精品解析：陕西省 咸阳市秦都区陈杨寨街道办事处沣西中学2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

2025人教版九年级数学上册期中综合检测卷 期中综合检测题 （考试时间：120分钟 卷面分值：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 点关于原点的对称点为，则点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） A. 向上，直线，(4，5) B. 向上，直线，(﹣4，5) C. 向上，直线，(4，﹣5) D. 向下，直线，(﹣4，5) 7. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在等边中，，点在上，且，是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若使点恰好落在上，则线段的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 9. 如图，在中，，点、同时从、两点出发，分别沿，方向匀速运动到终点，其速度都为．若要使的面积为面积的一半，则需要运动（ ） A. B. C. 或 D. 10. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知关于的方程的，则的值为___________． 12. 一条抛物线的顶点坐标为，则该二次函数的函数表达式可以为______． 13. 若点，都在二次函数的图象上，则____．（填“＞”，“＝”或“＜”） 14. 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为___________．     15. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：）与足球被踢出后经过的时间t（单位：）之间的关系． 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 0 8 14 18 20 20 18 14 ．．． 如上表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出时落地；④足球被踢出时，距离地面的高度是．其中正确的结论是_____． 三、解答题：本大题共9小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程． （1）； （2）． 17. 关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点B的坐标为． ①画出关于x轴对称的， ②画出将绕原点O按逆时针旋转90°所得的， ③与成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴； ④与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标． 19. 已知二次函数与轴交于、两点（点在点的左侧），点、点的横坐标是一元二次方程的两个根． （1）求点、点的坐标； （2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标． 20. 我们知道，求两个一次函数图象的交点坐标时，可联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标．类似的，我们解决二次函数图象与直线的交点问题时，也可以用同样的方法求解． 下面是通过方程思想解决二次函数（）图象与一次函数（）图象的交点情况的部分探究过程：联立方程组得， 整理得：， ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程，则， 当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点． 任务： （1）请参照文中时的分析过程，直接写出当和时的二次函数（）图象与一次函数（）图象的交点情况； （2）若二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点，求c的取值范围； （3）当（2）中的c取最小正整数时，直接写出不等式的解集． 21. 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元． ① 若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元； ② 如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利） 22. 已知二次函数 （1）以下有关二次函数L的性质结论序号正确的有 ．（填序号） ①二次函数的开口向上； ②二次函数的对称轴是直线； ③二次函数的图象经过定点和； ④函数值y随着x的增大而减小． （2）若二次函数的图象关于点中心对称得到二次函数G的图象，则称这两个二次函数关于点成对称抛物线． ①求抛物线G的表达式（用含m的式子表示）： ②若抛物线G的顶点纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系式H，求出这个函数关系式；若二次函数L与函数H的图象有交点，请结合图象求出m的取值范围． 23. 如图是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分，若石弹在离地面处发射，则石弹在离发射点水平距离处达到最大高度．如图，点为发射点，以水平地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，若将石弹投向远处的高为防御墙（与之间的距离超过）． （1）求石弹运行的函数关系式； （2）若石弹正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为，求的取值范围． 24. 若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线：与抛物线：为“友好抛物线”． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上在第一象限的动点，过作轴，为垂足，求的最大值； （3）设抛物线的顶点为，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025人教版九年级数学上册期中综合检测卷 期中综合检测题 （考试时间：120分钟 卷面分值：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义,将根代入进行求解． 【详解】∵x=−2是方程的根,由一元二次方程的根的定义,可得(−2)2+2k−6=0， 解此方程得到k=1. 故选A. 【点睛】考查一元二次方程根的定义，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，又叫做方程的根. 2. 无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义， ∴， ∴． 故选：A 3. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B. 该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； C. 该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D. 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 4. 点关于原点的对称点为，则点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标、关于x轴对称点的坐标等知识点，掌握关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 先根据关于原点对称点的坐标特点确定a、b，再求点关于轴的对称点坐标即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为， ∴，即， ∴点关于轴的对称点为． 故选：C． 5. 一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵∆=12-4×1×（-2）=9>0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根． 6. 二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） A. 向上，直线，(4，5) B. 向上，直线，(﹣4，5) C. 向上，直线，(4，﹣5) D. 向下，直线，(﹣4，5) 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴及顶点坐标，可求得答案． 【详解】二次函数的图象的开口向上、对称轴为直线、顶点坐标为(4，5)， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 7. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得. 【详解】设花带的宽度为，则可列方程为， 故选D． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系. 8. 如图，在等边中，，点在上，且，是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若使点恰好落在上，则线段的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质，由题意得出当点恰好落在上时，，由等边三角形的性质可得，证明，可得，进行计算即可，熟练掌握全等三角形的性质和等边三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，当点恰好落在上时，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：C． 9. 如图，在中，，点、同时从、两点出发，分别沿，方向匀速运动到终点，其速度都为．若要使的面积为面积的一半，则需要运动（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设运动的时间为，表示出相关线段的长度，根据面积列出方程求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，根据题意得， ， ∴， 解得或， 当点到达终点时，所需时间为， 当点到达终点时，所需时间为， ∴取， 故选：A． 10. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解． 【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2 ∴抛物线的对称轴是：x=-=； ∴a、b异号，且b=-a； ∵当x=0时y=c=-2 ∴c ∴abc0，故①正确； ∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t ∴和3是关于的方程的两个根；故②正确； ∵b=-a，c=-2 ∴二次函数解析式： ∵当时，与其对应的函数值． ∴，∴a； ∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n， ∴m=n=2a-2， ∴m+n=4a-4；故③错误 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知关于的方程的，则的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记根的判别式是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：关于的方程的， ， 解得，． 故答案为：或． 12. 一条抛物线的顶点坐标为，则该二次函数的函数表达式可以为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握其顶点式是解题的关键．设抛物线解析式为，根据抛物线的顶点坐标为，得，于是抛物线解析式为，取的值即可. 【详解】解：设抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线解析式为， 取，此时二次函数的函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若点，都在二次函数的图象上，则____．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数值的大小，把自变量的值代入解析式即可求出，的值，比较即可解题． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为___________．     【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，关键是熟练应用旋转的性质． 先根据旋转的性质得到，再由等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得到，最后由旋转得到的度数． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴由旋转可得：． 故答案为：． 15. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：）与足球被踢出后经过的时间t（单位：）之间的关系． 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 0 8 14 18 20 20 18 14 ．．． 如上表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出时落地；④足球被踢出时，距离地面的高度是．其中正确的结论是_____． 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质逐个判断即可得． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将点，和代入得：，解得， 则， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，则结论①错误； 二次函数的对称轴为直线，则结论②正确； 当时，，解得或， 所以足球被踢出时落地，则结论③正确； 当时，，则结论④错误； 综上，正确的结论是②③， 故答案为：②③． 三、解答题：本大题共9小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，熟练应用解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先化简，再配方即可解得方程的解； （2）先把方程化简为一般形式，然后用十字相乘法进行因式分解求方程的解． 【小问1详解】 解：化简得： 配方得：， 即， 解得：， 即：，． 【小问2详解】 解：化简得：， 因式分解得：， 解得：或， 即：，． 17. 关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值． 【答案】解：（1）k≤0．（2）k的值为﹣1和0． 【解析】 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围； （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2-x1x2<-1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值． 【详解】(1)∵方程有实数根， ∴△=22−4(k+1)≥0， 解得k ≤0 故k的取值范围是k≤0． (2)根据一元二次方程根与系数的关系,得=−2,=k+1， −=−2−(k+1) 由已知,得−2−(k+1)<−1，解得k>−2 又由(1)k≤0， ∴−2<k≤0 ∵k为整数， ∴k的值为−1或0． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点B的坐标为． ①画出关于x轴对称的， ②画出将绕原点O按逆时针旋转90°所得的， ③与成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴； ④与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标． 【答案】 ①②如图所示： ③成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的重直平分线，或连接，的中点的连线为对称轴． ④成中心对称，对称中心为线段的中点，坐标是． 【解析】 【分析】①将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接得； ②将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得； ③从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线． ④成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心． 【详解】略 【点睛】本题考查了利用旋转变换与轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 19. 已知二次函数与轴交于、两点（点在点的左侧），点、点的横坐标是一元二次方程的两个根． （1）求点、点的坐标； （2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）， （2），直线， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，求二次函数表达式及对称轴和顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可得到A点和B点坐标； （2）将A、B两点坐标代入二次函数，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标． 【小问1详解】 解：， ，， ∵点在点的左侧， ，． 【小问2详解】 解：将、两点坐标代入二次函数，得： ， 解得， ， ， 抛物线对称轴为直线，顶点坐标为． 20. 我们知道，求两个一次函数图象的交点坐标时，可联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标．类似的，我们解决二次函数图象与直线的交点问题时，也可以用同样的方法求解． 下面是通过方程思想解决二次函数（）图象与一次函数（）图象的交点情况的部分探究过程：联立方程组得， 整理得：， ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程，则， 当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点． 任务： （1）请参照文中时的分析过程，直接写出当和时的二次函数（）图象与一次函数（）图象的交点情况； （2）若二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点，求c的取值范围； （3）当（2）中的c取最小正整数时，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）时二次函数的图象与一次函数的图象无交点；时二次函数的图象与一次函数的图象有一个交点 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程判断根的关系，二次函数与坐标轴交点问题． （1）根据题意即可写出和的情况； （2）将与联立方程组，计算即可得到本题答案； （3）利用（2）中的结果取最小正整数为值，利用二次函数图象即可得到不等式阶级． 【小问1详解】 解：∵当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点． ∵当时，方程没有实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象无交点， ∵当时，方程有两个相等实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象有一个交点； 【小问2详解】 解：联立方程组得， 整理得：， ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程，则， ∵二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点， ∴时，即：，解得：； 【小问3详解】 解：∵当（2）中的c取最小正整数时，， ∴， ∴， ∴二次函数图象如下图所示： ， ∵，解得：， 通过图象可知的解集为：或． 21. 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元． ① 若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元； ② 如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利） 【答案】解：（1）26.8． （2）设需要售出x部汽车， 由题意可知，每部汽车的销售利润为：28－[27－0.1（x－1）]=（0.1x＋0.9）（万元）， 当0≤x≤10，根据题意，得x·（0.1x＋0.9）＋0.5x=12，整理，得x2＋14x－120=0， 解这个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=6． 当x＞10时，根据题意，得x·（0.1x＋0.9）＋x=12，整理，得x2＋19x－120=0， 解这个方程，得x1=－24（不合题意，舍去），x2=5． ∵5＜10，∴x2=5舍去． 答：要卖出6部汽车． 【解析】 【详解】一元二次方程的应用． （1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27－0.1×2=26.8．， （2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可． 22. 已知二次函数 （1）以下有关二次函数L的性质结论序号正确的有 ．（填序号） ①二次函数的开口向上； ②二次函数的对称轴是直线； ③二次函数的图象经过定点和； ④函数值y随着x的增大而减小． （2）若二次函数的图象关于点中心对称得到二次函数G的图象，则称这两个二次函数关于点成对称抛物线． ①求抛物线G的表达式（用含m的式子表示）： ②若抛物线G的顶点纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系式H，求出这个函数关系式；若二次函数L与函数H的图象有交点，请结合图象求出m的取值范围． 【答案】（1）②③ （2）①二次函数G的解析式为；②或 【解析】 【分析】对于（1），将二次函数的关系式配方，得出顶点坐标，并根据对称性判断； 对于（2），①根据题意可知抛物线L的顶点，再根据对称中心，可得关系式． ②先求出函数H的解析式，再分情况讨论，得出范围即可. 【小问1详解】 ②③； 配方得：，顶点； ①m不确定，所以开口方向不确定；②对称轴； ③根据对称性知抛物线经过定点与；④抛物线并非单调递增或递减． 【小问2详解】 ①抛物线L的顶点，对称中心， ∴二次函数G的顶点为，开口方向相反，故； ∴二次函数G的解析式为． ②∵二次函数G的顶点坐标为， ∴设，可得， ∴函数H的解析式为：． 讨论若二次函数L与函数H有交点： ⅰ）当时，根据二次函数L图象的性质，则一定有交点； ⅱ）当时，联立得， ∴，则x有解： ，即； 由 解得，． ∵，且，得： 或； 综上所述，m的取值范围是： 或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数的关系式，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程的关系等，求一元二次不等式的解集是解题的关键． 23. 如图是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分，若石弹在离地面处发射，则石弹在离发射点水平距离处达到最大高度．如图，点为发射点，以水平地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，若将石弹投向远处的高为防御墙（与之间的距离超过）． （1）求石弹运行的函数关系式； （2）若石弹正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意确定函数关系式，运用二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出，顶点坐标为，设石弹运行的函数关系式为， 将点坐标代入求解即可； （2）分别令和，解方程求出的值，再根据题意求出的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意得，，顶点坐标为， 设石弹运行的函数关系式为， 把代入得：， 解得 ， 石弹运行的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， （舍去）， 当时，， 解得， （舍去）， 的取值范围是 ． 24. 若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线：与抛物线：为“友好抛物线”． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上在第一象限的动点，过作轴，为垂足，求的最大值； （3）设抛物线的顶点为，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求得顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得、的值； （2）设．则，，然后得到与的函数关系式，最后依据配方法可求得的最值； （3）连接，过点作，垂足为．接下来证明，由全等三角形的性质得到，，设点的坐标为．则用含的式子可表示出点的坐标，将点的坐标代入抛物线的解析式可求得的值，从而得到点的坐标． 【小问1详解】 ， 抛物线的顶点坐标为，． 抛物线：与顶点相同， ，． 解得：，． 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图1所示： 设点的坐标为． ，， ． 当时，有最大值，最大值为． 【小问3详解】 如图2所示；连接，过点作，垂足为． ，，抛物线的对称轴为， ，． ， ． ， ． ． 在和中， ， ，． 设点的坐标为．则，． 点的坐标为． ． 整理得：． 解得，或． 当时，的坐标为， 当时，的坐标为． 综上所述，当点的坐标为或时，恰好落在抛物线上． 【点睛】解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含的式子表示点的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $