精品解析：广东省佛山市顺德区拔萃实验学校2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷（10月）

初二第一次适应性测试数学科 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 8的立方根是（ ） A. 2 B. C. D. 512 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，得出8的立方根是2，即可作答． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2， 故选：A． 2. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：，不是无理数，故A选项不符合题意； 不是无理数，故B选项不符合题意； 是无理数，故C选项符合题意； 不是无理数，故D选项不符合题意； 故选：C 3. 如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 7 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据三个正方形的三条边组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于两个较小正方形的面积之和，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的三条边组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积； 故选D． 4. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案． 【详解】解：A、=3，故不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、=，故不是最简二次根式； D、=，故不是最简二次根式； 故选B． 【点睛】本题考查最简二次根式，涉及二次根式的性质，属于基础题型 5. 要使二次根式有意义，的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】由题意得，x+2≥0， 解得，x≥-2， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 6. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据直角三角形的判定方法，即可逐步判断答案． 【详解】A、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； B、设，则，， ， 解得， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、，， ， 解得， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； 故选B． 7. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 8. 如图，为了测量池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点C，使于点A，测得，的长度分别为，，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：C． 9. 如图所示，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧），且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，先根据正方形的性质，得出，则，因为点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧），故点所表示的数为，即可作答． 【详解】解：∵正方形的面积为5 ， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧）， ∴点所表示的数为，即 故选：D 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积＝ ＝ ＝4， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简的结果是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】=4． 故答案为4 【点睛】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根；正数a有一个正的算术平方根， 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． 12. 若某个正数的两个平方根分别是与，则这个正数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了平方根，一个正数的平方根有两个，互为相反数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵某个正数的两个平方根分别是与 ∴ 解得 ∴， 则这个正数为 故答案为：9 13. 已知：a、b、c是△ABC的三边长，且满足|a﹣3|++（c﹣5）2＝0，则该三角形的面积是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据绝对值，二次根式，平方的非负性求出a,b,c的值，再根据勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形，故可求解. 【详解】解：由题意知a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴a2+b2＝c2， ∴三角形的形状是直角三角形， 则该三角形的面积是3×4÷2＝6． 故答案为6． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知实数的性质. 14. 如图：一架云梯AB长13米，底端离墙的距离BC为5米，当梯子下滑到DE时，米，则______米． 【答案】 【解析】 【分析】分别在直角三角形ABC中，直角三角形CDE中，应用勾股定理，即可求解． 【详解】∵在直角三角形ABC中，AB=13， BC=5， ∴, ∵， ∴CD=AC-AD=12-2=10， 在直角三角形CDE中，DE=AB=13， ∴， ∴BE=CE-CB=， 故答案是： 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15. 如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m（容器厚度忽略不计）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开−−−最短路径问题．如图，将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，过作交的延长线于D，则四边形为矩形，连接交于F，则即为最短距离． ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处， ∴，， ∴在直角中，． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算：： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先化简绝对值，再根据平方差公式进行计算，最后运算减法，即可作答． 【详解】解： 17. 已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，∠CBD=90°，DB=5m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入? 【答案】需要投入资金为7200元 【解析】 【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，连接BD，在直角三角形CBD中由勾股定理可求BC的长，在直角三角形ABD中可求得BA的长，由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解． 【详解】证明：连接BD ∵∠A=90°，∠CBD=90°， ∴△CBD，△ABD为直角三角形， 在Rt△CBD中， BC2 = CD2- BD2 ∴m 在△ABD中，AB2 =BD2-AD2 ∴AB=m ∴四边形ABCD面积 = S△BAD十S∆DBC=∙AD∙AB+∙DB∙ BC=m2， 36×200=7200（元） 所以需要投入资金为7200元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，得出△CBD，△ABD为直角三角形，用勾股定理求出BC，AB的长是解题的关键． 18. 是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题： （1）化简：______，______； （2）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】（1）3；π-3 （2）a-b 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可； （2）由数轴可得a＜b＜0＜c，从而可得c-a＞0，b-c＜0，再进行化简即可． 【小问1详解】 解： =3 =|3-π| =π-3 故答案为：3；π-3． 【小问2详解】 ．解：由数轴得：a＜b＜0＜c， ∴c-a＞0，b-c＜0， ∴ =-（c-a）+c-b =-c+a+c-b =a-b 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握． 19. 某工厂的大门如图所示，其中四边形是长方形，上部是以为直径的半圆，其中米，米，现有辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，问这辆车能否通过厂门？说明理由． 【答案】 解：能通过，理由如下： 设点O为半圆的圆心，则O为的中点，为半圆的半径， 如图，∵直径米， ∴半径米，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∵， ∴能通过． 【解析】 【分析】因为上部是以为直径的半圆，O为中点，同时也为半圆的圆心，为半径，的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出的长度．的长度等于的长度．如果的长度大于2.5米货车可以通过，否则不能通过． 【详解】略 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理求出的长度． 20. 数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． （1）将上述材料补充完整； （2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【答案】（1）；；；；； （2） 解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以． 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义以及实数的大小比较方法解答即可； （2）采取（1）中相同的方法解答即可． 【小问1详解】 解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以； 【小问2详解】 略 21. 如图，有一台风中心以的速度沿东西方向由点移动到点，且台风中心周围以内为受影响区域．已知，点为一海港，且，． （1）___________； （2）海港C会受台风影响吗？若会受到影响，请计算海港C受台风影响的时长． 【答案】（1） （2）港受台风影响，台风影响该海港持续的时间为10小时． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的实际应用． （1）由勾股定理逆定理可证明为直角三角形，且； （2）过点作于点D，由等面积法可求出，即说明海港受台风影响． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，且； 故答案为：； 【小问2详解】 解：海港受台风影响， 过点作， 是直角三角形， ， ， ， ，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； 当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米/小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时长为10小时． 22. 小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的： ， . 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出  ； （2）化简； （3）若，请按照小明的方法求出 的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化． （1）根据例题可得：对式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）根据小明的分析过程，得得，，再整体代入，即可求出代数式的值． 【小问1详解】 解： ； 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ，即， ，， ． 23. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（），AB=DE=a，AC=AE=b，BC=AD=c，，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形的面积，（提示：）梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）如图3，网格中小正方形边长为1， ①点P为已给网格中格点上的点，求的最大值为______． ②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，设与交于点G， ，，，，， ， ， ， ， ， 化简，得； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据勾股定理列方程求解是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）①利用勾股定理求解即可；②根据三角形的面积的两种算法列等式即可求出答案； （3）分别在两个直角三角形中利用勾股定理求出，列出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①点P与格点图左上角或左下角的点的距离最大，的最大值． 故答案为：． ②设边上的高为h， ， ， ， 边上的高为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：设， ， ， 在中， ∵AB=4，，是边上的高， ， 在中， ∵AC=5，， ， ， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二第一次适应性测试数学科 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 8的立方根是（ ） A. 2 B. C. D. 512 2. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 7 D. 25 4. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 5. 要使二次根式有意义，的值可以是（ ） A. B. C. D. 6. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 7. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为了测量池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点C，使于点A，测得，的长度分别为，，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧），且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简的结果是_______． 12. 若某个正数的两个平方根分别是与，则这个正数为______． 13. 已知：a、b、c是△ABC的三边长，且满足|a﹣3|++（c﹣5）2＝0，则该三角形的面积是_____． 14. 如图：一架云梯AB长13米，底端离墙的距离BC为5米，当梯子下滑到DE时，米，则______米． 15. 如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m（容器厚度忽略不计）． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算：： 17. 已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，∠CBD=90°，DB=5m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入? 18. 是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题： （1）化简：______，______； （2）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简． 19. 某工厂的大门如图所示，其中四边形是长方形，上部是以为直径的半圆，其中米，米，现有辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，问这辆车能否通过厂门？说明理由． 20. 数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． （1）将上述材料补充完整； （2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 21. 如图，有一台风中心以的速度沿东西方向由点移动到点，且台风中心周围以内为受影响区域．已知，点为一海港，且，． （1）___________； （2）海港C会受台风影响吗？若会受到影响，请计算海港C受台风影响的时长． 22. 小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的： ， . 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出  ； （2）化简； （3）若，请按照小明的方法求出 的值． 23. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（），AB=DE=a，AC=AE=b，BC=AD=c，，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形的面积，（提示：）梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）如图3，网格中小正方形边长为1， ①点P为已给网格中格点上的点，求的最大值为______． ②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $