3.3 勾股定理的简单应用（同步课件）-2025-2026学年八年级数学上册新苏科版同步教学课件

第3章 勾股定理 3.3 勾股定理的简单应用 苏科版 八年级上册 教学目标 01 能运用勾股定理解决一些简单的实际问题 02 能运用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题 在日常生活中，勾股定理及其逆定理有广泛的应用。 01 课堂导入 01 课堂导入 问 题 甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸， 纵横比分别为2：1和16：9，哪款手机的屏幕面积更大？ ( 1英寸 ≈ 2.54cm ) 解：设甲手机屏幕的长、宽分别为2x英寸，x英寸； 乙手机屏幕的长、宽分别为16y英寸，9y英寸。 根据勾股定理，得( 2x )2 + x2 = 5.52，( 16y )2 + ( 9y )2 = 5.42。 解得：x2 =6.05，y2 = 。 ∴2x2 = 12.1，144y2 ≈ 12.5， ∴甲手机屏幕的面积为12.1平方英寸，乙手机屏幕的面积约为12.5平方英寸。 ∴乙手机屏幕的面积更大。 01 课堂导入 02 知识精讲 例1 《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈 ( 1丈 = 10尺 )，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 02 知识精讲 解：如图，竹子在点A处折断，竹梢点A着地， △ABC是直角三角形。 设BC = x尺，则AB = ( 10 - x )尺， 根据勾股定理，得：x2 + 32 = ( 10 - x )2。 解得：x = 4.55。 答：折断处离地面4.55尺。 B C A 10 - x x 3 证明：∵PA⊥l， ∴△APQ为直角三角形。 根据勾股定理，得PQ2 = PA2 + AQ2。 ∵AQ > 0， ∴PQ2 = PA2 + AQ2 > PA2。 ∴PA < PQ。 02 知识精讲 例2 证明：直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短。 已知：如图，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，Q为直线l上不同于点A的任意一点。求证：PA < PQ。 A P Q l 02 知识精讲 例3 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，设CD = h，AD = m，DB = n。求证：h2 = mn。 证明：在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AC2 = h2 + m2。 在Rt△DBC中，根据勾股定理，得BC2 = h2 + n2。 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2 + BC2 = AB2。 ∵AB = m + n， ∴h2 + m2 + h2 + n2 = ( m + n )2。 ∴h2 = mn。 C B A D m n h 探 究 03 知识精讲 如图，在数轴上点B表示，点C表示……你能在数轴上画出表示的点吗？试写出a99的值。 解：a1 = ； a2 = ； a3 = = 2； a4 = ； a5 = ；…… a99 = = 10。 拓 展 03 知识精讲 1. 如图，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，请在正方体表面上画出蚂蚁要爬行的最短路程。 A B a A B a a a 解：最短路程 = AB = = a。 拓 展 03 知识精讲 2. 如图，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，请在正方体表面上画出蚂蚁要爬行的最短路程。 解：分三种情况讨论： ① AB = = ； B A a b c A B a c b 03 知识精讲 ② AB = = ； B A a b c A B a b c 03 知识精讲 ③ AB = = ； 综上，最短路程 = ， 即最短路程 = 。 B A a b c A B a c b 拓 展 03 知识精讲 3. 如图，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，请在圆柱表面上画出蚂蚁要爬行的最短路程。 A B h 2r C 解：分两种情况讨论： ① AC + BC = 2r + h； 03 知识精讲 ②圆柱的侧面展开图是矩形： AB = ； 综上，最短路程 = min{ 2r + h，}。 A B h 2r C A B A h πr C 正方体、长方体中的最短路径问题： 正方体中，从A到B的最短路程 = a； 长方体中，从A到B的最短路程 = 。 03 知识精讲 03 知识精讲 圆柱中的最短路径问题： 从A到B的最短路程 = min{ 2r + h，}。 03 典例精析 题型一 勾股定理的简单应用： 例1、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 解：如图，BC = 5尺，△ABC是直角三角形， 设AC = x尺，则AB = ( x + 1 )尺， 根据勾股定理，得x2 + 52 = ( x + 1 )2， 解得：x = 12，∴x + 1 = 13， 答：这个水池的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺。 x x + 1 5 B C A 03 典例精析 题型一 勾股定理的简单应用： 例2、明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺 ( AC = 1尺 )，将它往前推进两步 ( EB = 10尺 )，此时踏板升高离地五尺 ( BD = 5尺 )，求秋千绳索 ( OA或OB ) 的长度。 解：设OA = OB = x尺， ∵EC = BD = 5尺，AC = 1尺， ∴EA = EC - AC = 4尺，OE = OA - AE = ( x - 4 )尺， 根据勾股定理可得：x2 = ( x - 4 )2 + 102， 解得：x = 14.5， 答：秋千绳索的长度是14.5尺。 03 典例精析 题型二 逆定理的简单应用： 例3、某企业计划对一块四边形空地进行绿化。如图，在四边形ABCD中，∠A = 90°，AB = 8米，AD = 6米，CD = 26米，BC = 24米，若每平方米绿化的费用为60元，请预计绿化的费用。 解：如图，连接BD， 在Rt△ABD中，BD2 = AB2 + AD2 = 82 + 62 = 102， 在△BCD中，∵BD2 + BC2 = 102 + 242 = 262 = CD2， ∴△BCD是直角三角形，∠CBD = 90°， 03 典例精析 题型二 逆定理的简单应用： 例3、某企业计划对一块四边形空地进行绿化。如图，在四边形ABCD中，∠A = 90°，AB = 8米，AD = 6米，CD = 26米，BC = 24米，若每平方米绿化的费用为60元，请预计绿化的费用。 ∴S四边形ABCD = S△ABD + S△BCD = AB·AD + BC·BD = × 6 × 8 + × 10 × 24 = 24 + 120 = 144 ( 平方米 )， ∴需费用60 × 144 = 8640 ( 元 )， 答：预计绿化的费用8640元。 03 典例精析 题型二 逆定理的简单应用： 例4、如图，孙师傅在三角形铁片ABC中剪下△ABD，且∠ADB = 90°， AD = 9cm，BD = 12cm。 ( 1 ) 求AB的长； ( 2 ) 若BC = 36cm，AC = 39cm，求图中阴影部分的面积。 解：( 1 ) ∵∠ADB = 90°，AD = 9cm，BD = 12cm， 在RtABD中，由勾股定理得： AB = = 15 ( cm )； 03 典例精析 题型二 逆定理的简单应用： 例4、如图，孙师傅在三角形铁片ABC中剪下△ABD，且∠ADB = 90°， AD = 9cm，BD = 12cm。 ( 1 ) 求AB的长； ( 2 ) 若BC = 36cm，AC = 39cm，求图中阴影部分的面积。 ( 2 ) ∵AB2 + BC2 = 152 + 362 = 225 + 1296 = 1521， AC2 = 392 = 1521， ∴AB2 + BC2 = AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC = 90°， ∴S阴影 = AB·BC - AD·BD = × 15 × 36 - × 9 × 12 = 216 ( cm2 )。 03 典例精析 题型三 最短路径问题： 例5、如图，有一个棱长为1m且封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A爬到顶点B，求这只昆虫沿表面爬行的最短路程。 B A 解：如图，展开后由勾股定理得： 最短路程 = AB = = ( m2 )。 B A 03 典例精析 题型三 最短路径问题： 例6、一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm、高是12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，求它所行的最短路线的长。 解：最短路程 = = ( cm )。 B A 3 4 12 03 典例精析 题型三 最短路径问题： 例7、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，求爬行的最短路程。( π取3） 解：① AC + BC = 8 + 4 = 12 ( cm )； ②如图，沿AC将圆柱的侧面展开， BC = = 2π ≈ 6 ( cm )， 在Rt△ABC中，AB = = 10cm； ∵12m > 10cm， ∴最短路线的长为10cm。 C B A C B A C 课后总结 正方体、长方体中的最短路径问题： 正方体中，从A到B的最短路程 = a； 长方体中，从A到B的最短路程 = 。 圆柱中的最短路径问题： 从A到B的最短路程 = min{ 2r + h，}。 3.3 勾股定理的简单应用 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $