专题05 12个相似三角形模型（重难专练）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以12个相似三角形模型为核心，通过“特征-结论-典例”体系实现从模型识别到综合应用的递进式突破，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A字型|4题型12题|正A（平行得相似）、反A（等角得相似）、字母型（公共边角）、射影定理（直角高分割）|从基础平行模型到特殊直角模型，构建“角-边-比例”推理链| |8字型|2题型6题|正8（平行对顶）、反8（等角对顶）|与A字型形成“共角/对顶角”互补模型，强化图形对称认知| |一线三等角|3题型9题|K字型（三直角）、同侧/异侧（等角共线）|通过角的位置关系拓展相似判定，衔接函数动态问题| |其他模型|3题型15题|内接矩形（比例线段）、旋转（旋转变换）、三平行（多线段平行）|从静态图形到动态变换，融合代数运算与几何证明|

专题05 12个相似三角形模型 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 近三年：近两年湖南中考重点考查相似判定、八大基础模型及对应边、面积比等性质，常结合二次函数、圆综合出题。考题多置于压轴位置，分值为 10 分，既可作为解题桥梁推导线段关系，也可直接结合四边形、圆完成证明计算，难度偏高，是几何核心必考内容。 预测2026年：2026 年相似三角形仍为中考压轴核心几何工具，持续串联几何与代数运算。解答题分值上调，答题规范与分类讨论要求更严。备考优先熟练识别各类经典模型，牢记面积比规律，着重攻克相似与函数、圆融合题型，熟练把几何条件转化为代数方程解题。 考向01 A字型相似 题型1 正A字型模型 特征：共角 + 一边平行于对边（如 DE∥BC） 结论：△ADE ∽ △ABC；对应边成比例 1．如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． (1)求证：； (2)若，求与的面积比． 2．如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型2 反A字型模型 特征：共角 + 不平行，但另一组角相等（如 ∠1=∠2或∠3=∠4或） 结论：△ADE ∽ △ABC（注意对应顶点的顺序变化） 4．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 5．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 6．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 题型3 字母型模型（特殊反A字型模型） 特征：公共角+公共边，2 结论：，核心平方结论： 7．如图，在中，，，，D是的中点，点E在上，分别连接、交于点F．若，则____________________ ． 8．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为___________． 9．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 题型4 射影定理（特殊字母型） 特征：直角三角形斜边上的高分割原三角形 结论：：,②AB2=AC•AD,BD2=AD•CD BC2=AC•CD （口诀：公共边的平方=共线边的乘积） ③AB•BC=BD•AC（面积法） 10．如图，在中，于，求证：． 11．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 考向02 8字型相似 题型5 正8字型模型） 特征：对顶角 + 两边平行（如 AB∥CD） 结论：△AOB ∽ △COD； 13．将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 14．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 15．如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 题型6 反8字型模型） · 特征：对顶角 + 不平行，但另一组角相等（如∠1=∠2或∠3=∠4或） · 结论：△AOB ∽ △DOC 16．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 17．如图，在四边形中，，，与相交于点，线段，，，．试问：与之间有怎样的数量关系？ 18．如图，矩形的对角线、相交于点，过点作交于，连交于，若，的面积为5，求的值． 考向03 一线三等角模型 题型7 K字型模型 特征：一条直线上有三个直角 ∠B = ∠ACE = ∠D = 90° 结论：两侧的三角形相似,△ABC ∽ △CDE,） 特别的，当点C为BD中点时， 19．如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 20．如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（    ） A． B． C．7 D．9 21．如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在上的点D处，则k的值为________． 题型8 同侧一线三等角模型 特征：一条直线上有三个相等的角，且两个三角形在直线的同一侧,C在线段BD之间，∠B = ∠ACE = ∠D =α 结论：①②③当点C为BD中点时， 22．如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 23．如图所示，在中，，，E，D分别是，上的点，且．求证：． 24．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F． (1)求证：；(2)连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由． 题型9 异侧一线三等角模型 特征：一条直线上有三个相等的角，且两个三角形在直线的两侧侧,P在线段AB延长线上,∠1 = ∠2 = ∠3 =α 结论： 25．如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为_________ 26．问题背景：已知的顶点在的边上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．    （1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则 ； 类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值； （2）延伸拓展：当为等腰三角形时，设． （Ⅰ）如图③，当点在线段上运动时，设，，则的表达式为 （结果用，和的三角函数表示）． （Ⅱ）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，求的表达式，写出解答过程． 27．问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2． （1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1S2= ； （2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S1S2的值； （3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α． （Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1S2的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）． （Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1S2的表达式，不必写出解答过程． 考向04 三角形内接矩形模型 题型10 三角形内接矩形模型 特征：三角形内接一个矩形 结论：① ② ③若四边形DEFG为正方形，即= 若假设DG=x 则= 若已知BC、AN长，即可求出x的值。 28．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 29．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长________． 30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）． （1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为　 　（用含t的代数式表示）． （2）当点E落在边BC上时，求t的值． （3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式． （4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值． 考向05 旋转模型 题型11 旋转模型 特征：∆ADE以点A为旋转中心旋转一定角度。 结论： 31．如图，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好在上． (1)求的度数； (2)交于点E，求证：． 32．如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转，连接．在正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转的过程中，的值为____________． 33．综合与实践-问题情境： 如图1，已知在中，分别是上的点，且． (1)操作发现：求证：． (2)深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由． 拓展探究： (3)如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值． 考向06 三平行模型 题型12 三平行模型 特征：三线段平行，AB∥EF∥CD 结论：①；② 34．如图，，与相交于点E，，，点F在上，．求的长； 35．如图，在相对的两栋楼、中间有一堵院墙，甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形．．．甲从点可以看到点处，乙从点可以看到点处．点是的中点．墙高5.5米，米，米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差．（结果精确到0.1米）．    36．如图，在相对的两栋楼中间有一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5.5米，DF=100米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差（结果精确到0.1米） （建议用时：120分钟） 1．如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 4．如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 5．如图，在中，，为边上一点，连接，，以为直径作，是边上一点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 6．如图，在中，，，，点是的中点，点在上，，连接． (1)求证：； (2)的值为 ． 7．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 8．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 9．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 10．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 12个相似三角形模型 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 近三年：近两年湖南中考重点考查相似判定、八大基础模型及对应边、面积比等性质，常结合二次函数、圆综合出题。考题多置于压轴位置，分值均为 10 分，既可作为解题桥梁推导线段关系，也可直接结合四边形、圆完成证明计算，难度偏高，是几何核心必考内容。 预测2026年：2026 年相似三角形仍为中考压轴核心几何工具，持续串联几何与代数运算。解答题分值上调，答题规范与分类讨论要求更严。备考优先熟练识别各类经典模型，牢记面积比规律，着重攻克相似与函数、圆融合题型，熟练把几何条件转化为代数方程解题。 考向01 A字型相似 题型1 正A字型模型 特征：共角 + 一边平行于对边（如 DE∥BC） 结论：△ADE ∽ △ABC；对应边成比例 1．如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． (1)求证：； (2)若，求与的面积比． 【答案】(1)证明见解析； (2)与的面积比为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据平行相似证明、，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，得出边的关系，再运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． 同理： ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． ∴． （2）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴设，， ∴． ∵由（1）得， ∴． ∴与的面积比为． 2．如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 3．如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定定理与性质定理求解即可，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：分别为上的三等分点， ， ， ， ， 故选：B． 题型2 反A字型模型 特征：共角 + 不平行，但另一组角相等（如 ∠1=∠2或∠3=∠4或） 结论：△ADE ∽ △ABC（注意对应顶点的顺序变化） 4．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 5．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 【答案】（1），；（2）t＝3或 【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案； （2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值． 【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， ∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2， ∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm ∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36， ∵△AMN的面积是△ABD面积的， ∴6t﹣t2＝， ∴t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝4，t2＝2， 答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， 若△AMN∽△ABD， 则有，即， 解得t＝3， 若△AMN∽△ADB， 则有，即， 解得t＝， 答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键． 6．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）9． 【分析】（1）连接，利用，，证得，易证，故为的切线； （2）证得，求得，利用求得答案即可． 【详解】证明： 连接OD． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠C， ∴∠ODC=∠B， ∴OD∥AB， ∵DF⊥AB， ∴OD⊥DF， ∵点D在⊙O上， ∴直线DF与⊙O相切； （2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形， ∴∠AED+∠ACD=180°， ∵∠AED+∠BED=180°， ∴∠BED=∠ACD， ∵∠B=∠B， ∴△BED∽△BCA， ∴， ∵OD∥AB，AO=CO， ∴， 又∵AE=7， ∴， ∴BE=2， ∴AC=AB=AE+BE=7+2=9． 【点睛】此题考查了切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 题型3 字母型模型（特殊反A字型模型） 特征：公共角+公共边，2 结论：，核心平方结论： 7．如图，在中，，，，D是的中点，点E在上，分别连接、交于点F．若，则____________________ ． 【答案】 【分析】过点A，B分别作，的平行线交于点K，则四边形为矩形，过点A作交于点M，过点M作交的延长线于点N，过点N作的平行线分别交，的延长线于点H，Q，则四边形为矩形，证明，得出，，证明，可求出的长． 【详解】解：过点A，B分别作，的平行线交于点K，则四边形为矩形， 过点A作交于点M，过点M作交的延长线于点N， 过点N作的平行线分别交，的延长线于点H，Q， 则四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 8．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图所示，延长到，使，连接， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键． 9．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 题型4 射影定理（特殊字母型） 特征：直角三角形斜边上的高分割原三角形 结论：：,②AB2=AC•AD,BD2=AD•CD BC2=AC•CD （口诀：公共边的平方=共线边的乘积） ③AB•BC=BD•AC（面积法） 10．如图，在中，于，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【详解】证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出 （2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 考向02 8字型相似 题型5 正8字型模型） 特征：对顶角 + 两边平行（如 AB∥CD） 结论：△AOB ∽ △COD； 13．将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半等，熟知等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得出，再结合所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出，最后通过平行相似证明即可解决问题． 【详解】 解：∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴A选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴C选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴D选项不正确，符合题目要求． 故选：D． 15．如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故选：B． 题型6 反8字型模型） · 特征：对顶角 + 不平行，但另一组角相等（如∠1=∠2或∠3=∠4或） · 结论：△AOB ∽ △DOC 16．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【答案】1.5 【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长． 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式． 17．如图，在四边形中，，，与相交于点，线段，，，．试问：与之间有怎样的数量关系？ 【答案】 【分析】根据，，，得到，进一步证明∽，因为，于是可得，因此可证得∽．并推出为等腰三角形，因此 【详解】解：如图，∵线段，，，， ∴． 又∵， ∴∽， ∴． 而， ∴． 又∵，， ∴∽． ∴， ∴为等腰三角形， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理和判定定理是解题的关键． 18．如图，矩形的对角线、相交于点，过点作交于，连交于，若，的面积为5，求的值． 【答案】 【分析】先由矩形的性质和勾股定理求得OA=2，OE= ，然后证四点共圆得，再证得∽．最后由相似的性质求出的值． 【详解】如题图，∵为矩形对角线的交点， ∴为的中点． 又∵， ∴，， ∴，∴． ∴在中根据勾股定理可知． ∴在中． ∴在中． 又∵，， ∴四点共圆 ， ∴， ∴∽． ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质．此题难度适中，注意四点共圆在本题中的应用． 考向03 一线三等角模型 题型7 K字型模型 特征：一条直线上有三个直角 ∠B = ∠ACE = ∠D = 90° 结论：两侧的三角形相似,△ABC ∽ △CDE,） 特别的，当点C为BD中点时， 19．如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 20．如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及求反比例函数的比例系数，作轴，证推出得，即可进一步推出点的坐标，即可求解； 【详解】解：作轴，如图所示： 则， ∴； ∵， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设点， ∵，，，为矩形的四个顶点， ∴，解得， ∴， ∴； 故选：B 21．如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在上的点D处，则k的值为________． 【答案】 【分析】过点E作于点G，根据，设，，根据折叠性质，；，利用勾股定理，三角函数，反比例函数的性质计算即可． 【详解】过点E作于点G， ∵， ∴设，， ∵矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 根据折叠性质，；， ， ∴， ∴， ∴， 根据反比例函数的性质，得， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握三角函数，折叠的性质是解题的关键． 题型8 同侧一线三等角模型 特征：一条直线上有三个相等的角，且两个三角形在直线的同一侧,C在线段BD之间，∠B = ∠ACE = ∠D =α 结论：①②③当点C为BD中点时， 22．如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，   ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 23．如图所示，在中，，，E，D分别是，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形相似的判定，等腰直角三角形的性质，三角形外角的定义及性质，由等腰直角三角形的性质可得，由三角形外角的定义及性质可得，结合即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：，， ， ， 即， ， ， ． 24．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F． (1)求证：； (2)连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点为的中点，理由见解析 【分析】（1）利用“两角法”证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ，， ； （2）点为的中点时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， 点为的中点． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用同角的余角找出;（2）利用相似三角形的性质得出． 题型9 异侧一线三等角模型 特征：一条直线上有三个相等的角，且两个三角形在直线的两侧侧,P在线段AB延长线上,∠1 = ∠2 = ∠3 =α 结论： 25．如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为_________ 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键；由题意易得为等边三角形，再证明，则． 【详解】解：∵, ∴为等边三角形， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 26．问题背景：已知的顶点在的边上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．    （1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则 ； 类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值； （2）延伸拓展：当为等腰三角形时，设． （Ⅰ）如图③，当点在线段上运动时，设，，则的表达式为 （结果用，和的三角函数表示）． （Ⅱ）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，求的表达式，写出解答过程． 【答案】（1）；类比探究：；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ），过程见解析 【分析】（1）如图，过点作于点，过点作于点，首先证明，都是等边三角形，然后根据锐角三角函数和三角形面积公式可得，，即可求出； 类比探究：如图，过点作于点，过点作于点，设，，证明，可得，即，推出，然后由，，即可求出的值； （2）（Ⅰ）如图，如图，过点作于点，过点作于点，设，，证明，推出，，，即可求出的值； （Ⅱ）结论不变，解答方法类似． 【详解】解：（1）如图，过点作于点，过点作于点， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：；    类比探究：如图，过点作于点，过点作于点，设，， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴的值为；    （2）（Ⅰ）如图，如图，过点作于点，过点作于点，设，， ∵是等腰三角形，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴的值为， 故答案为：；    （Ⅱ）如图，过点作于点，过点作于点，设，， ∵是等腰三角形，，，， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴的值为．    【点睛】本题考查几何变换综合题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 27．问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2． （1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1S2= ； （2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S1S2的值； （3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α． （Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1S2的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）． （Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1S2的表达式，不必写出解答过程． 【答案】（1）12；（2）12；（3）（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【分析】（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S1=•22=，S2=•（4）2=4，由此即可解决问题； （2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得，推出，推出xy=8，由S1= •AD•AM•sin60°=x，S2=DB•sin60°=y，可得S1S2=x•y=xy=12； （3）（Ⅰ）如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，可得S1S2=（ab）2sin2α． （Ⅱ）结论不变，证明方法类似. 【详解】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形， ∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°， ∵DE∥BC，∠EDF=60°， ∴∠BND=∠EDF=60°， ∴∠BDN=∠ADM=60°， ∴△ADM，△BDN都是等边三角形， ∴S1=•22=，S2=•（4）2=4， ∴S1S2=12， 故答案为12． （2）如图2中，设AM=x，BN=y． ∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A， ∴∠AMD=∠NDB， ∵∠A=∠B， ∴△AMD∽△BDN， ∴， ∴， ∴xy=8， ∵S1=•AD•AM•sin60°=x，S2=DB•sin60°=y， ∴S1S2=x•y=xy=12． （3）（Ⅰ）如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab， ∵S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα， ∴S1S2=． （Ⅱ）如图4中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab， ∵S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα， ∴S1S2=． ． 考向04 三角形内接矩形模型 题型10 三角形内接矩形模型 特征：三角形内接一个矩形 结论：① ② ③若四边形DEFG为正方形，即= 若假设DG=x 则= 若已知BC、AN长，即可求出x的值。 28．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 29．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长________． 【答案】 【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，设高AM交GF于H点， ∵四边形DEFG为正方形， ∴GF∥DE，即：GF∥BC， ∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC， ∴， 设正方形的边长为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键． 30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）． （1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为　 　（用含t的代数式表示）． （2）当点E落在边BC上时，求t的值． （3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式． （4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值． 【答案】（1）2t；（2）；（3）；（4）t＝或 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t； （2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值； （3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式； （4）分点E在△ABC内部和△ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值． 【详解】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB， ∴∠A＝∠ADP＝45°， ∴AP＝DP＝2t， 故答案为2t， （2）如图， ∵四边形DEFP是正方形， ∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°， ∵∠A＝∠B＝45°， ∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°， ∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF， ∵AB＝AP+PF+FB， ∴2t+2t+2t＝8， ∴t＝； （3）当0＜t≤时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积， 即S＝DP2＝4t2， 当＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积， ∵AP＝DP＝PF＝2t， ∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t， ∵BF＝HF＝8﹣4t， ∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8， ∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE， ∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32， 综上所述，S与t之间的函数关系式为. （4）如图，当点E在△ABC内部，设DF与PE交于点O， ∵四边形PDEF是正方形， ∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°， ∴∠DFP＝∠ABC＝45°， ∴DF∥BC， ∴， ∵DF＝4EG， ∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO， ∴PG＝5a， ∴， ∴， ∴t＝， 如图，当点E在△ABC外部，设DF与PE交于点O， ∵四边形PDEF是正方形， ∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°， ∴∠DFP＝∠ABC＝45°， ∴DF∥BC， ∴， ∵DF＝4EG， ∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO， ∴PG＝3a， ∵， ∴， ∴t＝， 综上所述：t＝或. 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例和重叠部分的面积等知识.先求特殊位置时对应的t值，做到不重不漏，再利用数形结合的思想，确定重叠部分图形的形状是解题的关键． 考向05 旋转模型 题型11 旋转模型 特征：∆ADE以点A为旋转中心旋转一定角度。 结论： 31．如图，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好在上． (1)求的度数； (2)交于点E，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质， 对于（1），根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得出答案； 对于（2），根据旋转可得，即可得，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】（1）解：∵是绕点顺时针方向旋转后所得的图形， ∴，， ∴； （2）解：由旋转可得， ∵， ∴． ∴， ∴． 32．如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转，连接．在正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转的过程中，的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解决本题的关键． 根据角边角证明得出，连接，证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， 连接，如图， ∵，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为： ． 33．综合与实践-问题情境： 如图1，已知在中，分别是上的点，且． (1)操作发现：求证：． (2)深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由． 拓展探究： (3)如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的综合运用，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质可证，由此即可求解； （2）根据旋转的性质可证，由此即可求解； （3）根据题意可得，，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （2）解：成立，理由如下： 由旋转的性质得， ∴，即， 由（1）得， ∴， ∴， ∴（1）中的结论仍成立． （3）解：由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 考向06 三平行模型 题型12 三平行模型 特征：三线段平行，AB∥EF∥CD 结论：①；② 34．如图，，与相交于点E，，，点F在上，．求的长； 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证明，得到，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，进而得到，得到，进而得到，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 35．如图，在相对的两栋楼、中间有一堵院墙，甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形．．．甲从点可以看到点处，乙从点可以看到点处．点是的中点．墙高5.5米，米，米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差．（结果精确到0.1米）．    【答案】米 【分析】首先可证，得，则（米，再证，根据对应边成比例可得的长，用即可得出答案． 【详解】解：，， ， 又， ， 同理可得， 点是的中点， （米， ， （米， 米， （米， ， （米， 甲、乙两人的观察点到地面的距离的差为：（米． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形，还要注意数形结合思想的应用． 36．如图，在相对的两栋楼中间有一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5.5米，DF=100米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差（结果精确到0.1米） 【答案】甲、乙两人的观测点到地面的距离之差约为20.7米. 【分析】根据题意得出△ABG∽△CDG，△ADB∽△EDF，再运用相似三角形的性质得出CD,EF即可. 【详解】解：由题意得∠ABG=∠CDG=90°， 又∵∠AGD为公共角， ∴△ABG∽△CDG, ∴=, ∵AB=5.5米，BG=10.5米， ∴=, ∴CD≈31.69（米） 又∵∠ABD=∠EFD=90°，∠EDF为公共角， ∴△ADB∽△EDF, ∴==, ∴EF=2AB=11（米） ∴CD-EF≈20.7（米） 答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差约为20.7米. 【点睛】本题考查了相似三角形的相关知识，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的运用. （建议用时：120分钟） 1．如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，根据相似三角形的对应边成比例计算是解题的关．键．先根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形的外角得到，即可得到，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 故选：D． 2．如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点作，证明出，找出与的关系即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 点D是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，延长到点G，使，连接，首先求出，，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，延长到点G，使，连接 ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵E是中线的中点 ∴， ∵， ∴ ∴ ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形和全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 4．如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点， 连接， 四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为， ， ∴， ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故答案为：． 5．如图，在中，，为边上一点，连接，，以为直径作，是边上一点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、切线的性质、等角的余角相等、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由，得，由，，推出，，最后运用平角的性质结合为的半径求解即可； （2）先设与交于点，连接，运用直径所对的圆周角是直角证明，再运用三线合一得，最后证明并运用性质解题即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）如图，设与交于点，连接， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，，，，点是的中点，点在上，，连接． (1)求证：； (2)的值为 ． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握相似判定条件和解直角三角形的方法是解题的关键． （1）先通过计算得到，加上为公共角，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据斜边上的中线性质得到，再根据相似三角形的性质得到，接着利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】（1）解：证明：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵点是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 7．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作交的延长线于，如图，易得，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2）证明：作交的延长线于，如图， ∵， ∴， ∵点为的中点， ， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 8．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等、三角形相似与菱形综合问题，掌握三角形相似的几何模型——母子型及中间比解题的关键． （1）利用菱形性质证明，进而得到即可得证； （2）由得到，再利用得到，通过作为中间比即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ． 又， ． ， ∴， ． 又 ． （2）证明 ． ， ． ． ． 9．如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （2）解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 10．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $