有理数的运算重难点专项突破2025-2026学年北师大版七年级数学上册

有理数的运算重难点专项突破2025-2026学年 北师大版七年级上册 板块一：有理数的混合运算 1.计算： (1)(2) 2.计算： (1)；(2)． 3.计算 (1)(2) 4.计算 (1)；(2)． 5.计算： (1)(2) 板块二：有理数与绝对值 1．已知|x|=5，|y|=2，且|x+y|=﹣x﹣y，则x﹣y的值为（　　） A．±3 B．±3或±7 C．﹣3或7 D．﹣3或﹣7 2．已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a≠0，b≠0，则代数式的取值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．若1＜x＜2，则的值是（    ） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1 5.我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 板块三：有理数的应用题 1．一根1米长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（　　） A．（）5米 B．[1﹣（）5]米 C．（）5米 D．[1﹣（）5]米 2.我国古代《易经》一书中有“结绳而治”的记载．如图，在从右往左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录物品的数量．由图可知，物品的数量为 个． 3．某品种兔子，一对兔子每个月能繁殖3对小兔子，而每对小兔子，一个月后也能繁殖3对新小兔子，总之，所有的每对兔子，都是每月繁殖3对小兔子，如果开始只有一对兔子，那么半年后有　 　对兔子（不考虑意外死亡）． 4.姗姗爸爸上周买进“宁德时代”股票1000股，每股元，下表为本周每天该股票的涨跌情况： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)若姗姗爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗，获利多少？ 5.某商场老板以30元的价格购进30件儿童服装，针对不同的款式，30件儿童服装的售价不完全相同．若以45元为标准，售价超出45元的部分记为正数，不足的45元的部分记为负数．记录结果如表所示： 售出件数 7 6 3 5 4 5 售价（元） 0 (1)在销售这30件儿童服装中，价格最高的一件比价格最低的一件多多少元？ (2)与标准售价比较，30件儿童服装总售价超过或不足多少元？ (3)请问该商场在售完这30件儿童服装后，共赚了多少钱？ 板块四：流程图 1.按如图所示的运算程序，能使输出结果为的是（    ） A． B． C． D． 2.如图是一个数值转换机，若输入a的值为，则输出的结果为（    ） A．7 B． C．1 D．5 3.如下图是计算机程序计算图，若开始输入，则最后输出的结果是__________． 4．如图，按照程序图计算，当输入正整数时，输出的结果是，则输入的的值可能是__________． 5．根据下图所示的程序回答问题： (1)当小明输入和这两个数时，输出的结果是多少？ (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，求被墨水污染的数． 板块五：定义新运算 1．定义运算“@”的运算法则为：x@y＝xy﹣y，如：3@2＝3×2﹣2＝4．那么（﹣3）@（﹣2）的运算结果是（　　） A．8 B．﹣3 C．4 D．﹣4 2．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（1△3）＝2，那么x等于（　　） A．1 B． C． D．2 3.若定义一种新的运算，规定 =ab-cd,则 = ． 4.规定如下两种运算：x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1．例如：2⊗3＝2×2×3+1＝13；2⊕3＝2+2×3﹣1＝7．若a⊗（4⊕5）的值为79，则3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]的值是 　 　． 5．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 板块六：规律探究 1.分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的，如图是分形的一种，第1个图案有2个三角形；第2个图案有4个三角形；第3个图案有8个三角形；第4个图案有16个三角形…第6个图案有（ ）个三角形． A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 2.如图，观察图形，它们是按一定规律排列的，依此规律，第6个图形共有_________个★． 3.如图，用大小相等的小正方形拼成有规律的图形，第1个图中有1个正方形，第2个图中含有5个正方形，第3个图中含有14个正方形…，按此规律拼下去，第6个图中含正方形的个数是___________个. 4.如图，把每个正方形等分为4格，在每格中填入数字，在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，__________．（用，表示） 5．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 板块七：有理数与数轴问题 1．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 2．如图，数轴的单位长度为1，若点表示的数与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ． 3.如图，一条数轴上有三个不同的点，其中点表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若对折后的点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 4．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 5．数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【答案】 有理数的运算重难点专项突破2025-2026学年 北师大版七年级上册 板块一：有理数的混合运算 1.计算： (1)(2) 【答案】(1)8(2)12 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2.计算： (1)；(2)． 【答案】(1)15；(2)1． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3.计算 (1)(2) 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4.计算 (1)；(2)． 【答案】(1)38(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5.计算： (1)(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 板块二：有理数与绝对值 1．已知|x|=5，|y|=2，且|x+y|=﹣x﹣y，则x﹣y的值为（　　） A．±3 B．±3或±7 C．﹣3或7 D．﹣3或﹣7 【答案】D 2．已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 3．若a≠0，b≠0，则代数式的取值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 4．若1＜x＜2，则的值是（    ） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1 【答案】D 5.我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【答案】(1)(2)2(3)0或(4)；7 【详解】（1）解：时，， 故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为， ∴中点到的距离为7， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵， ∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或， 故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离， 故答案为：；7． 板块三：有理数的应用题 1．一根1米长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（　　） A．（）5米 B．[1﹣（）5]米 C．（）5米 D．[1﹣（）5]米 【答案】C 2.我国古代《易经》一书中有“结绳而治”的记载．如图，在从右往左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录物品的数量．由图可知，物品的数量为 个． 【答案】 3．某品种兔子，一对兔子每个月能繁殖3对小兔子，而每对小兔子，一个月后也能繁殖3对新小兔子，总之，所有的每对兔子，都是每月繁殖3对小兔子，如果开始只有一对兔子，那么半年后有　 　对兔子（不考虑意外死亡）． 【答案4 096． 4.姗姗爸爸上周买进“宁德时代”股票1000股，每股元，下表为本周每天该股票的涨跌情况： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)若姗姗爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗，获利多少？ 【答案】(1)星期三收盘时，每股是26元． (2)本周内最高价是每股元，最低价是每股元． (3)姗姗爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，会获利，获利元． 【详解】（1）解：由题意得：； 答：星期三收盘时，每股是26元． （2）解：由题意得：； ； 答：本周内最高价是每股元，最低价是每股元． （3）解：由题意的：， ∴会获利，获利为：（元）； 答：姗姗爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，会获利，获利元． 5.某商场老板以30元的价格购进30件儿童服装，针对不同的款式，30件儿童服装的售价不完全相同．若以45元为标准，售价超出45元的部分记为正数，不足的45元的部分记为负数．记录结果如表所示： 售出件数 7 6 3 5 4 5 售价（元） 0 (1)在销售这30件儿童服装中，价格最高的一件比价格最低的一件多多少元？ (2)与标准售价比较，30件儿童服装总售价超过或不足多少元？ (3)请问该商场在售完这30件儿童服装后，共赚了多少钱？ 【答案】(1)5元 (2)22元 (3)472元 【分析】（1）求出价格最高的售价和价格最低的售价，相减即可； （2）用售出件数乘以超出的售价和不足的售价，相加即可； （3）先求出按标准售价出售时赚的钱数，再加上与标准售价比较超过的钱数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴价格最高的一件售价为（元），价格最低的一件售价为（元） （元）， 答：价格最高的一件比价格最低一件多5元． （2）解：（元）， 答：总售价超过22元； （3）解：（元）， （元）， 答：赚了472元． 板块四：流程图 1.按如图所示的运算程序，能使输出结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图是一个数值转换机，若输入a的值为，则输出的结果为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 3.如下图是计算机程序计算图，若开始输入，则最后输出的结果是__________． 【答案】 4．如图，按照程序图计算，当输入正整数时，输出的结果是，则输入的的值可能是__________． 【答案】、、、． 5．根据下图所示的程序回答问题： (1)当小明输入和这两个数时，输出的结果是多少？ (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，求被墨水污染的数． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）根据程序可知 ． 为正数，所以输出结果为． （2）设被墨水污染的数为． 输出结果为，则菱形框中的结果为． 当菱形框中的结果为时，可知，则． 当菱形框中的结果为时，可知，则． 综上所述，或，即被墨水污染的数为或． 板块五：定义新运算 1．定义运算“@”的运算法则为：x@y＝xy﹣y，如：3@2＝3×2﹣2＝4．那么（﹣3）@（﹣2）的运算结果是（　　） A．8 B．﹣3 C．4 D．﹣4 【答案】A 2．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（1△3）＝2，那么x等于（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 3.若定义一种新的运算，规定 =ab-cd,则 = ． 【答案】14 4.规定如下两种运算：x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1．例如：2⊗3＝2×2×3+1＝13；2⊕3＝2+2×3﹣1＝7．若a⊗（4⊕5）的值为79，则3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]的值是 　 　． 【答案7． 5．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)49；(2)109． 【详解】（1）解： ． 所以的值为49． （2）解： ； ． 所以的值为109． 板块六：规律探究 1.分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的，如图是分形的一种，第1个图案有2个三角形；第2个图案有4个三角形；第3个图案有8个三角形；第4个图案有16个三角形…第6个图案有（ ）个三角形． A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 【答案】B 2.如图，观察图形，它们是按一定规律排列的，依此规律，第6个图形共有_________个★． 【答案】20 3.如图，用大小相等的小正方形拼成有规律的图形，第1个图中有1个正方形，第2个图中含有5个正方形，第3个图中含有14个正方形…，按此规律拼下去，第6个图中含正方形的个数是___________个. 【答案】91 4.如图，把每个正方形等分为4格，在每格中填入数字，在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，__________．（用，表示） 【答案】## 5．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【答案】 【详解】解： … 板块七：有理数与数轴问题 1．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 2．如图，数轴的单位长度为1，若点表示的数与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ． 【答案】 3.如图，一条数轴上有三个不同的点，其中点表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若对折后的点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【答案】或0 4．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 【答案】3或5 5．数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【答案】(1)秒(2) 【详解】（1）解：∵单位， ∴秒， ∴秒后相遇； （2）解：点对应的数是： ． 学科网（北京）股份有限公司 $