第1部分 第2章 第3节 分式方程及其应用-【中考快车道】2026年中考数学总复习学生用书Word

第三节　分式方程及其应用 考点一　 分式方程的概念及其解法 1．分式方程的概念 分母中含有______的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为________，解分式方程的方法有去分母法、换元法． (2)去分母法解分式方程的步骤： 去分母 方程两边同乘各分母的__________，约去分母，化分式方程为________ 解整式方程 解这个整式方程 检验 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为______，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的________ 3．分式方程增根的特征 (1)使__________为0； (2)是所化成的________的根． 考点二　分式方程的应用 列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤一样，但要注意“检验”这一步，列分式方程解应用题要检验两次，一是检验是否是原方程的解，二是检验是否符合题意． 1．下列解方程＝的说法中，不正确的是(　　) A．方程两边可以同时乘最简公分母(x＋1)(x－1)，从而把该方程化为整式方程 B．去分母，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6　 C．解这个整式方程，得x＝1　 D．原方程的解是x＝1 2．已知方程－3＝有增根，则m的值是(　　) A．m＝6　　B．m＝5　　C．m＝3　　D．m＝1 3．(人教版八上P154习题15.3T3改编)甲、乙两市相距55公里，王某同学从甲市出发去乙市，先步行了25公里，接着改骑自行车，速度提高了1倍，到达乙市后，他发现行程中步行所用的时间比骑自行车所用的时间多1小时，则王某同学步行的速度是________公里/小时． 4．(青岛版八上P103例2改编)解方程：＝． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 命题点1　分式方程的解法 【典例1】　(2024·福建)解方程：＋1＝． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解分式方程时应注意以下两点： (1)去分母时，要将最简公分母乘每一个式子，不要“漏乘”． (2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根． [对点演练] 1．(2024·济宁)解分式方程1－＝－时，去分母变形正确的是(　　) A．6x－2－2＝5 B．6x－2－2＝－5 C．2－6x－1＝5 D．6x－2＋1＝5 2．(2024·广东)方程＝的根是(　　) A．x＝－3 B．x＝－9　 C．x＝3 D．x＝9 命题点2　根据解的情况求参数的值或范围 【典例2】(2023·聊城)若关于x的分式方程＋1＝的解为非负数，则m的取值范围是(　　) A．m≤1且m≠－1 B．m≥－1且m≠1 C．m＜1且m≠－1 D．m＞－1且m≠1 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1)已知分式方程解的取值范围，求方程中字母的取值范围问题，需要先用字母表示出分式方程的解，再代入解的取值范围，从而确定字母的取值范围．但要特别注意使分式方程产生增根的条件，及满足题意中解的情况的条件，各个方面都需要考虑全面． (2)增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． [对点演练] 3．(2024·齐齐哈尔)如果关于x的分式方程＝0的解是负数，那么实数m的取值范围是(　　) A．m＜1且m≠0 B．m＜1 C．m＞1 D．m＜1且m≠－1 4．(2024·冠县二模)关于x的方程＝＋1有增根，则m的值是(　　) A．0 B．2或3 C．2 D．3 命题点3　分式方程的实际应用 【典例3】　(2024·山东)为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为(　　) A．200 B．300 C．400 D．500 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [对点演练] 5．(2024·茌平区一模)“文化中华源，康养在河南”，河南省正逐步打造众多生态园区，建设山青、水碧、林郁、田沃、湖美、草茂的美丽河南．某校组织学生到距离学校90km的生态园研学，研学队伍8：00从学校乘坐大巴车出发，李老师因临时有事，处理完事情后8：30从学校自驾轿车以大巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达生态园．若设大巴车的速度为x km/h，则下列方程正确的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝15＋30 D．＝15＋30 6．(2024·泰安)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三节　分式方程及其应用 链接教材 基础过关 梳理·必备知识 考点一 1．未知数　2．(1)整式方程　(2)最简公分母　整式方程　0　解　3．(1)最简公分母　(2)整式方程 激活·基本技能 1．D　2．A　3．10 4．解：， 去分母得：x＝3(2x－5)， 去括号得：x＝6x－15， 移项得：x－6x＝－15， 合并同类项得：－5x＝－15， 解得：x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解， ∴该分式方程的解为x＝3． 考点突破 对点演练 典例1　解：原方程两边都乘(x＋2)(x－2)，去分母， 得3(x－2)＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2)， 整理，得3x－10＝2x， 解得x＝10， 检验：当x＝10时，(x＋2)(x－2)≠0， 故原方程的解为x＝10． 对点演练 1．A　[原方程两边同乘2(3x－1)得2(3x－1)－2＝5， 即6x－2－2＝5．故选A．] 2．D　[方程， 去分母，得2x＝3(x－3)， 解得x＝9， 检验：当x＝9时，x(x－3)≠0， 所以x＝9是原方程的根．] 典例2　A　[， 两边同乘(x－1)，去分母得：x＋x－1＝－m， 移项，合并同类项得：2x＝1－m， 系数化为1得，x＝， ∵原分式方程的解为非负数， ∴≥0，且≠1， 解得，m≤1且m≠－1．故选A．] 对点演练 3．A　[＝0，x＋1－mx＝0，x－mx＝－1， (1－m)x＝－1，x＝， ∵关于x的分式方程＝0的解是负数， ∴m－1＜0且m－1≠－1， 解得，m＜1且m≠0．故选A．] 4．D　[＋1， 2x－1＝m＋x－2， 解得，x＝m－1， ∵方程有增根， ∴x－2＝0， ∴x＝2， 把x＝2代入x＝m－1中可得： m－1＝2， ∴m＝3．故选D．] 典例3　B　[设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为(x－100)， 根据题意，得， 解得x＝300， 经检验，x＝300是分式方程的根，且符合题意， 即改造后每天生产的产品件数为300．] 对点演练 5．A　[设大巴的平均速度为x km/h，小车的平均速度为1.5x km/h． 根据题意得，．故选A．] 6．解：设甲组有x名工人，则乙组有(35－x)名工人，根据题意，得×1.2， 解得x＝20， 经检验，x＝20是所列方程的根，且符合题意， 所以35－x＝35－20＝15． 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人． 学科网（北京）股份有限公司 $