2025-2026学年北师大版数学九年级上学期期中模拟卷03

2025-2026学年北师大数学九年级上学期期中模拟卷03 （考试时间：100分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试范围：（特殊平行四边形、一元二次方程、概率的进一步认识、图形的相似、投影与视图、反比例函数） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）（24-25九年级上·山东临沂·期中）方程的根为（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）（24-25九年级上·四川成都·期中）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共10个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 3．（本题3分）（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）（24-25九年级·黑龙江·期中）由若干个相同小正方体搭成的几何体，其主视图和左视图如图所示．则搭成这个几何体至少需要小正方体的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（本题3分）（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，，，，，则的长为（ ）. A．5 B．7 C．10 D．无法确定 7．（本题3分）（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）如图，矩形的顶点，点A，C在坐标轴上，E是边上一点，将沿折叠，点B刚好与边上点D重合，过点E的反比例函数的图象与边交于点F，则线段的长是（   ） A． B．8 C． D．5 8．（本题3分）（24-25九年级上·四川·期中）关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（   ） A．1或5 B．1或 C． D．5 9．（本题3分）（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，、分别为、边上的点，，点为边上一点，连接交于点，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（本题3分）（24-25九年级上·江苏·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则取值范围是 12．（本题3分）（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在方格纸上有和，则与的面积比为 ． 13．（本题3分）（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球 ． 14．（本题3分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 15．（本题3分）（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，，则菱形的周长为 ．    16．（本题3分）（24-25九年级上·江西·期中）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ． 17．（本题3分）（24-25九年级上·重庆·期中）若使关于的分式方程有整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数的和为 ． 18．（本题3分）（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，在矩形中，，分别为边上的点，将四边形沿翻折至四边形，点恰好落在边的中点处，则的长为 ，的长为 ． 三.解答题（本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）解下列方程： (1) (2) 20．（本题6分）（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 21．（本题6分）（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）暑期奥运点燃了我们的运动热情，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“奥运”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求每天销售量的平均增长率； (2)“奥运”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获利920元？ 22．（本题8分）（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，P是正方形内一点，连接，将绕点B顺时针旋转到的位置，连结． (1)判断的形状并证明； (2)若，，，求的长． 23．（本题8分）（24-25九年级上·四川·期中）某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题． (1)在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为 人，在扇形统计图中，m的值为 ；并补全条形统计图； (2)根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有 人？ (3)现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率． 24．（本题10分）（24-25九年级上·湖南永州·期中）我们约定：在平面直角坐标系中，若点满足，我们就说点是该平面直角坐标系内的“大九中”点，若函数图象上存在一个或以上的“大九中”点的函数我们称之为“幸福函数”．根据约定请解决以下问题： (1)若反比例函数是“幸福函数”，请问是否是该函数图象上的“大九中”点？（填“是、否”即可） (2)若函数是“幸福函数”且函数图象上有两个“大九中”点，求的取值范围； (3)若反比例函数的图象上存在两个“大九中”点为，且，求的值． 25．（本题10分）（24-25九年级上·山东济南·期中）（1）在和中，． ①如图1，当与重合时， 　 　； ②如图2，绕点C逆时针旋转一定角度，连接，的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，E为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，当时，求的长． 26．（本题12分）（24-25九年级上·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点． ①当时，求点的坐标； ②存在以为底边的等腰三角形吗？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大数学九年级上学期期中模拟卷03 （考试时间：100分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试范围：（特殊平行四边形、一元二次方程、概率的进一步认识、图形的相似、投影与视图、反比例函数） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）（24-25九年级上·山东临沂·期中）方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握开平方法是解本题的关键．两边直接开平方即可得解． 【详解】解：， 两边直接开平方得：，， 故选：C． 2．（本题3分）（24-25九年级上·四川成都·期中）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共10个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】C 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，所以可以认为摸到红球的概率是0.4，用小球的总数乘以摸到红球的概率即可求出袋中红球的个数． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴口袋中红球可能有（个）． 故选：C． 3．（本题3分）（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解析式形如的函数叫做关于的反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义即可得出答案． 【详解】解：A、不是反比例函数，不符合题意； B、是反比例函数，符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、不是反比例函数，不符合题意， 故选：B． 4．（本题3分）（24-25九年级·黑龙江·期中）由若干个相同小正方体搭成的几何体，其主视图和左视图如图所示．则搭成这个几何体至少需要小正方体的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【知识点】由三视图，判断小立方体的个数 【分析】本题主要考查对三视图掌握程度和灵活运用能力，从左视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：底层正方体最多有2个正方体，第二层最少有1个正方体，所以组成这个几何体的小正方体的个数最少有3个． 故选：A． 5．（本题3分）（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．由题意得，则可判断； 【详解】解：∵， ∴，即； 若或， ∵两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似； ∴能判定与相似，A、B不符合题意； 若， ∵两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似； ∴能判定与相似；D不符合题意； 当不能判定与相似；C符合题意； 故选：C 6．（本题3分）（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，，，，，则的长为（ ）. A．5 B．7 C．10 D．无法确定 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理列比例式成为解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入相关数据计算即可解答． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ． 故选B． 7．（本题3分）（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）如图，矩形的顶点，点A，C在坐标轴上，E是边上一点，将沿折叠，点B刚好与边上点D重合，过点E的反比例函数的图象与边交于点F，则线段的长是（   ） A． B．8 C． D．5 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】首先根据翻折变换的性质，可得，；然后设点E的坐标是，在中，根据勾股定理，求出的长度，进而求出k的值，再把F点的纵坐标代入解析式可求得F点的坐标，即可求得的长． 【详解】解：由题意得，， 沿折叠，点B刚好与边上点D重合， ，， ，， ， ， 设点E的坐标是， 则，， ， ， 解得， ∴点E的坐标是， 设反比例函数， ， ∴反比例函数解析式为， ∵F点纵坐标为8， ，解得，即， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，反比例函数与几何的综合，把握折叠的不变性是解题的关键． 8．（本题3分）（24-25九年级上·四川·期中）关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（   ） A．1或5 B．1或 C． D．5 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据根与系数的关系得到，，整理代入，可求得的值，再根据判别式得出即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两实根， ∴，， ， ∴，解得：， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； 故选：C． 9．（本题3分）（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，、分别为、边上的点，，点为边上一点，连接交于点，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据各选项证明相应的相似三角形，然后根据相似三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴，， ∴无法得到，故B不符合题意； C．∵， ∴， ∴，， ∴，即，故C符合题意； D．∵， ∴， ∴，故D不符合题意． 故选C． 10．（本题3分）（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、坐标与旋转规律问题 【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴旋转4次后回到原来的位置， ∵， ∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限， 如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故第2023次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（本题3分）（24-25九年级上·江苏·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则取值范围是 【答案】/ 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解本题的关键．根据反比例函数的性质，当图象在第二、四象限时，，解不等式即得答案． 【详解】解：因为反比例函数的图象在第二、四象限， 所以， 解得． 故答案为：． 12．（本题3分）（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在方格纸上有和，则与的面积比为 ． 【答案】4 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的面积比，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比（或边长比）的平方是解题关键． 先证明，再根据相似三角形的面积比等于边长比的平方可以得解． 【详解】解：由图可知：， ， 故答案为：4． 13．（本题3分）（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球 ． 【答案】个 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到黑球的频率稳定于0.4，得到摸到黑球的概率为0.4，设红球的个数为个，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，摸到黑球的概率为0.4，设红球的个数为个， 则：， 解得：； 故答案为：8个． 14．（本题3分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义．当，即时，原方程为一元一次方程，解得可得出x的值，进而可得出符合题意；当，即时，利用根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，进而可得出且．综上，即可得出m的取值范围． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当，即时，， 解得：， ∴且． 综上所述，m的取值范围是． 故答案为：． 15．（本题3分）（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，，则菱形的周长为 ．    【答案】20 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质及勾股定理． 利用菱形的性质得出直角三角形和直角边，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 由勾股定理得， ∴菱形的周长为， 故答案为：20． 16．（本题3分）（24-25九年级上·江西·期中）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 17．（本题3分）（24-25九年级上·重庆·期中）若使关于的分式方程有整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或或，即可得到或或或或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得且，进而得到满足条件的所有整数，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或或或或， 即或或或或或， ∵， ∴， ∴， ∴或或或或， 又∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 18．（本题3分）（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，在矩形中，，分别为边上的点，将四边形沿翻折至四边形，点恰好落在边的中点处，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 12 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由折叠的性质可知，在中，利用勾股定理即可求出的长；过点E作于点G，证明可得，，求出和的长，再证明得到，求出的长，进而可求出的长，在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设，则， 由折叠的性质可知， 点在边的中点处， ， 在中，， ， 解得， 故的长为12； ， 过点E作于点G， 又， 四边形是矩形， 同理四边形是矩形， ， ，， ， 又， ， ，， 即，， ，， ， ， ， ， 即， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质，正确作出辅助线是解题的关键． 三.解答题（本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再用提公因式法因式分解求解可得； （2）直接利用十字相乘法因式分解求解可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得：，； （2）解：， ， 或， 解得：，． 20．（本题6分）（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，则，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，则，求出，然后通过线段和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21．（本题6分）（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）暑期奥运点燃了我们的运动热情，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“奥运”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求每天销售量的平均增长率； (2)“奥运”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获利920元？ 【答案】(1) (2)55元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，分析题意列出等量关系是解题的关键． （1）设平均增长率为，根据增长率问题列方程解应用题； （2）钥匙扣每件降价y元销售，列出一元二次方程解题． 【详解】（1）解：设每天销售量的平均增长率为， 根据题意得： 解得：，(不合题意，舍去) ∴每天销售量的平均增长率为 （2）解：设将钥匙扣每件降价y元销售， 根据题意得：， 解得：，， 又∵要尽快减少库存， ∴取降价5元，则销售定价为元， ∴将钥匙扣的销售价定为每件55元时，每天可获利920元． 22．（本题8分）（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，P是正方形内一点，连接，将绕点B顺时针旋转到的位置，连结． (1)判断的形状并证明； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)6 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和正方形的性质． （1）根据旋转的性质可得，又旋转角为，然后根据等腰直角三角形的定义判定； （2）根据勾股定理列式求出，先根据旋转的性质求出，再求出，然后根据勾股定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形；证明如下： ∵P是正方形内一点，绕点B顺时针旋转到的位置， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）在等腰中，∵， ∴，， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， 在中， ． 23．（本题8分）（24-25九年级上·四川·期中）某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题． (1)在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为 人，在扇形统计图中，m的值为 ；并补全条形统计图； (2)根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有 人？ (3)现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率． 【答案】(1)40、30，见解析； (2)800； (3)． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率、扇形统计图与条形统计图、用样本估计整体等知识点，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键． （1）用总人数乘以A对应的百分比即可求出“演讲比赛”的人数，再根据四种方案的人数之和等于总人数求出C方案人数，再用C方案人数除以总人数即可得出m的值； （2）总人数乘以样本中B方案人数所占比例即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为（人）， 则C方案人数为（人）， ，即． 补全图形如下： 故答案为：40、30． （2）解：估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约（人）． 故答案为：800． （3）解：根据题意列表如下： a b c d a (b，a) (c，a) (d，a) b (a，b) (c，b) (d，b) c (a，c) (b，c) (d，c) d (a，d) (b，d) (c，d) 由表可知，共有12种等可能结果，其中a同学参加的有6种结果， 所以a同学参加的概率为． 24．（本题10分）（24-25九年级上·湖南永州·期中）我们约定：在平面直角坐标系中，若点满足，我们就说点是该平面直角坐标系内的“大九中”点，若函数图象上存在一个或以上的“大九中”点的函数我们称之为“幸福函数”．根据约定请解决以下问题： (1)若反比例函数是“幸福函数”，请问是否是该函数图象上的“大九中”点？（填“是、否”即可） (2)若函数是“幸福函数”且函数图象上有两个“大九中”点，求的取值范围； (3)若反比例函数的图象上存在两个“大九中”点为，且，求的值． 【答案】(1)是函数图象上的“大九中”点 (2)，且 (3)或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键掌握相关知识，并理解“幸福函数”和“大九中”点的定义． （1）根据“大九中”点的定义判断即可； （2）由函数是“幸福函数”，可得，整理可得，根据题意可得：，即可求解； （3）根据题意可得：，，整理得：，，推出，是方程的两个根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：，， 是函数图象上的“大九中”点； （2）函数是“幸福函数”， ，即， 整理得：， 函数是“幸福函数”且函数图象上有两个“大九中”点， 关于的方程有两个不相等的实数根， 即， 解得：， ， ， ，且； （3）反比例函数的图象上存在两个“大九中”点为，， ，，，， ，， 整理得：，， ，是方程的两个根， ，， 整理得：， 解得：或， 当时，方程为， ，即方程有两个实数根，符合题意； 当时，方程为， ，即方程有两个实数根，符合题意； 综上，或． 25．（本题10分）（24-25九年级上·山东济南·期中）（1）在和中，． ①如图1，当与重合时， 　 　； ②如图2，绕点C逆时针旋转一定角度，连接，的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，E为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，当时，求的长． 【答案】（1）①，②不变，理由见解析；（2） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质即可得到结论； ②根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，过F作于H，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正方形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，得到，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）①在和中，， ∴， ∴， 答案为：； ②的值不变， 理由：在和中，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）连接，过F作于H， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（不合题意舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 26．（本题12分）（24-25九年级上·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点． ①当时，求点的坐标； ②存在以为底边的等腰三角形吗？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②存在，． 【知识点】公式法解一元二次方程、三线合一、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，等腰三角形的性质，解一元二次方程． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①设，则，，根据，得到，解得，据此求出点F的纵坐标，进而求出点F的坐标即可； ②先求出，设直线表达式为，分别求出，，根据等腰三角形的性质求出点C横坐标为，列一元二次方程计算即可． 【详解】（1）解：把点代入得，，解得， 反比例函数的表达式为， 把点，点代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：①设， 平行于轴， ， ， ， ，解得， ， 点的纵坐标为， 把代入得，解得， 点的坐标为； ②存在，．理由如下： 在中，当时，， ∴， 设直线表达式为， 在中，当时，，即； 在中，当时，，即； ∵以为底边的等腰三角形， ∴点C横坐标为， ∵点坐标为， ∴， 整理得：， ， ∴， 解得（舍去），， 此时． 学科网（北京）股份有限公司 $