4.2.3 定理，推论 学案2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学上册

第4章 三角形 4.2.3 定理，推论 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。 3.经历“回顾证明→命名定理→生成推论”的再创造过程，体会数学知识的系统化。 学习重点： 理解“定理”与“推论”的逻辑关系，能用符号语言规范表述并应用。 学习难点： 1.区分哪些结论可直接作为推论使用，哪些仍需重新证明。 2.在具体问题中迅速识别可用的定理或推论，形成“条件—结论”快速匹配能力。 ► 学习过程 一、复习回顾 回顾：你是怎么判断“三角形的内角和等于180°”为真命题的？ 二、探究新知 探究一：定理和推论 教材第100页 【定义】定理：______________________________________________________________________ 回顾：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是如何证明的？ 【定义】推论：__________________________________________________________________________ 【探究】如图，在△ABC 中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°，∠BCA = 40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF 是△ABC 的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？ 思考：三个内角度数未知时，外角和是多少？ 探究二：逆定理和互逆定理 【思考】问题1：命题“两直线平行，同位角相等”是真命题吗？ 问题2：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是什么？ 问题3：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是真命题吗？ 【定义】互逆定理： ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 三、例题精讲 例5证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边. 已知： 求证： 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.命题“三角形三个内角的和等于180°”是 （　　） A．假命题 B．定义 C．定理 D．基本事实 2.下列说法正确的是（　　） A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题 C．定理一定是真命题 D．基本事实不一定是真命题 3.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　） A．有两个角相等的三角形是等腰三角形 B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 C．有两个角不相等的三角形不是腰三角形 D．不是等腰三角形的两个角不相等 选做题 4.有下列命题：①对顶角相等；②两点之间线段最短；③同位角相等，两直线平行；④锐角都相等；⑤两直线平行，内错角相等．其中，基本事实的序号是　 　，定理的序号是　 　. 5.有下列语句：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．②三角形任意两边的和大于第三边．③用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图． 其中属于定义的是　 　，属于定理的是　 　 ． 6.有下列说法： ①“三角形的内角和等于”是命题，也是定理. ②“两点之间线段最短”是命题，也是基本事实. ③“相等的角是对顶角”是假命题. ④“两条直线相交成直角，就叫做这两条直线互相垂直”是定义. 其中正确的说法是　 　（填写序号）. 【综合拓展类作业】 7.下列定理中，哪些有逆定理?如果有，写出它的逆定理。 （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）三角形的两边之和大于第三边。 五、课堂小结 这节课你收获了什么，在证明过程中须注意什么? 六、作业布置 1.下列说法中不正确的是（　　） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．假命题的逆命题可能是真命题 C．每个定理都有逆定理 D．把一个命题的条件与结论互换即可得到逆命题 2.如图所示，用两个相同的三角板可以过点P作出直线m的平行线n，能解释其中道理的定理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行 3.下列各命题中，是假命题的是（　　） A．推论都是定理 B．定理都是命题 C．命题都是基本事实 D．基本事实都是命题 4.下列定理中，哪些有逆定理?如果有，说出它的逆定理。 （1）内错角相等，两直线平行； （2）等边三角形的三个角都是60°； （3）对顶角相等。 答案解析 课堂练习： 1.【答案】C 【解析】解：命题“三角形三个内角的和等于180°”是定理. 故答案为：C. 2.【答案】C 【解析】解：A、命题有真命题和假命题，则本项不符合题意； B、不正确的判断为假命题，则本项不符合题意； C、定理一定为真命题，则本项符合题意； D、基本事实为真命题，则本项不符合题意； 故答案为：C. 3.【答案】A 【解析】解：∵等腰三角形的两个底角相等这个定理的题设为：如果一个三角形是等腰三角形，结论是：那么这个三角形的两个底角相等， ∴该定理的逆定理为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即有两个角相等的三角形是等腰三角形 . 故答案为：A. 4.【答案】②③；①⑤. 【解析】解：①对顶角相等，属于定理； ②两点之间线段最短，属于基本事实； ③同位角相等，两直线平行，属于基本事实﹔ ④锐角都相等，是命题； ⑤两直线平行，内错角相等，属于定理. 则基本事实的序号是②③，定理的序号是①⑤. 故答案为：②③；①⑤. 5.【答案】③ ； ①② . 【解析】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等——这是平行线的性质定理；②三角形任意两边的和大于第三边——这是三角形的三边的性质定理；③用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图——这是定义． 故答案为： ③ ； ①② . 6.【答案】①②③④. 【解析】解：①“三角形的内角和等于180°”是命题，也是定理，正确； ②“两点之间线段最短”是命题，也是基本事实，正确； ③“相等的角是对顶角”是假命题，正确； ④“两条直线相交成直角，就叫做这两条直线互相垂直”是定义，正确. 故答案为：①②③④. 7.【答案】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题， 故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补 （2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题， 故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形 作业布置： 1.【答案】C 【解析】解：A、如“对顶角相等”这个命题是真命题，其逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，故“ 真命题的逆命题不一定是真命题 ”说法正确，不符合题意； B、如“相等的角是对顶角”这个命题是假命题，其逆命题为：对顶角相等，是真命题，故“ 假命题的逆命题可能是真命题 ”说法正确，不符合题意； C、定理一定是真命题，每一个命题都有逆命题，但每一个命题的逆命题不一定是真命题，故“ 每个定理都有逆定理 ”说法错误，符合题意； D、一个命题包括题设与结论两部分，将一个命题的题设与结论互换位置即可得出该命题的逆命题，故“ 把一个命题的条件与结论互换即可得到逆命题 ”说法正确，不符合题意. 故答案为：C. 2.【答案】B 【解析】解：如图. 根据两个三角板相同可知，∠ABD=∠BAC. ∴m∥n. 故答案为：B. 3.【答案】C 【解析】解：A、推论都是命题，正确，是真命题； B、定理都是命题，正确，是真命题； C、命题不一定是基本事实，故错误，是假命题； D、基本事实都是真命题，正确，是真命题. 故答案为：C. 4．【答案】（1）解：内错角相等，两直线平行的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，逆命题是真命题，有逆定理 （2）解： 等边三角形的三个角都是60° 的逆命题是“如果一个三角形的三个角都是 60°，那么这个三角形是等边三角形“，逆命题是真命题，有逆定理 （3）解：对顶角相等的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题，没有逆定理 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $