第1部分 第3章 第3节 反比例函数-【中考快车道】2026年中考数学总复习学生用书Word

第三节　反比例函数 链接教材 基础过关 梳理·必备知识 考点一 y＝ 考点二 1．双曲线　原点　2．＞　一、三　减小　<　二、四　增大 考点三 1． 激活·基本技能 1．C　2．A　3．C　4．B　5.200 考点突破 对点演练 典例1　C　[在反比例函数y＝中k＜0，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵C(3，y3)在第四象限， ∴y3＜0， ∵－2＜－1， ∴0＜y1＜y2， ∴y3＜y1＜y2．故选C．] 对点演练 1．B　[∵k＝5＞0， ∴反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点A(x1，－1)，B(x2，1)，C(x3，5)都在反比例函数y＝的图象上， ∴点A(x1，－1)分布在第三象限，B(x2，1)，C(x3，5)分布在第一象限，且1＜5， ∴x1＜0，x2＞x3＞0， ∴x1＜x3＜x2．故选B．] 2．C　[∵反比例函数y＝－中，k＝－3＜0， ∴此函数图象在第二、四象限， ∵2＞1＞0， ∴点B(b，1)，C(c，2)在第二象限， ∴b＜c＜0， ∵－2＜0， ∴A(a，－2)在第四象限， ∴a＞0， ∴a，b，c的大小关系是a＞c＞b， ∴a－b＞0，b－c＜0， ∴a－b＞b－c．故选C．] 典例2　A　[作图，作AG⊥x轴，垂足为G，BH⊥x轴，垂足为H． ∵点A在反比例函数y＝－图象上，点B在反比例函数y＝图象上，∴S△AGO＝，S△BOH＝2， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOG＝∠HBO，∠AGO＝∠OHB， ∴△AGO∽△OHB， ∴＝2＝， ∴．故选A．] 对点演练 3．－22　[∵l∥y轴，∴PQ⊥OM， ∴S△POQ＝S△OMQ＋S△OMP， ∴15＝＝22， ∵k＜0，∴k＝－22．] 典例3　解：(1)当x＝－时，2x＋b＝a，即－7＋b＝a， 当x＝a时，2x＋b＝1，即2a＋b＝1， ∴解得 ∴一次函数为y＝2x＋5， 当x＝1时，y＝7， ∵当x＝1时，y＝＝7，即k＝7，∴反比例函数为y＝， 当x＝－时，y＝7÷＝－2， 当x＝－2时，y＝－， 补全表格如下： x － －2 1 2x＋b －2 1 7 －2 － 7 (2)由表格信息可得，两个函数的交点坐标分别为，(1，7)， ∴当y＝2x＋b的图象在y＝的图象上方时，x的取值范围为－<x<0或x>1． 对点演练 4．解：(1)∵一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(－1，4)，B(a，－1)两点， ∴m＝－1×4＝－4， 故反比例函数的解析式为y＝－， ∴a＝－＝4， 故B(4，－1)， ∵一次函数y＝kx＋b过点A，B， ∴解得 ∴一次函数的解析式为y＝－x＋3． (2)∵A(－1，4)，B(4，－1)，P(n，0)，BQ∥AP，BQ＝AP， ∴四边形APQB是平行四边形， ∴点A到点P的平移规律是向左平移(－1－n)个单位长度，向下平移4个单位长度， ∴点B(4，－1)到点Q的平移规律也是向左平移(－1－n)个单位长度，向下平移4个单位长度， 故Q(5＋n，－5)， ∵Q(5＋n，－5)在y＝－上， ∴5＋n＝－，解得n＝－， ∴点P的坐标为， 设AB与x轴交于点C，连接PB，如图所示， 把y＝0代入y＝－x＋3，解得x＝3， ∴C(3，0)， ∴PC＝3－， ∴S△APB＝×[4－(－1)]＝18， ∵四边形APQB为平行四边形， ∴S四边形APQB＝2S△APB＝36， ∴当n＝－时，符合题意． 典例4　解：(1)设这个反比例函数的解析式为I＝(U≠0)， 把(9，4)代入I＝(U≠0)中得4＝(U≠0)，解得U＝36， ∴这个反比例函数的解析式为I＝． (2)在I＝中，当R＝3 Ω时，I＝＝12(A)， ∴此时的电流I为12 A． 对点演练 5．A　[根据题意得Vt＝105， ∴V＝，V与t满足反比例函数关系．故选A．] 6．4　[设反比例函数解析式为v＝， ∵机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s， ∴k＝60×6＝360，∴反比例函数解析式为v＝， 当m＝90 kg时，v＝＝4(m/s)，∴当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝4 m/s．] 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三节　反比例函数 考点一　反比例函数的概念 一般地，形如________(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． 考点二　反比例函数的图象及性质 1．反比例函数的图象 反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象是________________，且关于______________中心对称． 2．反比例函数的性质 图象 所在象限 增减性 k____0 第______象限　　 在每一象限内，y的值随x值的增大而____ k____0 第______象限　　 在每一象限内，y的值随x值的增大而____ 考点三　反比例函数系数k的几何意义 1．意义：从反比例函数y＝(k≠0)的图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为________，以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为________． 2．常见的面积类型 考点四　反比例函数的应用 1．与一次函数的综合 (1)确定交点坐标：方法一(仅适用于正比例函数)：已知一个交点坐标为(a，b)，则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为(－a，－b)．方法二：联立两个函数表达式，利用方程思想求解． (2)确定函数表达式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数表达式中求解． (3)在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项进行判断、排除． (4)比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围． 2．反比例函数的实际应用 (1)根据题意找出自变量与因变量之间的关系． (2)设出函数表达式． (3)依题意求解函数表达式． (4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题． 1．(人教版九上P8复习巩固T2改编)下列关系式中，是反比例函数的是(　　) A．y＝2x B．y＝ C．y＝－ D．y＝－1 2．已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象表示大致为(　　) 　　　 A　　　　　　　　　B 　　　 C　　　　　　　　　D 3．(青岛版九下P26习题5.2T9改编)如图，已知点P为反比例函数y＝－图象上一点，过点P向坐标轴引垂线，垂足分别为M，N，那么四边形MONP的面积为(　　) A．－6 B．3 C．6 D．12 4．反比例函数y＝－的图象一定经过的点是(　　) A．(1，10) B．(－2，5) C．(2，5) D．(2，8) 5．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了________度． 命题点1　反比例函数的图象与性质 【典例1】　(2024·济宁)已知点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　反比例函数增减性的应用 (1)若几个点在同一象限，则按反比例函数的增减性解答． (2)若两个点不在同一象限，则k＞0时，第一象限的函数值大于第三象限的函数值，k＜0时，第二象限的函数值大于第四象限的函数值． [对点演练] 1．(2024·天津)若点，5)都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) A．x1＜x2＜x3　　　　　 B．x1＜x3＜x2　 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3 2．若点A(a，－2)，B(b，1)，C(c，2)都在反比例函数y＝－的图象上，则a，b，c所满足的大小关系中，正确的是(　　) A．a－b＜a－c B．a＋c＜c＋b C．a－b＞b－c D．a＋c＜a＋b 命题点2　反比例函数系数k的几何意义 【典例2】　(2024·江苏苏州)如图，点A为反比例函数y＝－(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点B，则的值为(　　) A． B． C． D． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [对点演练] 3．[易错题]如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P，Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为________． 命题点3　反比例函数与一次函数的综合 【典例3】　(2024·山东)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x＋b与y＝部分自变量与函数值的对应关系： x － a 1 2x＋b a 1 ______ ______ ______ 7 (1)求a、b的值，并补全表格； (2)结合表格，当y＝2x＋b的图象在y＝的图象上方时，直接写出x的取值范围． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [对点演练] 4．(2023·聊城)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(－1，4)，B(a，－1)两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点P(n，0)在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 命题点4　反比例函数的实际应用 【典例4】　[跨学科](2024·吉林)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R的取值范围)； (2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [对点演练] 5．(2023·临沂)正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105 m3，设土石方日平均运送量为V(单位：m3/天)，完成运送任务所需要的时间为t(单位：天)，则V与t满足(　　) A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 6．[情境题]机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝________m/s． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $