精品解析：四川省成都市郫都区绵实外国语学校（初中）2025-2026学年八年级上学期入学考试数学试题

四川省成都市郫都区绵实外国语学校（初中）2025-2026学年八年级上学期入学考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列各图都是成都世界运动会的预选图案，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000839米，则数据0.00000839用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，它的内角和是 B. 掷一枚骰子，朝上一面的点数为2 C. 抛出的篮球会下落 D. 一名运动员每次命中靶心 5. 将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 7. “乌鸦喝水”的故事耳熟能详．如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此时水位高度为，喝不着水，沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口处，乌鸦喝到了水．设乌鸦衔来的石子个数为，水位高度为，假设石子的体积一样，下列图像中最符合故事情境的大致图像是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则 _________． 10. 在一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则白球的个数为______． 11. 如图，将一张长方形纸条沿折叠，已知，则的度数为______． 12. 中国古代有很多极为精巧的发明；榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为________． 13. 如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；再分别以A，C两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q．直线与直线交于点O，连接，则的大小为______． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 计算 （1） （2）先化简，再求值：，其中， 15. “项目式学习”是一种新型学习方式，请根据下列材料，完成以下任务： 【背景】2024年国家对青少年电子产品的管理进一步细化，强制推行“青少年模式”：青少年应控制电子产品使用，非学习目的的使用单次不宜超过15分钟，周末累计不宜超过1小时． 【素材】某校调研了七年级（1）班同学周末电子产品的使用时间，并制作了如下两幅不完整的统计图（A．分钟，B．分钟，C．分钟，D．分钟）． 【问题任务】 （1）求扇形统计图中 m 的值，并补全条形统计图 （2）若七年级共有 600 人，根据调查估算周末电子产品使用时长小于 15 分钟学生人数？ （3）若从 D 中随机抽取一名学生，抽到男生的概率为，则 D 中女生有多少人？ 16. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出作法），并解答下列问题． （1）作关于直线的轴对称图形； （2）在上画出点P，使得的和最小： （3）求的面积． 17. 补充完成下列推理过程： 如图，在中，D为线段中点，，求 的取值范围． 解：作交的延长线于点E． ∵， （ ）．（ ） ∵D为线段中点， ∴．（ ） ∵在与中， ∴（ ）， ∴，．（ ） 在中，（ ）（ ）， ∵， ∴（ ）（ ）． ． 18. 如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． （1）当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为      ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； （2）如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若是一个完全平方式，则_______________________． 20. 已知的计算结果中不含x的一次项，则a的值为______． 21. 如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则_______． 22. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如，，，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”． （1）当时，______； （2）不超过1010的所有“和谐数”之和为______． 23. 如图，在四边形中，，，，于点，交于点，若，，求______． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 随着科技的发展，无人机被广泛使用到实际生活中．为精准预测作业时间，提高整体运营效率，某偏远地区使用无人机配送物资，已知无人机从基地出发，飞行过程中，剩余电量y（毫安时）与飞行时间x（分钟）的变化情况如下表： 飞行时间x（分钟） 0 10 20 30 … 剩余电量y（毫安时） 6000 5000 4000 3000 … （1）根据表格中的数据，请直接写出y与x的关系式．（不要求写出自变量的范围） （2）若基地距离配送目的地需要飞行45分钟，问无人机是否能在电量耗尽前到达？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若要保证无人机能往返（假设往返时间相同），则无人机出发时电量至少需要多少毫安时？ 25. 【基于教材】 （1）如图1，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，分别表示图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是 ； 【知识迁移】 （2）为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》文件精神，成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案，其中阴影部分种植番茄．若，，求种植番茄的面积； 【拓展应用】 （3）将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．若四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，求长方形纸片的面积． 26. 【问题情境】 （1）如图1，在与中，，，，连接，，且点在线段上． 【问题解决】 ①求证：； ②连接，若，的面积为，求的长度； 【问题迁移】 （2）如图2，在中，，．是内一动点，作射线，连接，作交射线于点（点在右侧），在射线上截，连接．当时，用等式表示，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市郫都区绵实外国语学校（初中）2025-2026学年八年级上学期入学考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列各图都是成都世界运动会的预选图案，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A. ，故本选项错误； B. ，故本选项错误； C. ，故本选项错误； D. 2a−3a=−a，正确． 故选D. 3. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000839米，则数据0.00000839用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中， n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解：； 故选：B． 4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，它的内角和是 B. 掷一枚骰子，朝上一面的点数为2 C. 抛出的篮球会下落 D. 一名运动员每次命中靶心 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、任意画一个三角形，它的内角和是，不可能是，原事件是不可能事件，不符合题意； B、掷一枚骰子，朝上一面的点数可能为2，原事件是随机事件，不符合题意； C、抛出的篮球会下落，原事件是必然事件，符合题意； D、一名运动员不一定每次命中靶心，原事件是随机事件，不符合题意； 故选：C。 5. 将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质，可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D 6. 如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作图的原理可证明求解． 本题考查了作图—基本作图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 在和中， ， ∴ ∴， 故选：A． 7. “乌鸦喝水”的故事耳熟能详．如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此时水位高度为，喝不着水，沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口处，乌鸦喝到了水．设乌鸦衔来的石子个数为，水位高度为，假设石子的体积一样，下列图像中最符合故事情境的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数图象问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【详解】解： 乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选A． 8. 如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则 _________． 【答案】100 【解析】 【分析】利用同底数的除法将转化成，再将已知变形整体代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法运算，正确将原式变形是解题关键． 10. 在一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则白球的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，用红球的个数处于红球的概率求出球的总个数，继而可得答案． 【详解】解：由题意知，袋中球的总个数为（个）， 则白球的个数为（个）， 故答案为：． 11. 如图，将一张长方形纸条沿折叠，已知，则的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了长方形的性质，平行线的性质和折叠的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题通过两直线平行内错角相等和折叠的性质进行作答，即可求解； 【详解】解：如图： 由题意可得：∵是一张长方形纸片， ∴， ∴， ∵，长方形纸条沿折叠， ∴， ∴， 故答案为：； 12. 中国古代有很多极为精巧的发明；榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，根据一个木构件的长度为6，两个木构件上的凹凸部分紧密连接，每增加一个木构件，长度增加5，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；再分别以A，C两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q．直线与直线交于点O，连接，则的大小为______． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，连接．证明，推出，求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知垂直平分线段垂直平分线段， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 计算 （1） （2）先化简，再求值：，其中， 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据乘法公式去小括号并合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当，时，原式． 15. “项目式学习”是一种新型学习方式，请根据下列材料，完成以下任务： 【背景】2024年国家对青少年电子产品的管理进一步细化，强制推行“青少年模式”：青少年应控制电子产品使用，非学习目的的使用单次不宜超过15分钟，周末累计不宜超过1小时． 【素材】某校调研了七年级（1）班同学周末电子产品的使用时间，并制作了如下两幅不完整的统计图（A．分钟，B．分钟，C．分钟，D．分钟）． 【问题任务】 （1）求扇形统计图中 m 的值，并补全条形统计图 （2）若七年级共有 600 人，根据调查估算周末电子产品使用时长小于 15 分钟学生人数？ （3）若从 D 中随机抽取一名学生，抽到男生的概率为，则 D 中女生有多少人？ 【答案】（1），图见解析 （2）120人 （3）3人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息相关联，利用样本估计总体数量，求概率等，解题的关键是从统计图中获取准确信息． （1）先根据C组人数及其所占百分比可得总人数，用B组人数除以总人数可得m的值，总人数乘A组人数所占比例即可补全图形； （2）总人数乘以A组对应百分比可得其人数； （3）用D组人数乘以女生的概率即可得出答案． 【小问1详解】 解：被调查的总人数为（人）， 则， ∴； A组人数为（人）， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估算周末电子产品使用时长小于15分钟学生人数约为120人； 【小问3详解】 解：（人）， 答：D中女生有3人． 16. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出作法），并解答下列问题． （1）作关于直线的轴对称图形； （2）在上画出点P，使得的和最小： （3）求的面积． 【答案】（1）图形见解析 （2）图形见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的性质和网格的特点，分别作出点A、B、C关于直线的对称点、、，然后依次连接即可； （2）连接，交直线于点，则点即为所求； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，连接，交直线于点，连接， ∵点和关于对称， ∴， ∴， ∵ ∴当、、共线时，取得最小值， 故如图点即为所求： 【小问3详解】 解：． 17. 补充完成下列推理过程： 如图，在中，D为线段中点，，求 的取值范围． 解：作交的延长线于点E． ∵， （ ）．（ ） ∵D为线段中点， ∴．（ ） ∵在与中， ∴（ ）， ∴，．（ ） 在中，（ ）（ ）， ∵， ∴（ ）（ ）． ． 【答案】，两直线平行内错角相等，中点的定义，，，全等三角形对应边相等，，，2，7 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 根据平行线的性质得出，证明，得出，．根据三角形三边关系得出，最后代入数据求出结果即可． 【详解】解：作交的延长线于点E． ∵， ．（两直线平行内错角相等） ∵D为线段中点， ∴．（中点的定义） ∵在与中 ， ∴， ∴，．（全等三角形对应边相等） 在中，， ∵， ∴． 故答案为：，两直线平行内错角相等，中点的定义，，，全等三角形对应边相等，，，2，7． 18. 如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． （1）当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为      ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； （2）如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）①；；②； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【小问1详解】 解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分； ， ∴． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． 【小问2详解】 解：如图，在的上方有一点O，平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若是一个完全平方式，则_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式得出，再求出答案即可． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， ， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有：和． 20. 已知的计算结果中不含x的一次项，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，先把多项式展开，然后令的一次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：多项式不含的一次项， ， 解得． 故答案为：2． 21. 如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线性质，全等三角形判定和性质等．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再证明，继而得到后计算即可． 【详解】解：连接， ， ∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：． 22. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如，，，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”． （1）当时，______； （2）不超过1010的所有“和谐数”之和为______． 【答案】 ①. 14 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解“和谐数”的定义是解题的关键． （1）由题意可得，再由“和谐数”的定义得到，据此可得答案； （2）设两个连续的偶数为（k为自然数），则可得，则“和谐数”一定是4的奇数倍，进而可得到不超过1010的所有“和谐数”一共有个，据此求和即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：14； （2）设两个连续的偶数为（k为自然数）， ∴ ， ∵k为自然数， ∴一定时大于0的奇数， ∴“和谐数”一定是4的奇数倍， ∵， ∴不超过1010的所有“和谐数”一共有个， ∴不超过1010的所有“和谐数”之和为， 故答案为：． 23. 如图，在四边形中，，，，于点，交于点，若，，求______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 延长交于点，在上截取，连接，先根据三角形内角和得出，然后根据三角形全等得出，从而得到，所以，然后证明和全等，从而求得，最后根据面积的差补求出两个三角形的面积差即可． 【详解】解：延长交于点，在上截取，连接，如图： ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 故答案为：10． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 随着科技的发展，无人机被广泛使用到实际生活中．为精准预测作业时间，提高整体运营效率，某偏远地区使用无人机配送物资，已知无人机从基地出发，飞行过程中，剩余电量y（毫安时）与飞行时间x（分钟）的变化情况如下表： 飞行时间x（分钟） 0 10 20 30 … 剩余电量y（毫安时） 6000 5000 4000 3000 … （1）根据表格中的数据，请直接写出y与x的关系式．（不要求写出自变量的范围） （2）若基地距离配送目的地需要飞行45分钟，问无人机是否能在电量耗尽前到达？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若要保证无人机能往返（假设往返时间相同），则无人机出发时电量至少需要多少毫安时？ 【答案】（1） （2）无人机是否能在电量耗尽前到达，理由见解析 （3）9000毫安时 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式． （1）根据图象设出函数解析式，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中函数解析式求出剩余电量y，根据y与0的大小比较可得出结论； （3）由（2）知，单程需要飞行45分钟，需要电量（毫安时），则往返需要飞行90分钟，需要电量（毫安时）． 【小问1详解】 解：由表格中的数据可知，飞行时间x（分钟）与剩余电量y（毫安时）之间满足的函数关系是一次函数， 设， 把、代入解析式得： ， 解得， ∴y与x的关系式为； 【小问2详解】 解：无人机是否能在电量耗尽前到达，理由如下： y与x的关系式为， 当时，， ∴无人机是否能在电量耗尽前到达； 【小问3详解】 解：由（2）知，单程需要飞行45分钟，需要电量（毫安时）， ∴往返需要飞行90分钟，需要电量（毫安时）， 答：无人机出发时电量至少需要9000毫安时． 25. 【基于教材】 （1）如图1，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，分别表示图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是 ； 【知识迁移】 （2）为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》文件精神，成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案，其中阴影部分种植番茄．若，，求种植番茄的面积； 【拓展应用】 （3）将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．若四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，求长方形纸片的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）12 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）根据两个图形中阴影部分面积相等，得出答案即可； （2）用大正方形面积减去两个直角三角形的面积，和一个正方形的面积，得出阴影部分的面积即可； （3）设长方形的两边分别为m、n，得出正方形的边长为，正方形的边长为，根据四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，得出，，求出，，得出答案即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为：， 图2中阴影部分的面积为：， ∴可以得到的等式为； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴种植番茄的面积为： ； （3）设长方形的两边分别为m、n， ∵长方形纸片和正方形纸片的周长相等， ∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， ∵四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16， ∴， ， 即，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴长方形纸片的面积为12． 26. 【问题情境】 （1）如图1，在与中，，，，连接，，且点在线段上． 【问题解决】 ①求证：； ②连接，若，的面积为，求的长度； 【问题迁移】 （2）如图2，在中，，．是内一动点，作射线，连接，作交射线于点（点在右侧），在射线上截，连接．当时，用等式表示，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴； ②； （2）或 理由如下： 当点在斜边上的高的左侧时，延长，过点作于点，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 当点在斜边上的高的右侧时，过点作于点，如图所示： 同理可得： ∴， 即：. 综上：或. 【解析】 【分析】（1）①根据证明，得出即可； ②根据等腰三角形的性质得出，根据全等三角形的性质得出，，证明，根据三角形面积公式得出，求出，即可得出答案； （2）延长，过点作于点，证明，得出，，证明，得出，即可证明，分点在斜边上的高的左侧或右侧两种情况讨论，根据，即可得出结论． 【详解】（1）①略； ②∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，负值舍去， ∵， ∴； （2）略. 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $