精品解析：山东省东营市东营区文华学校2025-2026学年上学期九年级数学第一次月考试题

东营区文华学校九年级数学诊断性作业 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，诸把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加法，二次根式的性质，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则逐项计算即可判断． 【详解】解：3和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算错误，不符合题意； ，故D计算正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的加法，二次根式的性质，幂的乘方，同底数幂的乘法．熟练掌握各运算法则是解题关键． 2. 在中，，，，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是正确掌握余弦的定义． 先由勾股定理求解斜边，再由余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 3. 二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线经过点 C. 抛物线的顶点是 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 4. 反比例函数（k是常数，且）与二次函数在同一坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和二次函数的性质解答． 根据反比例函数的性质和二次函数的性质，可以分别判断出它们的的正负情况和二次函数顶点所在的位置，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：选项A中，反比例函数中的，二次函数中的，而顶点坐标为应该在轴的正半轴，故该选项错误，不符合题意； 选项B中，反比例函数中的，二次函数中的，故该选项错误，不符合题意； 选项C中，反比例函数中的，二次函数中的，顶点坐标为应该在轴的正半轴，故该选项正确，符合题意； 选项D中，反比例函数中的，二次函数中的，而顶点坐标为应该在轴的正半轴，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为， 则六块蔬菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 6. 将抛物线向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律“左加右减括号内，上加下减括号外”是解题的关键． 根据“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为． 故选B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义求出和，再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴轴，， ∵点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 8. 烟花厂为扬州烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：h=-t2+20t+1=-（t-4）2+41 -<0 ∴这个二次函数图象开口向下， ∴当t=4时，升到最高点， 故选B． 9. 在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质确定平行线，证明，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 设， 则． ∴， 解得． ∴矩形的周长为， 故选：A． 10. 如图，已知四边形是矩形，点 E 是 边上的点，且，，，垂足为 F．下列结论：①；②平分；③；④其中正确的结论有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据矩形的性质证明，，利用勾股定理求出，然后逐一进行判断即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，，故①③正确， 不妨设平分，则是等腰直角三角形，这个显然不可能，故②错误， ，， ， ， ，故④错误， 正确的结论有①③共个． 故选：B． 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据代数式有意义，列出不等式组求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：且， 故答案为：且． 12. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将抛物线的一般式化为顶点式，然后可得顶点坐标．熟练掌握配方法的使用是解题关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 其中，，， 由，得， 由， 得，即， 故且， 故答案为：且． 14. 正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 _____． 【答案】24 【解析】 【分析】过点C作CE⊥y轴，由正方形的性质得出∠CBA=90°，AB=BC，再利用各角之间的关系得出∠CBE=∠BAO，根据全等三角形的判定和性质得出OA=BE=2，OB=CE=4，确定点C的坐标，然后代入函数解析式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥y轴， ∵点B（0，4），A（2，0）， ∴OB=4，OA=2， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CBA=90°，AB=BC， ∴∠CBE+∠ABO=90°， ∵∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠CBE=∠BAO， ∵∠CEB=∠BOA=90°， ∴， ∴OA=BE=2，OB=CE=4， ∴OE=OB+BE=6， ∴C（4，6）， 将点C代入反比例函数解析式可得： k=24， 故答案为：24． 【点睛】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数解析式的确定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 15. 如图所示，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，秋千摆至最高位置时与竖直方向的夹角为，且两边的摆动角度相同，那么秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差为_____米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角函数求线段长，数形结合是解决问题的关键． 在中，由三角函数列式求解得到，数形结合表示出秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差即可得到答案． 【详解】解：在中，，，，则， 秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差为， 故答案为：． 16. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； 当水面下降，水面宽为8米时，有 把代入解析式，得； ∴水面下降米； 故答案为：； 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 17. 如图，在中，，P 为边上动点，作 于点 D， 于 点 E， 则的最小值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理．连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，线段的值最小，此时线段的值最小， ∵， ∴， 解得：， 即线段的最小值为． 故答案为：． 18. 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，…，这样依次下去，得到一组线段：，，，…，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，特殊角度三角函数的求值，一次函数与几何综合．先求出，根据题意写出，，，从而根据规律有，然后当代入即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在轴上取点，过点作轴交于点， ∵直线：， ∴当时，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 同理，， ， ∴， 当时，， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)1；（2）2-1. 【解析】 【分析】（1）分别计算负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根； （2）先把括号内通分相减，再计算分式的除法，除以一个分式，等于乘它的分子、分母交换位置. 【详解】(1)原式=3+﹣1﹣2×+1﹣2=3+﹣1﹣+1﹣2=1． （2）原式=[﹣]• =• =， 当x=﹣2时，原式= ==2-1. 【点睛】本题考查负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根以及分式的化简求值，解题关键是熟练掌握以上性质和分式的混合运算. 20. 乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶处观测乙居民楼楼底处的俯角是，观测乙居民楼楼顶处的仰角为，已知甲居民楼的高为，求乙居民楼的高．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】乙居民楼的高14.6m． 【解析】 【分析】如图：分别过C、D作CF⊥BD,DE⊥BC，垂足分别为E、F，先在Rt△BDE中求得BA=10，再在Rt△CFD中说明CF=DF，然后再在Rt△CFB中运用三角函数求得BF==，再利用BD=BF+DF求得CF，最后在Rt△CFB中解直角三角形求得BC即可解答． 【详解】解：如图：分别过C、D作CF⊥BD,DE⊥BC，垂足分别为E、F ∵在Rt△BDE中，∠BDE=30°，AD=10 ∴BD=20,BA=10 ∵在Rt△CFD中，∠CDF=∠CDE+∠BDE=45°， ∴CF=DF ∵在Rt△CFB中，∠CBF=60°， ∴tan∠CBF== tan60°= ，BF== ∴BD=BF+DF=+DF=20,即DF=CF= ∵在Rt△CFB中，∠CBF=60°，CF= ∴sin∠CBF=,即，解得BC=20-20≈14.6m ∴乙居民楼的高14.6m． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造所需的直角三角形成为解答本题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）若P是x轴上一点，且的面积是面积的3倍，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）-1≤x＜0或x≥2． （3）P（9，0）或（-9，0）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题． （2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题． （3）根据S△AOB=S△AOC+S△BOC，求出△OAB的面积，设P（m，0），构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点A（-1，m），B（n，-3）， ∴-1×m=-6，-3n=-6， 解得m=6，n=2， ∴A（-1，6），B（2，-3）， 把A、B的坐标代入y=kx+b得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为y=-3x+3． 【小问2详解】 解：观察图象，不等式kx+b≤的解集为：-1≤x＜0或x≥2． 【小问3详解】 解：连接OA，OB，由可得C（0，3）， S△AOB=S△AOC+S△BOC= ×3×1+×3×2=， 设P（m，0）， 由题意•|m|•3=， 解得m=±9， ∴P（9，0）或（-9，0）． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． 22. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． （1）写出关于的函数解析式，并求出的取值范围； （2）当该矩形菜园的面积为．求边的长； （3）当边的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）； （2）的长为； （3）当时，面积最大，最大面积为． 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用． （1）设菜园的宽为，则为，由面积公式写出与的函数关系式，进而求出的取值范围； （2）令求得的值即可； （3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积． 【小问1详解】 解：设这个菜园垂直于墙的一边的长为． 则，① 则， 由， 解②得：， 解③得：， 所以的取值范围为：， 所以； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：，解得：， ∵，所以不符合题意，取， 即的长为； 【小问3详解】 解：， ∵，抛物线开口向下，S有最大值， 又∵， ∴当时，面积最大，最大面积为． 23. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克. （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克； （2）水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元． 【解析】 【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案； （2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：设乙种水果的进价是x元/千克， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 则， 答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克； 【小问2详解】 解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克， 由题意得：， ∵－1＜0， ∴y随a的增大而减小， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍， ∴， 解得：， ∴当时，y取最大值，此时，， 答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键． 24. 如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值． 【答案】（1）直线的解析式为：； （2）； （3），的最小值为． 【解析】 【分析】（1）将的横坐标分别代入求出的值，得到，点坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出的长，根据“”求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小，先利用待定系数法求得直线，进而即可求得点的坐标，利用勾股定理即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：∵，是抛物线上的两点， ∴当时，；当时， ∴点的坐标为，点的坐标为 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得 解得， 所以，直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：对于直线： 当时， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小， 设直线∶， ∵直线∶过点和点， ∴， 解得， ∴直线∶， 令，有， 解得， ∴， ∵点关于轴的对称点为， ∴， ∴的最小值为的长：． 【点睛】此题主要考查了运用待定系数法求直线解析式，轴对称的性质，勾股定理，二次函数二次函数的图像及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． 25. 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）成立，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）5 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答． （2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答． （3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵是等腰三角形 ∴ ∵， ∴与（1）、（2）同理，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得（为线段，负值舍去） ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东营区文华学校九年级数学诊断性作业 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，诸把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，的值为（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线经过点 C. 抛物线的顶点是 D. 当时，随的增大而增大 4. 反比例函数（k是常数，且）与二次函数在同一坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 8. 烟花厂为扬州烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　） A. B. C. D. 9. 在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形是矩形，点 E 是 边上的点，且，，，垂足为 F．下列结论：①；②平分；③；④其中正确的结论有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 12. 抛物线的顶点坐标为______． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 14. 正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 _____． 15. 如图所示，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，秋千摆至最高位置时与竖直方向的夹角为，且两边的摆动角度相同，那么秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差为_____米．（结果保留根号） 16. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 17. 如图，在中，，P 为边上动点，作 于点 D， 于 点 E， 则的最小值为 _______． 18. 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，…，这样依次下去，得到一组线段：，，，…，则线段的长为_____． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 20. 乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶处观测乙居民楼楼底处的俯角是，观测乙居民楼楼顶处的仰角为，已知甲居民楼的高为，求乙居民楼的高．（参考数据：，，结果精确到） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）若P是x轴上一点，且的面积是面积的3倍，求点P的坐标． 22. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． （1）写出关于的函数解析式，并求出的取值范围； （2）当该矩形菜园的面积为．求边的长； （3）当边的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 23. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克. （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 24. 如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值． 25. 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $