第1部分 第4章 第5节 锐角三角函数及其应用-【中考快车道】2026年中考数学总复习学生用书Word

第五节　锐角三角函数及其应用 考点一　锐角三角函数的定义 1．锐角三角函数基本定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b． (1)正弦：sin A＝＝． (2)余弦：cos A＝＝． (3)正切：tan A＝＝． ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数． 2．特殊角的三角函数值 α 30° 45° 60° sin α ________ ________ ________ cos α ________ ________ ________ tan α ________ 1 ________ 考点二　解直角三角形 1．解直角三角形：由直角三角形中的________元素，求出其余________元素的过程，叫做解直角三角形． 2．解直角三角形常用的关系 在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a，b，c． (1)三边关系：________； (2)两锐角关系：________； (3)边角之间的关系： sin A＝cos B＝________，cos A＝sin B＝______，tan A＝______，tan B＝______． 考点三　解直角三角形的应用 1．仰角与俯角 (1)仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角． (2)俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角． 2．坡度和坡角 (1)坡度(坡比)：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比，记作i，i＝________． (2)坡角：坡面与水平面的夹角，记作α，i＝________． 3．方向角(或方位角) 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角． 1．(人教版九下P68习题28.1复习巩固T1改编)在△ABC中，a＝12，b＝5，c＝13，则sin A的值为(　　) A． B． C． D． 2．(青岛版九上P43例1改编)计算tan 45°·cos 30°的结果等于(　　) A． B．1 C． D．2 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝60°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan ∠DAC的值为(　　) A． B．1 C． D．2 4．如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为______米． 5．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米(图中点A，B，C，P在同一平面内)，那么大汶河此河段的宽AB为________米． 命题点1　锐角三角函数及其应用 【典例1】　(2024·四川达州)如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan ∠BCD的值为(　　) A．2 B．2 C． D．3 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　三个锐角三角函数值都是直角三角形的两边之比，求三角函数值时一定要分清是哪两条边之比． 【典例2】　计算：(－1)2＋2sin 45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260°． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． [对点演练] 1．∠BAC放在正方形网格纸(小正方形的边长为1)的位置如图，则tan∠BAC的值为(　　) A． B． C． D． 2．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝，cos B＝，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 命题点2　解直角三角形 【典例3】　如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是(　　) A．3 B．6 C．8 D．9 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　科学选择解直角三角形的方法口诀 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便； 已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少； 已知直边求斜边，用除还需正余弦． [对点演练] 3．(2024·泗水县一模)如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝9．在边AC，AB上分别取点D和点E，使DC＝3，∠BDE＝45°，则线段AE的长为(　　) A． B．4 C． D． 4．(2024·曹县一模)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos ∠ADF的值为(　　) A． B． C． D． 命题点3　锐角三角函数的实际应用 【典例4】　(2024·山东)【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1． 【问题解决】(1)计算A，P两点间的距离． (参考数据：sin 64°≈0.90，sin 79°≈0.98，cos 79°≈0.19，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75) 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可． (2)乙小组的方案用到了______．(填写正确答案的序号) ①解直角三角形；②三角形全等． 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【典例5】　(2024·菏泽二模)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管AB＝24 cm，BE＝AB，试管倾斜角α为10°． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度(结果精确到0.1 cm)； (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF(点C，D，N，F在一条直线上)，经测得：DE＝27.36 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度(结果精确到0.1 cm)．(参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18) 　 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型 (1)叠合式 (2)背靠式 解题方法：这两种模型中都有一条公共的直角边，解题时，往往以这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解． [对点演练] 5．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30 m，用高1 m(AC＝1 m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是________m． 6．(2023·聊城)东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520 m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1 200 m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)．求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1 m)． (参考数据：sin 68.2°≈0.928，cos 68.2°≈0.371，tan 68.2°≈2.50，sin 56.31°≈0.832，cos 56.31°≈0.555，tan 56.31°≈1.50) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五节　锐角三角函数及其应用 链接教材 基础过关 梳理·必备知识 考点一 2．　　　　　　 考点二 1．已知　未知　2．(1)a2＋b2＝c2　(2)∠A＋∠B＝90°　 (3)　　　 考点三 2．(1)　(2)tan α 激活·基本技能 1．B　2．C　3．C　4.3　5.74 考点突破 对点演练 典例1　B　[如图，延长BC交格点于点E，∴∠ACE＝∠BCD．连接AE， 由题意，得AE⊥BE，AE＝4，EC＝2， ∴tan ∠BCD＝tan ∠ACE＝，故选B．] 典例2　解：(－1)2＋2sin 45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260° ＝1＋2×＋2 ＝1＋＋3 ＝4＋． 对点演练 1．D　[连接CD，如图． AD＝． ∵2＋2＝2， ∴∠ADC＝90°， ∴tan∠BAC＝．故选D．] 2．C　[∵sin A＝，cos B＝，∠A，∠B都是锐角， ∴∠A＝45°，∠B＝60°， ∴∠C＝75°， ∴△ABC的形状是锐角三角形．故选C．] 典例3　B　[过点A作BC的垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中，sin B＝， ∴AM＝5×＝4， ∴BM＝＝3． 又∵AB＝AC， ∴BC＝2BM＝6．故选B．] 对点演练 3．B　[∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝45°，AB＝， ∵∠BDE＝45°， ∴∠BDE＝∠A， ∵∠DBE＝∠DBA， ∴△BDE∽△BAD， ∴， ∵∠C＝90°，CD＝3，BC＝9， ∴BD＝， ∴， ∴BE＝5， ∴AE＝AB－BE＝4．故选B．] 4．C　[∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5， ∴∠BDC＝∠DBF， 由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF， ∴∠BDF＝∠DBF， ∴BF＝DF， 设BF＝x，则DF＝x，AF＝5－x， 在Rt△ADF中，32＋(5－x)2＝x2， ∴x＝，∴cos ∠ADF＝，故选C．] 典例4　解：(1)如图，过点B作BH⊥AP于点H， ∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin 79°≈0.98，cos 79°≈0.19， ∴AH＝AB·cos 79°≈60×0.19＝11.4， BH＝AB·sin 79°≈60×0.98＝58.8， ∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°， ∴∠APB＝180°－79°－64°＝37°， ∴tan ∠APB＝tan 37°＝≈0.75， ∴PH≈＝78.4， ∴AP＝AH＋PH＝11.4＋78.4＝89.8(米)． 即A，P两点间的距离为89.8米． (2)∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时， ∴∠ADP＝∠EDF， ∴△ADP≌△EDF(ASA)， ∴AP＝EF， ∴只需测量EF即可得到AP长度． ∴乙小组的方案用到了②． 典例5　解：(1)如图，过点E作EG⊥AC于点G， ∵AB＝24 cm，BE＝AB， ∴BE＝8 cm，AE＝16 cm， 在Rt△AEG中，AE＝16 cm，∠AEG＝10°， ∴EG＝cos 10°·AE ≈0.98×16 ≈15.7(cm)， 即CD＝EG≈15.7(cm)， 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为15.7 cm． (2)如图，过点B分别作BH⊥DE，BP⊥FC，垂足分别为H，P， 在Rt△BEH中，BE＝8 cm，∠EBH＝10°， ∴HE＝sin 10°·EB≈1.36(cm)， BH＝cos 10°·EB≈7.84(cm)， ∴HD＝DE－HE＝27.36－1.36＝26(cm)＝BP， ∵∠ABF＝145°， ∴∠PBF＝145°－90°－10°＝45°， ∴BP＝PF＝HD＝26 cm， ∵MN⊥CF，∠NMF＝45°，MN＝8 cm， ∴MN＝NF＝8 cm， ∴DN＝DP＋PF－NF＝7.84＋26－8≈25.8(cm)， 答：线段DN的长度约为25.8 cm． 对点演练 5．15＋1　[如图，延长CD交EF于点G， 由题意得，DB＝AC＝FG＝1 m，CG⊥EF，DC＝AB＝30 m，∠EDG＝60°，∠ECG＝30°， ∵∠EDG是△EDC的一个外角， ∴∠DEC＝∠EDG－∠ECG＝30°， ∴∠DEC＝∠ECD＝30°， ∴ED＝CD＝30 m， 在Rt△EGD中，EG＝ED·sin 60°＝30×(m)， ∴EF＝EG＋FG＝m， ∴该建筑物的高是m，故答案为15＋1．] 6．解：如图，过点P作PE⊥BC于点E，过点A作AD⊥PE于点D，由题意得AB⊥BC，AB＝520 m，BC＝1 200 m，∠PAD＝68.2°，∠C＝56.31°， ∵∠B＝∠BED＝∠ADE＝90°， ∴四边形ADEB是矩形， ∴AD＝BE，AB＝DE， ∵tan ∠PAD＝tan 68.2°＝， ∴2.5＝，即PD＝2.5AD＝2.5BE， ∵tan ∠C＝tan 56.31°＝， ∴1.5＝，即PE＝1.5CE， ∵PE＝PD＋DE＝2.5BE＋520，CE＝1 200－BE， ∴2.5BE＋520＝1.5(1 200－BE)， 解得，BE＝320， ∴PE＝2.5BE＋520＝1 320 m， ∴明珠大剧院到龙堤BC的距离为1 320 m． 学科网（北京）股份有限公司 $