t）， 解得：t＝2； （Ⅱ）当P在BC之间时，此时3＜t≤4，且Q依然在CD上， 点P表示的数为12t﹣42，点Q表示的数为18﹣3t， ∴CP＝6﹣（12t﹣42）＝48﹣12t，CQ＝12﹣3t， ∴48﹣12t＝3（12﹣3t）， 解得：t＝4， 当t＝4时，P、C、Q三点重合，不合题意，舍去； （Ⅲ）当点Q在点C，B之间时，此时4＜t≤12，点P已过C点， ∴点P所表示的数为6+6（t﹣4）＝6t﹣18，点Q所表示的数为12t， ∴CP＝6t﹣18﹣6＝6t﹣24，CQ＝6﹣（12t）t﹣6， ∴6t﹣24＝3（t﹣6）， 解得：t＝4， 当t＝4时，点Q正好到达点C，即点Q于点C重合，不合题意，舍去； （Ⅳ）当点Q在点A，B之间时，此时t＞12，点P已过C点， ∴点P所表示的数为6+6（t﹣4）＝6t﹣18，点Q所表示的数为﹣6﹣3（t﹣12）＝30﹣3t， ∴CP＝6t﹣18﹣6＝6t﹣24，CQ＝6﹣（30﹣3t）＝3t﹣24， ∴6t﹣24＝3（3t﹣24）， 解得：t＝16． 综上所述：t的值为2或16秒． 【点评】此题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理解题意，读懂题目中“和谐点”的定义，熟练掌握解一元一次方程，准确地用代数式表示出数轴上的点，根据“和谐点”的定义列出方程是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/30 9:46:04；用户：陈剑清（小初高数学）；邮箱：18659079182；学号：39903391 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $