第1部分 第4章 第5节 锐角三角函数及其应用-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

第五节　锐角三角函数及其应用 考点一　锐角三角函数的定义 1．锐角三角函数基本定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b． (1)正弦：sin A＝＝． (2)余弦：cos A＝＝． (3)正切：tan A＝＝． ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数． 2．特殊角的三角函数值 α 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 考点二　解直角三角形 1．解直角三角形：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．解直角三角形常用的关系 在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a，b，c． (1)三边关系：a2＋b2＝c2； (2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边角之间的关系： sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，tan A＝，tan B＝． 考点三　解直角三角形的应用 1．仰角与俯角 (1)仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角． (2)俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角． 2．坡度和坡角 (1)坡度(坡比)：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比，记作i，i＝． (2)坡角：坡面与水平面的夹角，记作α，i＝tan α． 3．方向角(或方位角) 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角． 1．(人教版九下P68习题28.1复习巩固T1改编)在△ABC中，a＝12，b＝5，c＝13，则sin A的值为(　　) A． B． C． D． B　[∵52＋122＝132∴△ABC是直角三角形． ∴sin A＝＝．故选B．] 2．(青岛版九上P43例1改编)计算tan 45°·cos 30°的结果等于(　　) A． B．1 C． D．2 C　[原式＝1×＝．故选C．] 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝60°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan ∠DAC的值为(　　) A． B．1 C． D．2 C　[∵BD＝BA， ∴∠D＝∠DAB， ∵∠ABC＝60°， ∴∠D＝∠DAB＝30°， ∵AC⊥BC， ∴∠C＝90°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝60°， ∴tan ∠DAC＝tan 60°＝． 故选C．] 4．如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为________米． 3　[如图， 由题意得，斜坡AB的坡度：i＝1∶2，AE＝3米，AE⊥BD， ∵i＝＝， ∴BE＝6米， ∴在Rt△ABE中，AB＝＝＝3(米)， 故答案为3．] 5．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米(图中点A，B，C，P在同一平面内)，那么大汶河此河段的宽AB为________米． 74　[由题知， ∠NPC＝∠PCF＝63.6°，∠MPA＝∠BAP＝50°，BC＝EF＝12米，PE＝60米， ∴PF＝PE－EF＝48(米)， 在Rt △PFC中，tan 63.6°＝＝2， ∴CF＝24(米)， ∴BE＝24(米)， 在Rt△APE中，tan 50°＝＝， ∴AE＝50(米)， ∴AB＝AE＋BE＝74(米)． 故答案为74．] 命题点1　锐角三角函数及其应用 【典例1】　(2024·四川达州)如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan ∠BCD的值为(　　) A．2 B．2 C． D．3 B　[如图，延长BC交格点于点E，∴∠ACE＝∠BCD．连接AE， 由题意，得AE⊥BE，AE＝4，EC＝2， ∴tan ∠BCD＝tan ∠ACE＝＝＝2，故选B．] 　三个锐角三角函数值都是直角三角形的两边之比，求三角函数值时一定要分清是哪两条边之比． 【典例2】　计算：(－1)2＋2sin 45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260°． [解]　(－1)2＋2sin45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260° ＝1＋2×＋()2 ＝1＋＋3 ＝4＋． 　应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． [对点演练] 1．∠BAC放在正方形网格纸(小正方形的边长为1)的位置如图，则tan∠BAC的值为(　　) A． B． C． D． D　[连接CD，如图． AD＝＝2，CD＝＝，AC＝＝． ∵(2)2＋()2＝()2， ∴∠ADC＝90°， ∴tan ∠BAC＝＝＝． 故选D．] 2．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝，cos B＝，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 C　[∵sin A＝，cos B＝，∠A，∠B都是锐角， ∴∠A＝45°，∠B＝60°， ∴∠C＝75°， ∴△ABC的形状是锐角三角形． 故选C．] 命题点2　解直角三角形 【典例3】　如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是(　　) A．3 B．6 C．8 D．9 B　[过点A作BC的垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中， sin B＝， ∴AM＝5×＝4， ∴BM＝＝3． 又∵AB＝AC， ∴BC＝2BM＝6． 故选B．] 　科学选择解直角三角形的方法口诀 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便； 已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少； 已知直边求斜边，用除还需正余弦． [对点演练] 3．(2024·泗水县一模)如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝9．在边AC，AB上分别取点D和点E，使DC＝3，∠BDE＝45°，则线段AE的长为(　　) A． 　　　 B．4 C． 　　　 D． B　[∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝45°，AB＝AC＝9， ∵∠BDE＝45°， ∴∠BDE＝∠A， ∵∠DBE＝∠DBA， ∴△BDE∽△BAD， ∴＝， ∵∠C＝90°，CD＝3，BC＝9， ∴BD＝＝3， ∴＝， ∴BE＝5， ∴AE＝AB－BE＝4． 故选B．] 4．(2024·曹县一模)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos ∠ADF的值为(　　) A． B． C． D． C　[∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5， ∴∠BDC＝∠DBF， 由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF， ∴∠BDF＝∠DBF， ∴BF＝DF， 设BF＝x，则DF＝x，AF＝5－x， 在Rt△ADF中，32＋(5－x)2＝x2， ∴x＝， ∴cos ∠ADF＝＝， 故选C．] 命题点3　锐角三角函数的实际应用 【典例4】　(2024·山东)【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1． 【问题解决】(1)计算A，P两点间的距离． (参考数据：sin 64°≈0.90，sin 79°≈0.98，cos 79°≈0.19，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75) 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可． (2)乙小组的方案用到了________．(填写正确答案的序号) ①解直角三角形；②三角形全等． 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． [解]　(1)如图，过点B作BH⊥AP于点H， ∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin 79°≈0.98，cos 79°≈0.19， ∴AH＝AB·cos 79°≈60×0.19＝11.4， BH＝AB·sin 79°≈60×0.98＝58.8， ∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°， ∴∠APB＝180°－79°－64°＝37°， ∴tan ∠APB＝tan 37°＝≈0.75， ∴PH≈＝78.4， ∴AP＝AH＋PH＝11.4＋78.4＝89.8(米)． 即A，P两点间的距离为89.8米． (2)∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时， ∴∠ADP＝∠EDF， ∴△ADP≌△EDF(ASA)， ∴AP＝EF， ∴只需测量EF即可得到AP长度． ∴乙小组的方案用到了②． 【典例5】　(2024·菏泽二模)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管AB＝24 cm，BE＝AB，试管倾斜角α为10°． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度(结果精确到0.1 cm)； (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF(点C，D，N，F在一条直线上)，经测得：DE＝27.36 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度(结果精确到0.1 cm)．(参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18) 　 [解]　(1)如图，过点E作EG⊥AC于点G， ∵AB＝24 cm，BE＝AB， ∴BE＝8 cm，AE＝16 cm， 在Rt△AEG中，AE＝16 cm，∠AEG＝10°， ∴EG＝cos 10°·AE ≈0.98×16 ≈15.7(cm)， 即CD＝EG≈15.7(cm)， 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为15.7 cm． (2)如图，过点B分别作BH⊥DE，BP⊥FC，垂足分别为H，P， 在Rt△BEH中，BE＝8 cm，∠EBH＝10°， ∴HE＝sin 10°·EB≈1.36(cm)，BH＝cos 10°·EB≈7.84(cm)， ∴HD＝DE－HE＝27.36－1.36＝26(cm)＝BP， ∵∠ABF＝145°， ∴∠PBF＝145°－90°－10°＝45°， ∴BP＝PF＝HD＝26 cm， ∵MN⊥CF，∠NMF＝45°，MN＝8 cm， ∴MN＝NF＝8 cm， ∴DN＝DP＋PF－NF＝7.84＋26－8 ≈25.8(cm)， 答：线段DN的长度约为25.8 cm． 　解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型 (1)叠合式 (2)背靠式 解题方法：这两种模型中都有一条公共的直角边，解题时，往往以这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解． [对点演练] 5．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30 m，用高1 m(AC＝1 m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是________m． 15＋1　[如图，延长CD交EF于点G， 由题意得，DB＝AC＝FG＝1 m，CG⊥EF，DC＝AB＝30 m，∠EDG＝60°，∠ECG＝30°， ∵∠EDG是△EDC的一个外角， ∴∠DEC＝∠EDG－∠ECG＝30°， ∴∠DEC＝∠ECD＝30°， ∴ED＝CD＝30 m， 在Rt△EGD中，EG＝ED·sin 60°＝30×＝15(m)， ∴EF＝EG＋FG＝(15＋1)m， ∴该建筑物的高是(15＋1)m， 故答案为15＋1．] 6．(2023·聊城)东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520 m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1 200 m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)．求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1 m)． (参考数据：sin 68.2°≈0.928，cos 68.2°≈0.371，tan 68.2°≈2.50，sin 56.31°≈0.832，cos 56.31°≈0.555，tan 56.31°≈1.50) [解]　如图，过点P作PE⊥BC于点E，过点A作AD⊥PE于点D，由题意得AB⊥BC，AB＝520 m，BC＝1 200 m，∠PAD＝68.2°，∠C＝56.31°， ∵∠B＝∠BED＝∠ADE＝90°， ∴四边形ADEB是矩形， ∴AD＝BE，AB＝DE， ∵tan ∠PAD＝tan 68.2°＝， ∴2.5＝，即PD＝2.5AD＝2.5BE， ∵tan ∠C＝tan 56.31°＝， ∴1.5＝，即PE＝1.5CE， ∵PE＝PD＋DE＝2.5BE＋520，CE＝1 200－BE， ∴2.5BE＋520＝1.5(1 200－BE)， 解得，BE＝320， ∴PE＝2.5BE＋520＝1 320 m， ∴明珠大剧院到龙堤BC的距离为1 320 m． 【教师备选资源】 1．(2023·菏泽)无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC(结果保留根号)． [解]　如图所示： 过点P作 PH⊥AB于点H，过点C作CQ⊥PH于点Q，而 CB⊥AB， 则四边形CQHB是矩形， ∴QH＝BC，BH＝CQ， 由题意可得，AP＝80米，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝70米， ∴PH＝AP sin 60°＝80×＝40(米)，AH＝AP cos 60°＝80×＝40(米)， ∴CQ＝BH＝70－40＝30(米)， ∴PQ＝CQ·tan 30°＝10(米)， ∴BC＝QH＝40－10＝30(米)， ∴大楼的高度BC为30米． 2．(2023·临沂)如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ (参考数据：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625，sin 58°≈0.848，cos 58°≈0.530，tan 58°≈1.6) [解]　如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D， 设AD＝x海里， 由题意得，∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，BC＝6海里， 在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴AD＝CD＝x海里， 在Rt△ABD中，tan ∠ABD＝， ∴BD＝≈＝6＋x， 解得，x＝10， ∵10＞9， ∴如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险． 课时分层评价卷(十八)　锐角三角函数及其应用 (说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共90分) 1．(2024·云南)如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tan A＝(　　) A． B． C． D． C　[∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴tan A＝＝． 故选C．] 2．(2024·天津)cos 45°－1的值等于(　　) A．0 B．1 C．－1 D．－1 A　[cos 45°－1＝－1＝1－1＝0．故选A．] 3．(2024·济宁二模)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则cos ∠AOC的值等于(　　) A． B． C． D．2－ B　[如图，设右下角顶点为点F，取CF的中点E，连接BE，AE．则EB＝，AB＝． ∵CD，BE，AE都是正方形的对角线， ∴∠DCE＝∠BEF＝∠AEG＝∠BEG＝45°． ∴CD∥BE，∠AEB＝∠AEG＋∠BEG＝90°． ∴∠AOC＝∠ABE，△ABE是直角三角形． ∴cos ∠AOC＝cos ∠ABE＝＝＝． 故选B．] 4．(2024·四川雅安)在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)(　　) A．25米 B．25米 C．25米 D．50米 A　[设DC＝x米， 在Rt△ACD中，∠A＝30°， tan A＝，即tan 30°＝＝， 整理得AC＝x米， 在Rt△BCD中，∠DBC＝60°， tan ∠DBC＝，即tan 60°＝＝， 整理得BC＝x米， ∵AB＝50米， ∴AC－BC＝50，即x－x＝50， 解得x＝25， 则这栋楼的高度为25米． 故选A．] 5．已知sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，请利用特殊角三角函数值求sin 75°的值为________． 　[sin 75°＝sin (30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝ ＝， 故答案为．] 6．如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50 m，则这栋楼的高度为________m(结果保留根号)． 50＋50　[由题意，得AD⊥BC， 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝50 m， ∴CD＝AD·tan 60°＝50(m)， 在Rt△ABD中，∠BAD＝45°， ∴BD＝AD·tan 45°＝50(m)， ∴BC＝BD＋CD＝(50＋50)m， ∴这栋楼的高度为(50＋50)m．] 7．(每题5分，共10分)计算： (1)(2024·江苏盐城)|－2|－(1＋π)0＋4sin 30°． (2)(2024·青海)－tan 45°＋π0－|－|． [解]　(1)原式＝2－1＋4× ＝2－1＋2＝3． (2)原式＝3－1＋1－＝2． 8．(10分)(2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan ∠ACB＝1． (1)求BC的长； (2)求sin ∠DAE的值． [解]　(1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8． ∵tan ∠ACB＝1， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14． (2)∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝BC＝7， ∴DE＝CE－CD＝7－6＝1， ∵AD⊥BC， ∴AE＝＝＝， ∴sin ∠DAE＝＝＝． 9．(10分)[跨学科](2024·安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD＝2.50 m．点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求的值．(精确到0.1) 参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75． [解]　过点E作EH⊥AD于点H， 由题意可知，∠CEB＝α＝36.9°，EH＝1.20 m， ∴CE＝≈＝1.60(m)，AH＝AD－CE＝2.50－1.60＝0.90(m)， ∴AE＝＝＝1.50(m)， ∴sin γ＝＝＝0.60， ∵sin β＝sin ∠CBE＝＝cos ∠CEB＝cos α＝0.80， ∴＝≈1.3． 10．(2024·四川眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos ∠CEF的值为(　　) A． B． C． D． A　[∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6，∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处， ∴AF＝AD＝8，EF＝DE，∴BF＝＝＝2，∴CF＝BC－BF＝8－2， 在Rt△EFC中，CE＝DC－DE＝6－EF，由勾股定理，得EF2＝CE2＋CF2， ∴EF2＝(6－EF)2＋(8－2)2，∴EF＝，∴CE＝6－＝， ∴cos ∠CEF＝＝＝， 故选A．] 11．[数学文化](2024·江西)将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan ∠CAB＝________． 　[令AC与BD的交点为O， ∵∠ABD＝∠CDB＝90°， ∴CD∥AB， 又∵∠DAB＋∠ABC＝45°＋45°×3＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC与BD互相平分， ∴OB＝BD． ∵AB＝BD， ∴OB＝AB． 在Rt△AOB中， tan ∠CAB＝＝．] 12．(12分)为了防洪需要，某地溢流坝决定新建一座拦水坝．如图，拦水坝的横截面为四边形ABCD，其中，AD∥BC，斜面AB的坡度i＝3∶4(指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比)，已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32) [解]　如图，过点D作DE⊥BC于点E， 则四边形AFED为矩形， ∴DE＝AF， 在Rt△DEC中，CD＝20米，∠C＝18°， ∵sin C＝，∴DE＝DC·sin C≈20×0.31＝6.20(米)， ∵斜面AB的坡度i＝3∶4，AF＝6.20米， ∴BF≈8.27(米)， ∴AB＝≈10.3(米)， 答：斜坡AB的长度约为10.3米． 13．(12分)[数学文化]“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体．在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图所示的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E，F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41) [解]　过点M作MN⊥AB，垂足为点N． 由题意知，四边形CMNB是矩形． ∴CM＝BN＝1.5米， MN＝CB＝6米， AN＝AB－BN＝6.3－1.5＝4.8(米)． 在Rt△DMN中， ∵tan ∠DMN＝， ∴DN＝tan ∠DMN·MN＝tan 30°×MN＝×6＝2(米)． 在Rt△AEF中， ∵sin ∠AEF＝， ∴AF＝sin ∠AEF·EF＝sin 45°×EF＝×4＝2(米)． ∵AF＋DN＝AN＋DF， ∴DF＝2＋2－4.8 ≈2×1.73＋2×1.41－4.8 ＝3.46＋2.82－4.8 ＝1.48 ≈1.5(米)． ∴中轴上DF的长度为1.5米． 14．(12分)[项目式学习试题]【教材呈现】 人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 如图，在锐角△ABC中，探究之间的关系．(提示：分别作AB和BC边上的高．) 【得出结论】 ＝＝． 【基础应用】 在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，利用以上结论求AB的长． 【推广证明】 进一步研究发现，＝＝不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 请利用图1证明：＝＝＝2R． 【拓展应用】 如图2，四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，CD＝4，∠B＝∠C＝90°．求过A，B，D三点的圆的半径． [解]　【基础应用】 ∵∠B＝75°，∠C＝45°， ∴∠A＝180°－∠B－∠C＝60°， ∵∠C＝45°，BC＝2，＝， ∴＝， 解得AB＝． 【推广证明】 作AD⊥BC于点D，作CE⊥AB于点E，连接AO并延长交⊙O于点F，连接CF，如图所示， ∵＝， ∴a·c sin B＝c·b sin A， ∴＝， 同理可证，＝， ∴＝＝， ∵AF是直径， ∴∠ACF＝90°， ∵∠B＝∠AFC， ∴sin B＝sin ∠AFC＝＝， ∴＝2R， ∴＝＝＝2R． 【拓展应用】 连接DB，如图所示， ∵BC＝3，CD＝4，∠C＝90°， ∴BD＝＝＝5， ∴sin ∠BDC＝＝． ∵∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠ABC＋∠C＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∴sin ∠ABD＝， 作AE⊥CD交CD于点E， 则四边形ABCE是矩形， ∴CE＝AB＝2，AE＝BC＝3， ∴DE＝2， ∴AD＝＝＝， ∴＝＝， ∴过A，B，D三点的圆的半径为． 17 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $