第1部分 第4章 第6节 图形的相似-【中考快车道】2026年中考数学总复习学生用书Word

第六节　图形的相似 考点一　比例线段 1．比例线段定义：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的基本性质 (1)基本性质：＝⇔ad＝____________________________________(b，d≠0)． (2)合比性质：＝⇔＝(b，d≠0)． (3)等比性质：＝＝…＝(b，d，…，n≠0)⇔＝(b＋d＋…＋n≠0)． 3．黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝＝≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 考点二　平行线分线段成比例定理 1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图所示，若l3∥ l4∥ l5，则＝． 2．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图所示，若AB∥ CD，则＝． 考点三　相似三角形的性质和判定 1．相似三角形的判定 (1)定义：对应角____________，对应边________的两个三角形相似．对应线段的比叫做________． (2)预备定理：________于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． (3)判定定理 ①________分别相等的两个三角形相似． ②两边________且________相等的两个三角形相似． ③三边________的两个三角形相似． 2．相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角________，对应边成________． (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于________． (3)相似三角形对应线段的比等于______，面积的比等于________． 考点四　图形的位似 1．定义：对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点叫做________，这时相似比又称为________． 2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于________． 1．下列长度的线段中，不能构成比例的是(　　) A．3，4，6，2 B．4，5，6，10 C．1， D．4，12，9，3 2．(青岛版九上P25习题1.3拓展与延伸T4变式)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，则S△ADE∶S△ABC的值是(　　) A． B． C． D． 3．(人教版九下P31练习T1改编)如图，a∥b∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，那么下列式子中不成立的是(　　) A．EC∶CG＝5∶1 B．EF∶FC＝1∶1 C．EF∶FC＝3∶2 D．EF∶EC＝3∶5 4．(人教版九下P40例6改编)小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度．测量时，使直角边DE保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DF与点A在同一条直线上．测得边DE离地面的高度GB为1.4 m，点D到AB的距离DG为6 m(如图)．已知DE＝30 cm，EF＝20 cm，那么树AB的高度等于(　　) A．4 m B．5.4 m C．9 m D．10.4 m 5．如图，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的．任取一点O，连接OA，OB，OC． 并取它们的中点D，E，F，得△EDF，下列说法： ①△ABC与△DEF是位似图形； ②△ABC与△DEF是相似图形； ③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1； ④△ABC与△DEF的面积比为4∶1． 其中正确的有_____． 命题点1　比例线段 【典例1】　如果＝，那么的值等于(　　) A． B． C． D．2 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解． 【典例2】　(2024·菏泽三模)如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是(　　) A．1.5 B．6 C．9 D．12 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　应用平行线分线段成比例定理解决问题的方法：(1)若已知条件中有平行，求两条线段的比，常考虑应用平行线分线段成比例性质求解；(2)应用时，看清平行线组，找准平行线组截得的对应线段和对应边． [对点演练] 1．已知＝＝＝，则＝(　　) A． B． C． D． 2．(2024·沂南县一模)如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________cm． 命题点2　相似三角形的性质和判定 【典例3】　(2023·菏泽)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF． 【问题解决】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H． 【类比迁移】 (3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　三角形相似的判定思路 (1)有平行截线→用平行线的性质找等角． (2)有一对等角→找另一对等角或该角的两边对应成比例． (3)有两边对应成比例→找夹角相等或第三边对应成比例． (4)直角三角形→找一对锐角相等或两条边对应成比例． (5)等腰三角形→找顶角相等或一对底角相等或底和腰对应成比例． [对点演练] 3．(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是(　　) A．1∶3 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶9 4．(2024·陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为(　　) A．2 B．3 C． D． 命题点3　图形的位似 【典例4】　(2024·浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(　　) A．(－4，8) B．(8，－4) C．(－8，4) D．(4，－8) [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k． [对点演练] 5．(2024·四川凉山州)如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是(　　) A．90 cm2 B．135 cm2 C．150 cm2 D．375 cm2 6．[易错题](2024·嘉祥二模)△AOB三个顶点的坐标分别为A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是________． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六节　图形的相似 链接教材 基础过关 梳理·必备知识 考点一 2．(1)bc 考点三 1．(1)相等　成比例　相似比　(2)平行　(3)两角　成比例　夹角　成比例　2．(1)相等　比例　(2)相似比　(3)相似比　相似比的平方 考点四 1．位似中心　位似比　2．相似比 激活·基本技能 1．B　2．D　3．B　4．B　5．①②③④ 考点突破 对点演练 典例1　B　[∵，∴3(a－b)＝a，∴a＝b， ∴．故选B．] 典例2　C　[∵AD∥BE∥CF，∴， ∵AB＝4，BC＝8，DE＝3，∴，∴EF＝6， ∴DF＝DE＋EF＝3＋6＝9．故选C．] 对点演练 1．A　[∵，b－3d＋2f≠0， ∴， ∴，故选A．] 2．6　[如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D， ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴， 即，∴BC＝6 cm．故答案为6．] 典例3　解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠ADE＝90°， ∴∠CDF＋∠DFC＝90°， ∵AE⊥DF， ∴∠DGE＝90°， ∴∠CDF＋∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠DFC， ∴△ADE∽△DCF． (2)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°， ∵AE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)， ∴DE＝CF， ∵CH＝DE， ∴CF＝CH， ∵点H在BC的延长线上， ∴∠DCH＝∠DCF＝90°， 又∵DC＝DC， ∴△DCF≌△DCH(SAS)， ∴∠DFC＝∠H， ∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∴∠ADF＝∠H． (3)如图，延长BC到点G，使CG＝DE＝8，连接DG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DCG， ∴△ADE≌△DCG(SAS)， ∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG， ∵AE＝DF， ∴DG＝DF， ∴△DFG是等边三角形， ∴FG＝DF＝11， ∵CF＋CG＝FG， ∴CF＝FG－CG＝11－8＝3， 即CF的长为3． 对点演练 3．D　[∵两个相似三角形的相似比是1∶3， ∴这两个相似三角形的面积比是12∶32＝1∶9．故选D．] 4．B　[∵正方形ABCD，AB＝6， ∴AB＝AD＝CD＝6， ∵四边形CEFG是正方形，CE＝2， ∴CE＝GF＝CG＝2， ∴DG＝CD－CG＝4， 由题意得AD∥GF，∴△ADH∽△FGH， ∴，即，解得DH＝3，故选B．] 典例4　A　[∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2， ∵点B的坐标为(－2，4)， ∴点B的对应点B′的坐标为(－2×2，4×2)，即(－4，8)，故选A．] 对点演练 5．D　[由题意可知，△A1B1C1与△ABC是位似图形，且相似比为，所以△A1B1C1的面积是60÷故选D．] 6．(2，4)或(－2，－4)　[∵△AOB顶点B的坐标为(3，6)，以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小， ∴点B的对应点B′的坐标为或，即(2，4)或(－2，－4)．] 学科网（北京）股份有限公司 $