3.3 勾股定理的简单应用(1) 课件 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理及逆定理的简单应用，以手机屏幕面积比较等实际问题导入，通过复习定理内容搭建支架，引导学生从设未知数、列方程解决平面问题，逐步过渡到立体图形展开、古代数学名题等复杂情境，构建从基础应用到综合拓展的知识脉络。 其亮点在于融合生活实例与传统文化，如用《九章算术》“折竹问题”培养数学眼光，通过矩形折叠问题渗透方程思想与数形结合，体现数学思维的逻辑性。采用变式训练与分层练习，小结明确逻辑推理、直观想象等核心素养，助力学生建立模型意识，教师可借助系统案例提升教学效率。

3.3 勾股定理的简单应用（1） 勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言: a b c A B C 在Rt△ABC中，∠C=90°， 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理逆定理 符号语言: ∵a2+b2=c2 C A B b a c 且∠C=90° 在△ABC中， ∴△ABC是直角三角形， 勾股数： 满足关系a2+ b2=c2的三个正整数a、b、c ，称为勾股数. 例如：（3、4、5） （6、8、10） （5、12、13） 在日常生活中,勾股定理及其逆定理有广泛的应用 . 甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，纵横比分别为2:1和16:9，哪款手机的屏幕面积更大? (1英寸=2.54cm) 解：设甲手机屏幕的长、宽分别为2x英寸、x英寸; 乙手机屏幕的长、宽分别为16y英寸、9y英寸. 由勾股定理得， (2x)2+x2=5.52 (16y)2+(9y)2=5.42 ∴ x2=6.05，y2= ∴甲手机屏幕的面积为12.1平方英寸， 乙手机屏幕的面积约为12.5平方英寸， ∴乙手机屏幕的面积更大 2x x 16y 9y 5.5 5.4 例1、有一个棱长为1米且封闭的正方形盒子（如图），一只蚂蚁从顶点A向顶点B爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？ B A B A 变式1.如图是一大厦的柱子，它是圆柱形的 ，它的高是8米，底面半径是2米，一只壁虎在A点，想要吃到B点的昆虫，它爬行的最短距离是多少？ （圆周率取3） A B · A B 8 2×3×2 6 C 10 变式2.葛藤是一种多年生藤本植物，为获得更多的阳光和雨露，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上.如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是12cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高9cm时，这段葛藤的长是多少? B A 12cm 9cm 15cm A D B C 变式3、欲把一根70cm的木棍放在长、宽、高分别50cm、30cm、40cm的木箱中，能否放进去?请说明理由. 答：能放进去 在Rt△ADC中， ，AC=DC=50cm 由勾股定理得， 解：在Rt△DBC中， ，DB=40cm，BC=30cm， 由勾股定理得，DC=50cm 例2.《九章算术》中有一个“折竹”问题: “今有竹高一丈，末折抵地， 去根三尺，问折者高几何?” 题意是: 一根竹子原高1丈 (1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高? 解：如图，竹子在点B处折断，竹梢点A 着地，△ABC是直角三角形. 设BC的长为x尺，则AB的长为(10-x)尺. 由勾股定理得， x2+32 = (10-x)2 解得 x = 4.55 答：折断处离地面4.55尺. 变式、《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．则水深 尺；芦苇长 尺． 12 13 设AC=x，则AB’=x+1 x2+52 =（x+1）2 x = 12 x x+1 1 5 例3、已知：如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长. 在Rt△ABF中， 解：设EC=x cm，则DE=(8-x)cm， 在矩形ABCD中，AD=BC=6， ∠B=∠C=90º ∴由折叠知：AF=AD=10，EF= DE=8-x 解得 x = 3 ∴FC=BC－BF=4 在Rt△EFC中，由勾股定理得： 答：EC长为3cm. ∴ BF = 6 4 6 10 x 10 8 E F D C B A 8-x 8-x 变式、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积. D C B A D' F 4 8 x x 8-x E 例4、铁路上A、B两站相距25km，C、D为两村庄DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处? 分析：几何应用问题重在将实际问题转化为数学问题，此题可设AE=x km，再运用勾股定理建立方程 解：设AE=x km，则BE=(25-x)km ∵CE=DE， ∴CE2=DE2 由勾股定理得152+x2 = (25-x) 2+102 即 500-50x = 0 ， ∴ x = 10 答：E站应建在距A站10km处. 15 10 x 25－x A D C B 变式1、如图，点A、B分别表示两个居民小区．若直线 l 表示燃气管道，点A到直线 l 的距离AC=10米，点B到直线 l 的距离BD=20米，且CD=40米，欲在其上建1个泵站，使从该站向2个小区输气的管道总长最短，试求出这个最短长度. B D C A l 10 20 40 A’ 10 10 H 40 50 变式2、在一棵树的3米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树3米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，问这棵树有多高？（画出示意图并求解） 3 3 x-3 9-x B D A C 练习1. 某港口O位于东西方向的海岸线上.甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行 .甲船每小时航行32nmile(nmile为海里)，乙船每小时航行24nmile.它们离开港口半小时后分别位于点A，B处，且相距20nmile.如果甲船沿北偏东45°方向航行，那么乙船沿哪个方向航行? 16 12 20 45° 45° 2. 如图，育苗棚的顶部是矩形，与水平地面的倾角是30°，求育苗棚顶部塑料薄膜的面积(结果精确到0.1m2) 2 202=40 3. 如图，△ABC是小新家门口的一块空地，三边的长分别是AB=13米，BC=14米，AC=15米，现准备以每平方米50元的单价请承包商种植草皮，问共需多少费用? 分析：此题首先要解决△ABC的面积，为此，可考虑作AD⊥BC于D. 设BD=x，则CD=14－x 解：过A作AD⊥BC于D B C D A 则AD2=AB2－BD2=AC2－CD2. ∴132－x2=152－(14－x)2， ∴ x = 5 即BD=5 ∴AD2=144 ∴AD=12 ∴费用84×50=4200元. 4、一架消防队的梯子长25m，在一次火灾中，梯子的底部离建筑物15m，此时，梯子最高能到多少米？ 　　如果每层楼高4m，要想救上一层的人，梯子的底部要向楼的方向推进多少米？ E D C A B （1）勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的关系，已知直角三角形中任意两边就可以依据勾股定理求出第三边.在实际问题中若存在现成的直角三角形，就可以直接运用勾股定理解决问题. 回顾与反思： （2）涉及面积计算往往需要添加辅助线(高)来构造直角三角形，从而运用勾股定理求得相应的线段，进而求出所需面积. 课堂小结： 1.注意：解题时往往需要先找出或者构造直角三角形. 2.思想方法：分类思想、方程思想、数形结合思想 3.核心素养：逻辑推理 数学抽象 直观想象 $