精品解析：天津市北辰区璟悦中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

天津市北辰区璟悦中学2025-2026学年 九年级上学期第一次月考数学试卷 一、单选题（12×3=36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. 、 B. 、10 C. 8、 D. 8、10 3. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 7. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 8. 若代数式与的值互为相反数，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（6×3=18分） 13. 抛物线的顶点坐标为______________________________． 14. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______． 15. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 16. 流感是一种传染性极高的疾病，我们要加强预防和治疗．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有100个人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为_____________． 17. 抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是________． 18. 若实数、满足，则________． 三、解答题（66分） 19. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. “户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 21. 如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃一边的长为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为63平方米的花圃，的长是多少？ 22. 已知抛物线． （1）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴； （2）判断点是否在此抛物线上； （3）求出此抛物线上纵坐标为的点的坐标． 23. 已知关于x的方程． （1）试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为3，求的值． 24. 已知二次函数，顶点为P，若抛物线与x轴交于、两点，求三角形的面积 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市北辰区璟悦中学2025-2026学年 九年级上学期第一次月考数学试卷 一、单选题（12×3=36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ） A. 、 B. 、10 C. 8、 D. 8、10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 【详解】解：化为一元二次方程的一般形式， 其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是8，10， 故选：D． 3. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 6. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 7. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 8. 若代数式与的值互为相反数，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元二次方程，先根据相反数的定义可得关于的一元二次方程，解一元二次方程即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 化简得，， ∴， 解得，， ∴的值为或， 故选：． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是关键． 首先观察各选项中的一次函数的图象，得到字母系数的正负性，然后再将字母系数的正负性与二次函数的开口方向相比较，看是否一致，不能判断的需同时结合二次函数的对称轴进行验证，由此即可作出判断. 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项错误； B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项正确； C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误； D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误； 故选：B． 10. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，则在对称轴右侧，随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故①正确，②③错误， ∴当时，随的增大而减小，故④正确， ∴正确的有2个， 故选：B． 11. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 12. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 二、填空题（6×3=18分） 13. 抛物线的顶点坐标为______________________________． 【答案】(1，8) 【解析】 【分析】根据题意可知，本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解． 【详解】解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，) ∴的顶点坐标为(1，8) 故答案为：(1，8) 【点睛】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标． 14. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 15. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 16. 流感是一种传染性极高的疾病，我们要加强预防和治疗．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有100个人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为_____________． 【答案】9 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为，则第一轮传染后的感染人数为，第二轮传染的人数为，根据两轮共有100人患流感建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 根据题意得, 即， ∴， ∴或(舍去)， 故每轮传染中平均一个人传染的人数为9． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立方程． 17. 抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据解析式得到抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下，则y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线，再根据自变量的取值范围推出当时，函数有最小值，据此求出最小值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线， ∵， ∴当时，当时，函数有最小值，最小值为， ∴y的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 18. 若实数、满足，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，则，原式化为，整理后利用因式分解法求出z的值，再根据舍去不合题意的值即可． 【详解】解：设，则， 原式化为， 整理得：， 因式分解得， ∴或， 解得：，， ∵， ∴，即， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了换元法及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握换元思想的应用是解题的关键． 三、解答题（66分） 19. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4），． 【解析】 【分析】（1）运用直接开方法解一元二次方程即可； （2）运用配方法，直接开方法解一元二次方程即可； （3）运用提公因式法分解因式解一元二次方程即可； （4）运用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 等式两边同时开方，， ，， ∴原方程的解为；，． 【小问2详解】 解： 移项，， 配方得，，整理得，， 等式两边同时开方，， ，； 【小问3详解】 解： ∴， 或， ∴，； 【小问4详解】 解： ， ∴或， ∴，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握直接开方法，配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 20. “户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，根据2022年的种植面积2020年的种植面积建立方程，解方程即可得； （2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据该水果售价不能超过15元/千克即可得． 【小问1详解】 解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克， 由题意得：， 解得或， ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ， 解得， 所以， 答：售价应上涨6元． 21. 如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃一边的长为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为63平方米的花圃，的长是多少？ 【答案】（1） （2）7米 【解析】 【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出的长为米，利用矩形的面积计算公式，可用含的代数式表示，再结合边的长大于0且长度不超过米，即可得出的取值范围； （2）根据围成花圃的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：的长为米，且篱笆的总长度为米， 的长为米． 花圃的面积， ∵墙的长度为， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：的长是米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22. 已知抛物线． （1）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴； （2）判断点是否在此抛物线上； （3）求出此抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】（1）开口方向向下，顶点坐标为，对称轴为直线 （2）不在此抛物线上 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据解析式是顶点式直接写出开口方向、顶点坐标、对称轴即可． （2）把点代入解析式，即可判断； （3）把代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴二次函数图象的开口方向向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 【小问2详解】 解：把代入，得 ∴点不在此抛物线上； 【小问3详解】 解：把代入，得 ， 解得：，， ∴抛物线上纵坐标为的点的坐标或． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数的图象性质，函数解析式与图象上的点之间的关系：点在图象上，则点的坐标满足函数解析式；反之，不在函数图象上则点的坐标不满足函数解析式． 23. 已知关于x的方程． （1）试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为3，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）2039 【解析】 【分析】（1）计算出即可得出答案； （2）由方程的解的概念得出，代入到计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵方程有一个根为3， ∴， 整理，得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查根的判别式和方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 24. 已知二次函数，顶点为P，若抛物线与x轴交于、两点，求三角形的面积 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，坐标与图形面积，由A、B的坐标和顶点P的坐标，即可求出答案 【详解】解：由二次函数可知，顶点为， 又、， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $