精品解析：广西来宾市武宣县2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋季学期期中自主评估作业 九年级 数学（X） （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 若一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，则一次项的系数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为二次项系数为2的一般式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，把化为二次项的系数是2的一般式为； 故一次项的系数为； 故选B． 2. 反比例函数图像一定经过的点是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据每个选项中x的值求出y的值，与点的坐标比较即可作出判断． 【详解】解：A、当时，，所以点在反比例函数的图象上，故此选项符合题意； B、当时，，所以点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； C、当时，，所以点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； D、当时，，所以点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（ ） A. 3，6，7，9 B. 2，5，6，8 C. 3，6，9，18 D. 1，2，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，若四条线段、、、满足，则它们成比例，准确分析判断是解题的关键． 分别计算各选项的比值即可判断． 【详解】对于选项：，不符合题意； 对于选项：，不符合题意； 对于选项：，符合题意； 对于选项：，不符合题意； 只有选项是成比例线段； 故选． 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据勾股定理可得的长，再根据正切的定义即可得答案． 【详解】解：由勾股定理，得， ∴． 故选：C． 5. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴，解得， 故选：D． 6. 如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再由可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选C． 7. 已知反比例函数，在它图像的每个分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围，再结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次不等式，根据反比例函数的增减性结合反比例函数的性质找出关于k的不等式是关键． 8. 已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 9. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ） A. 80米 B. 米 C. 160米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴米， 在中，米． 即该主塔的高度是米． 故选：B 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 10. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 11. 关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象的综合判断，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，直线过一，三，四象限，双曲线过一，三象限；当时，直线过一，二，四象限，双曲线过二，四象限， A.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故符合题意； B.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； C.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； D.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； 故符号题意的只有选项A； 故选A． 12. 如图，在中，，，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，点和点同时出发．则运动（ ）时，以点、、为顶点的三角形与相似 A. 4或6 B. 5 C. 6或 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再分和两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和两种情况， 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 综上所述，运动或时，以点、、为顶点的三角形与相似， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 由已知等式变形求解比值即可． 【详解】解：由两边同时除以得， 故答案为：． 14. 已知与相似且相似比为，则与的面积比是____ 【答案】4:9## 【解析】 【分析】根据相似三角形面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的面积比为； 故答案为． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意可得，再结合二次项系数不为0列式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 16. 如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，作轴，轴，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的面积，根据值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：作轴，轴，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵在第二象限， ∴， ∴； 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）进行乘方和特殊角的三角函数值的运算即可． 【详解】解：（1）， ， ， 解得； （2）原式． 18. 如图，，与交于点E，且，，． （1）求的长． （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定方法． （1）由可得，由相似三角形的性质即可求得结果； （2）证明，再根据，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 19. 已知：三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出； （3）①点的坐标为_____； ②求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3）①；②22 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，坐标与位似图形，熟练掌握轴对称的性质，位似的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据位似的性质，画出即可； （3）根据点在坐标系中的位置，求出点的坐标，借助网格求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①由图可知：； ②的面积为． 20. 根据以下素材，探索并完成任务． 素材1 泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，5月份制作泥塑500件，同年7月份制作泥塑720件． 素材2 泥塑的制作成本为20元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为450件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少15件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到9240元，而且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元？ 【答案】（1）该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为；（2）每件泥塑的售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出一元二次方程，是解题的关键： （1）设该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为，根据5月份制作泥塑500件，同年7月份制作泥塑720件，列出方程进行求解即可； （2）设每件泥塑的售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）设该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得或（舍去）； 答：该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率为； （2）设每件泥塑的售价应定为元，由题意，得：， 解得或； ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：每件泥塑的售价应定为元． 21. 某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚．如图所示，遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端离地高为米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度米． （1）如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离； （2）如图2，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，在中利用正弦的定义即可求解； （2）过点作于点，延长交于点，利用勾股定理求出米，通过证明四边形是矩形，得到米，米，进而得到的长，在中利用正切的定义求出，利用线段的和差即可求出的长． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则， 在中，， （米）， 答：遮阳棚上的点到墙面的距离为米． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，延长交于点， 由（1）得，米， 米， 米， ， 四边形是矩形， 米，米， 米， 在中，， （米）， 米． 答：阴影的长为米． 22. 如图，直线与双曲线在第一象限相交于点，且点的横坐标为4，为双曲线上一动点．过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，． （1）求的值； （2）若，求点的坐标； （3）连结，，若与的重合部分的面积为时，求的面积． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）15 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，灵活运用方程、函数等知识来解答． （1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数的解析式中即可求解； （2）由（1）可得双曲线的函数表达式为，由点的坐标可得，进而得到，即点的纵坐标为，然后代入反比例函数的解析式求出横坐标即可； （3）设与相交于点，则与的重合部分即为，设点的坐标为，根据三角形的面积公式求出点的坐标，进而可求出点的坐标，可推出，然后求出，最后根据面积的和差求解即可． 【小问1详解】 解：点在直线上，且点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 点在双曲线上， ； 【小问2详解】 由（1）可得双曲线的函数表达式为， 点的纵坐标为， ． ， ， 点的纵坐标为， 点的双曲线上， 点的横坐标为， 点的坐标为； 【小问3详解】 如图，设与相交于点，则与的重合部分即为． 设点的坐标为， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为， 轴于点，且点在上， 点的横坐标为， 点在双曲线上， 点的纵坐标为， ，， 点，轴于点， ，， ， ∵， ． 23. 【定义】点是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点是的“相似点”． 例：如图1，点在的内部，，，则，故点为的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： （1）如图2，在中，，，平分．求证：点为的“相似点”； （2）如图3，若为锐角三角形，点是的“相似点”，且点与点对应，点在的平分线上，连接．若，求的值； （3）如图4，在菱形中，是上一点，是内一点，，连接交于点，连接，．若点是的“相似点”，且点与点对应．若，探究与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：如图2，∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点P为的“相似点”； （2） （3） 解：，证明如下： ∵点G是的“相似点”，点与点对应，且， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 延长交于点，如图所示： 在菱形中，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴或（舍去）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质等知识，正确理解题意，找准相似三角形的对应关系是解题关键． （1）由等腰三角形的性质和角平分线的定义可推出，证明即可； （2）由题意得，可推出，再证明即可； （3）由题意得，可推出，延长交于点，可证明四边形是平行四边形得到，进而推导出，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期中自主评估作业 九年级 数学（X） （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 若一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，则一次项的系数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 反比例函数图像一定经过的点是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（ ） A. 3，6，7，9 B. 2，5，6，8 C. 3，6，9，18 D. 1，2，3，4 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，在它图像的每个分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 2 8. 已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 9. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ） A. 80米 B. 米 C. 160米 D. 米 10. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 11. 关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，点和点同时出发．则运动（ ）时，以点、、为顶点的三角形与相似 A. 4或6 B. 5 C. 6或 D. 3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 已知，则的值为______． 14. 已知与相似且相似比为，则与的面积比是____ 15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为_____． 16. 如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 18. 如图，，与交于点E，且，，． （1）求的长． （2）求证：． 19. 已知：三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出； （3）①点的坐标为_____； ②求的面积． 20. 根据以下素材，探索并完成任务． 素材1 泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，5月份制作泥塑500件，同年7月份制作泥塑720件． 素材2 泥塑的制作成本为20元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为450件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少15件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊5月份到7月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到9240元，而且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元？ 21. 某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚．如图所示，遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端离地高为米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度米． （1）如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离； （2）如图2，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，，，，） 22. 如图，直线与双曲线在第一象限相交于点，且点的横坐标为4，为双曲线上一动点．过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，． （1）求的值； （2）若，求点的坐标； （3）连结，，若与的重合部分的面积为时，求的面积． 23. 【定义】点是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点是的“相似点”． 例：如图1，点在的内部，，，则，故点为的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： （1）如图2，在中，，，平分．求证：点为的“相似点”； （2）如图3，若为锐角三角形，点是的“相似点”，且点与点对应，点在的平分线上，连接．若，求的值； （3）如图4，在菱形中，是上一点，是内一点，，连接交于点，连接，．若点是的“相似点”，且点与点对应．若，探究与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $