精品解析：江苏省镇江外国语学校2025--2026学年上学期第一次月考数学测试卷

九年级第一学期（数学）阶段练习二 2025.10 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，“一中同长也”描述的几何图形是（ ） A. 圆 B. 正方形 C. 三角形 D. 长方形 2. 是下列哪个一元二次方程的根（    ） A. B. C. D. 3. 的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不能确定 4. 如图，三点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 顺次连接圆内两条相交直径的4个端点,围成的四边形一定是(　　) A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 7. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法中，正确的有（ ） （1）长度相等的弧是等弧； （2）三点确定一个圆； （3）平分弦的直径垂直于弦； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，，点C、D分别是的两边、上的动点，点C、D在运动过程中始终保持 ，以为斜边作等腰直角三角形，点E在的右侧，则线段的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 已知的两直角边分别是和，则其外接圆半径为______． 13. 已知半径为，在中的圆心角所对的弧长是______． 14. 2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为______． 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如图，为半径为8的的弦，沿弦折叠经过圆心，点P为上一动点，连接，过点F作的垂线，垂足为H，连接，则最小值为________． 三、解答题（共8题；共72分） 17. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的方程． 若此方程有实数根，求m的取值范围； 在的条件下m取满足条件的最大整数时，求此时方程的解． 19. 如图，中，，以为直径作，与交于点D，过D作的垂线，垂足为E．求证：是切线． 20. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，求截面圆中弦的长． 21. 如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 22. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率． 23. 阅读材料，各类方程的解法： 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组． 求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解． 求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是：， ， ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，点在上（），小华把一根长为的绳子一段固定在点，把长绳段拉直并固定在点，再拉直，长绳的另一端恰好落在点，求的长． 24. 九（1）班数学课代表小华在学习“直线与圆位置关系”时，利用手中的量角器及三角尺深入研究了如下直线与圆位置关系的动态问题，请你也来试试看． 已知半圆和．半圆的直径，在中，，，．半圆的直径和的边在水平直线上． （1）如图1，保持不动，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．当为何值时，某一条边所在的直线能与半圆所在的圆相切？ （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转至的位置．保持不动，半圆仍然以原来方式运动，请直接写出的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）时的可取的一切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一学期（数学）阶段练习二 2025.10 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，“一中同长也”描述的几何图形是（ ） A. 圆 B. 正方形 C. 三角形 D. 长方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的定义，解题的关键是掌握圆的定义． 利用圆的定义进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，“一中”指的是定点（圆心），“同长”指的是到定点的距离相等（半径）， 所以，该图形是圆， 故选：A． 2. 是下列哪个一元二次方程的根（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程的求根公式逐项判断即可． 【详解】解：A．中，，不合题意； B．中，，不合题意； C．，，不合题意； D．中，，符合题意； 故选：D． 3. 的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系进行判定即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离， ∵， ∴点在内， 故选：B ． 4. 如图，三点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 5. 顺次连接圆内两条相交直径的4个端点,围成的四边形一定是(　　) A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据直径所对的圆周角是直角，可知所围成的四边形四个角都是直角，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可判断此四边形是矩形，所以选C. 考点：特殊四边形的判定. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 7. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，圆周角定理等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，圆周角定理是解题的关键． 如图，记的中点为，连接，由题意知，，四点共圆，由圆周角定理可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接， 由题意知，， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 下列说法中，正确的有（ ） （1）长度相等的弧是等弧； （2）三点确定一个圆； （3）平分弦的直径垂直于弦； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理的推论、三角形内心的性质、点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握相关定义以及性质是解本题的关键． 根据等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理的推论、三角形内心的性质、点与圆的位置关系相关知识点判断即可． 【详解】解：（1）能够完全重合的弧是等弧，原说法错误，不符合题意； （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； （3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等，说法正确，符合题意； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则，原说法错误，不符合题意； 因此正确的只有1个， 故选：D． 9. 如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，，先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出 ，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，求出点K的坐标即可得出点B的坐标． 【详解】解：过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，， 则，， ∵是正六边形，且中心角为， 则，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵正六边形的中心点的坐标为 ∴， ∴， ∴， ∴点K的坐标为：， ∴B点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的关键． 10. 如图，，点C、D分别是的两边、上的动点，点C、D在运动过程中始终保持 ，以为斜边作等腰直角三角形，点E在的右侧，则线段的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是正确转化为两点之间线段最短；作的外接圆，由圆周角定理得到对应的圆心角是，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理算出线段的长度，再根据两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作的外接圆，圆心为F，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为． 故选：B． 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 12. 已知的两直角边分别是和，则其外接圆半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直角三角形的外心是斜边的中点是解答此题的关键．先根据勾股定理求出斜边的长，进而可得出结论． 【详解】解：的两直角边分别是和， 斜边的长为， 的外接圆半径为 ． 故答案为：． 13. 已知半径为，在中的圆心角所对的弧长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算． 直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：圆心角所对的弧长． 故答案为：． 14. 2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程：熟悉增长率模型列方程是解决问题的关键．利用增长率模型列出一元二次方程即可． 【详解】解：设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x， 根据题意得： 故答案为： 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，为半径为8的的弦，沿弦折叠经过圆心，点P为上一动点，连接，过点F作的垂线，垂足为H，连接，则最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．取的中点，连接，，当点共线时，有最小值，最小值为的长，，是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵为的弦， ∴， ∵沿弦折叠经过圆心， ∴是半径的一半， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的上， ∴当点共线时，有最小值，最小值为的长， 此时，是等腰直角三角形， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共8题；共72分） 17. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择合适方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：，． 【小问2详解】 解：， 或， 解得：，． 18. 已知关于x的方程． 若此方程有实数根，求m的取值范围； 在的条件下m取满足条件的最大整数时，求此时方程的解． 【答案】（1）；（2）当时，方程的解为和． 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； 由找出m的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解该方程即可得出结论． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ， 解得：， 的取值范围为． 由得， 原方程为，即， 解得：，， 当时，方程的解为和． 【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；代入m的值，利用因式分解法解方程． 19. 如图，中，，以为直径作，与交于点D，过D作的垂线，垂足为E．求证：是切线． 【答案】 证明：连接， ∵为直径作， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴半径， ∴是切线． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一定理、平行线的判定和性质、圆周角定理、切线的判定． 连接，由于，，那么，可得，而，易证，从而可证是切线． 【详解】略 20. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，求截面圆中弦的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握以上两个定理． 假设圆的圆心为点，连接，利用垂径定理得出，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，假设圆的圆心为点，连接， 根据题意得，，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴． 21. 如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【答案】 如图，点P即为所作． 【解析】 【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P． 【详解】略 22. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）售价应定为每个元． （2）这两周的平均增长率为． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设售价应定为每个元，则 ， 整理得：， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元． 【小问2详解】 解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个）， 设这两周的平均增长率为，则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 23. 阅读材料，各类方程的解法： 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组． 求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解． 求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是：， ， ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，点在上（），小华把一根长为的绳子一段固定在点，把长绳段拉直并固定在点，再拉直，长绳的另一端恰好落在点，求的长． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根． （1）首先提出，然后因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设的长为，根据勾股定理和，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或或， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： 方程的两边平方，得， 即， ， ∴或， ∴，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； 【小问3详解】 因为四边形是矩形， 所以，， 设，则， 因为， ，， ， ， 两边平方，得 整理，得 两边平方并整理，得 解得或不合题意，舍去此时 经检验，是方程的解． 答：的长为． 24. 九（1）班数学课代表小华在学习“直线与圆位置关系”时，利用手中的量角器及三角尺深入研究了如下直线与圆位置关系的动态问题，请你也来试试看． 已知半圆和．半圆的直径，在中，，，．半圆的直径和的边在水平直线上． （1）如图1，保持不动，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．当为何值时，某一条边所在的直线能与半圆所在的圆相切？ （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转至的位置．保持不动，半圆仍然以原来方式运动，请直接写出的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）时的可取的一切值． 【答案】（1）当，，，时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切 （2）当或或时，的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上） 【解析】 【分析】（1）随着半圆的运动分四种情况：①当点与点重合时，与半圆相切；②当点运动到点时，与半圆相切； ③当点运动到的中点时，再次与半圆相切；④当点运动到点的右侧时，的延长线与半圆所在的圆相切；接下来分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间即可． （2）分为①如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，②如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，③如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，分别画图解答即可． 【小问1详解】 解：①如图1， 当点与点重合时，，，与半圆相切， 此时点运动了，所求运动时间为：． ②如图2，当点运动到点时，过点作，垂足为． 在中，，， 则，即等于半圆的半径， 所以与半圆所在的圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． ③如图3，当点运动到的中点时，，，与半圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． ④如图，当点运动到点的右侧，且时， 过点作，垂足为． 在中，，则， 即等于半圆所在的圆的半径， 所以直线与半圆所在的圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． 综上所述，当，，，时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切． 【小问2详解】 解：①如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时， 假设切点为，连接，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时点运动了，所求运动时间为：． ②如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时， 假设切点为，连接，则，， ∵， ∴， ∴， 此时点运动了，所求运动时间为：． ③如图， 过点作， ∵， ∴，， ∵， ∴边上所有点到的距离都是，等于半圆所在的圆的半径， 所以边与半圆所在的圆相切． 当半圆与边相切于点A时，点运动了，所求运动时间为：， 当半圆与边相切于点B时，点运动了，所求运动时间为：， 故当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，， 综上，当或或时，的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）． 【点睛】该题考查了切线的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，二次根式的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论思想解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $