精品解析：河南省信阳市淮滨县滨城高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

滨城高中2025-2026学年度上期10月月考 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，．记则下列等式中不正确的是（ ）. A. B. C. D. 4. 在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（ ）. A. 1 B. C. D. 2 5. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 甲、乙两人投篮的命中率分别为和，且他们投篮互不影响，若两人分别投篮一次，则至少有一人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，正方形平铺在水平面上，先将矩形沿折起，使二面角为，再将正方形沿折起，使二面角为，则平面与平面所成锐二面角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一组样本数据，其中为正实数．满足．下列说法不正确的是（ ） A. 样本数据的第50百分位数为 B. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 C. 已知这组数据的极差是6，则数据的极差是11 D. 样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 平面 10. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值，则下列说法正确的有（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为分 B. 考生参赛成绩的第百分位数约为分 C. 分数在区间内的频率为 D. 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人 11. 先后投掷一枚质地均匀的硬币两次，记事件第一次投掷的结果是正面，第二次投掷的结果是反面，两次投掷的结果不同，则以下结论正确的有（ ） A. 事件是必然事件 B. 事件包含于事件C C. 事件A与事件B不互斥 D. 事件A与事件C相互独立 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是相互独立事件，且，则_____． 13. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为______. 14. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求实数的值. （2）在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，问其中成绩在的学生有几名？ （3）根据图中样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分. 16. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明： （1）平面； （2）平面平面. 17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共5个.若从中抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到红球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球个数； （2）将这5个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5.现从盒中一次性任取两球，设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于7则甲胜，否则乙胜.试从获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平. 18. 如图，在正三棱柱中，⊥平面ABC，D、E分别为AC、的中点，. （1）求异面直线DE与所成角的余弦值； （2）求与平面夹角余弦值. 19. 如图，在正三棱锥中，，，D是棱AB的中点，点E在棱PC上，. 记. （1）用表示； （2）若，求k的值； （3）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨城高中2025-2026学年度上期10月月考 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先对z进行变形化简，再结合复数和复平面的概念即可得到答案． 【详解】由，得，可得在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据虚数单位的周期性求出的值，再通过复数除法运算求出，最后根据共轭复数和虚部的概念，即可确定的虚部. 【详解】由，则， 所以，故的虚部为. 故选：D 3. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，．记则下列等式中不正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定定理可得，，，，再利用直角三角形的边角关系对选项逐一分析即可. 【详解】因在矩形中，， 又平面， 所以平面.又平面，所以. 因为在矩形中，，所以，即. 因为平面， 所以平面. 又在矩形中，，所以平面. 又平面，所以. 同时，易知在矩形中，. 对于A：在中，， 在中，， 在中，， 所以，故A正确； 对于B：在中，，在中，， 在中，， 又，且在中，为斜边， 故有，所以，故B错误； 对于C：在中，，在中，. 又，所以，故C正确； 对于D：在中，， 又， 所以，， 所以，即，故D正确． 故选：. 4. 在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（ ）. A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将化简得，而是平面内垂直的单位向量得，从而得，而的最大值为1，所以可得的最大值. 【详解】设与的夹角为， 因为，， 所以， 所以， 因为是平面内垂直的单位向量，所以，所以， 因为，所以， 即当与的夹角为0时，. 故选：B 5. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出复数，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 6. 甲、乙两人投篮的命中率分别为和，且他们投篮互不影响，若两人分别投篮一次，则至少有一人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率和对立事件的概率公式计算. 【详解】至少有一人投中的概率为. 故选：D 7. 如图所示，正方形平铺在水平面上，先将矩形沿折起，使二面角为，再将正方形沿折起，使二面角为，则平面与平面所成锐二面角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为底面且高要足够高的直四棱柱，再作出平面与平面截该直四棱柱的截面，利用二面角的面积射影公式求解即可. 【详解】设平面，平面与以为底面的直四棱柱(高要足够高)的截面分别为和， 在后侧面中过作直线的垂线，垂足分别为， 则由于平面经过平面，于是平面平面， 由平面垂直的性质定理可得都是平面的垂线， 则四边形为四边形在平面中的正投影，易知与全等， 因此四边形的面积等于四边形的面积， 设四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为， 平面与平面所成的锐二面角为，平面与平面所成的锐二面角为， 平面与平面所成的锐二面角为， ， . 故选：C 8. 已知一组样本数据，其中为正实数．满足．下列说法不正确的是（ ） A. 样本数据的第50百分位数为 B. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 C. 已知这组数据的极差是6，则数据的极差是11 D. 样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由百分位数求法可判断；对于B，根据频率分布直方图可判断；对于C，根据极差变化可得数据的极差是12；对于D，由可得，然后可得总和. 【详解】因为，样本数据的第50百分位数为，故A正确； 对于B， 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”， 则样本数据的平均数小于中位数，故B正确； 对于C，由题知，这组数据的极差为， 则数据的极差为，故C错误； 对于D，，则， 所以，故D正确. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线线平行及线线垂直判定A，根据线面垂直判定定理得出平面，平面，进而判断D，应用线面角定义计算即得判断B，由B结合D判断C. 【详解】对于A：连接，，且，直线与所成的角为，故选项A正确； 对于D：连接交于，因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面，平面，所以， ，平面，平面，从而平面，故D项正确； 对于B：由D知平面，运用等体积法，所以， 所以可求得，又因为， 所以，又，所以，所以，故B项正确； 对于C：由选项B知点到平面的距离为，故C项不正确； 故选：ABD． 10. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值，则下列说法正确的有（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为分 B. 考生参赛成绩的第百分位数约为分 C. 分数在区间内的频率为 D. 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：确定每组数据中间值，以及每组数据的频率代入到求平均数的公式即可求得；对于B：根据百分位数的定义分析求解；对于C：直接求分数在区间内的频率即可判断；对于D：根据分层随机抽样运算求解即可. 【详解】A：由频率分布直方图可知考生的平均成绩为 ，故A正确； B：因为，， 所以考生参赛成绩的第百分位数位于区间，则第百分位数为，故B错误； C：分数在区间内的频率为，故C正确； D：在区间应抽取，故D错误. 故选：AC. 11. 先后投掷一枚质地均匀的硬币两次，记事件第一次投掷的结果是正面，第二次投掷的结果是反面，两次投掷的结果不同，则以下结论正确的有（ ） A. 事件是必然事件 B. 事件包含于事件C C. 事件A与事件B不互斥 D. 事件A与事件C相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】先列出所有基本事件，再根据事件的定义确定各事件包含的基本事件，根据必然事件、互斥事件、相互独立事件的定义和古典概率计算公式逐一分析选项求解． 【详解】先后投掷一枚质地均匀的硬币两次，所有的基本事件为：正，正正，反反，正反，反． 事件正，正正，反，事件正，反反，反，事件正，反反，正． 正，正正，反反，反，不包含基本事件中的反，正， 不是必然事件，故A错误； 正，反，正，反反，正， 是C的子集，即包含于C，故B正确； 正，反，可以同时发生，事件A与事件B不互斥，故C正确； 正，反，，又， ，事件A与事件C相互独立，故D正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知相互独立事件，且，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据独立事件的乘法公式求出，再根据求解即可. 【详解】因为是相互独立事件， 所以， 则. 故答案为：. 13. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案. 【详解】两人在两轮活动中共答对3个问题， 可能甲答对个、乙答对个，或甲答对个、乙答对个， 所以两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为： . 故答案为： 14. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得到必有第2个问题回答错误，第3、4个回答正确，第1个问题可对可错，计算概率得到答案； 【详解】根据题意，记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为A， 若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第2个问题回答错误， 第3、4个回答正确，第1个问题可对可错，由此分两类，第1个答错与第1个答对； 由相互独立事件的概率公式得：. 故答案为： 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求实数的值. （2）在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，问其中成绩在的学生有几名？ （3）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分. 【答案】（1） （2）2 （3）98 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求的值. （2）根据分层抽样的方法求解. （3）利用频率分布直方图估计平均数即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图知： ， 解得. 【小问2详解】 采取分层抽样，[130,150]的学生个数为：， 即成绩在的学生有2名. 【小问3详解】 由频率分布直方图知：平均数为： . 16. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明： （1）平面； （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设与交于点，连接，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）取中点，连接交于点，连接，证得，再由平面平面，证得平面，得到，证得平面，进而证得平面平面. 【小问1详解】 证明：如图所示，设与交于点，连接， 因为底面是正方形，所以是中点， 又因为是中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：如图所示，取中点，连接交于点，连接， 因为，所以， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又因为平面，所以，所以， 因为，且，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共5个.若从中抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到红球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）将这5个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5.现从盒中一次性任取两球，设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于7则甲胜，否则乙胜.试从获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平. 【答案】（1）2,1,2； （2）不公平 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的计算公式求盒中红球、黄球、蓝球的个数. （2）根据题意，列出样本空间即可；结合古典概型，分别求出甲乙获胜的概率，即可作出判断. 【小问1详解】 设盒中红球个，黄球个，则篮球（）个， 由题意：. 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,2. 【小问2详解】 红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5. 因为从盒中一次性任取两球，有共10个样本点， 根据规则，甲获胜的样本点有：，共6个样本点， 所以甲获胜的概率为， 从而乙获胜的概率为：. 因为，所以这个游戏不公平. 18. 如图，在正三棱柱中，⊥平面ABC，D、E分别为AC、的中点，. （1）求异面直线DE与所成角余弦值； （2）求与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为三角形的中位线得到，从而得到为异面直线DE与直线所成角或补角，求出和的长度，在中利用余弦定理求出 ，即可得异面直线DE与直线所成角的余弦值. （2）过点作的垂线，垂足为F，由题中条件得到为的中点和平面，从而得到为在平面的射影，则即为所求角，求出、、的长度，在中利用余弦定理求出，即为与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 证明：∵点D、E分别为AC、的中点， ∴为三角形的中位线，即， 为异面直线DE与所成角或补角， 在中，，，， . 异面直线DE与所成角的余弦值. 【小问2详解】 过点作的垂线，垂足为F，连结， 是正三棱柱，是正三角形，为的中点. 平面平面，且平面平面，平面 ，所以平面， 所以为在平面的射影，即为所求角， ，，， 所以， 即与平面夹角的余弦值. 19. 如图，在正三棱锥中，，，D是棱AB的中点，点E在棱PC上，. 记. （1）用表示； （2）若，求k的值； （3）求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）结合图形可得，分别用表示，再计算即得； （2）由可得，利用余弦定理求得，进而，代入即可求得的值； （3）利用向量数量积的运算律求出，根据二次函数的性质即可求得其最小值. 小问1详解】 由图可知，因为是棱的中点， 所以，， 因为，所以. 故. 【小问2详解】 由（1）可知， 则（*）. 因为正三棱锥,，所以， 由余弦定理， 所以， 则由（*）可得：，解得. 【小问3详解】 由（2）可知，又， 则 ， 故，当时，取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $