第1部分 第4章 第6节 图形的相似-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

第六节　图形的相似 考点一　比例线段 1．比例线段定义：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的基本性质 (1)基本性质：＝⇔ad＝bc(b，d≠0)． (2)合比性质：＝⇔＝(b，d≠0)． (3)等比性质：＝＝…＝(b，d，…，n≠0)⇔＝(b＋d＋…＋n≠0)． 3．黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝＝≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 考点二　平行线分线段成比例定理 1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图所示，若l3∥ l4∥ l5，则＝． 2．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图所示，若AB∥ CD，则＝． 考点三　相似三角形的性质和判定 1．相似三角形的判定 (1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．对应线段的比叫做相似比． (2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． (3)判定定理 ①两角分别相等的两个三角形相似． ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． ③三边成比例的两个三角形相似． 2．相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 考点四　图形的位似 1．定义：对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点叫做位似中心，这时相似比又称为位似比． 2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比． 1．下列长度的线段中，不能构成比例的是(　　) A．3，4，6，2 B．4，5，6，10 C．1， D．4，12，9，3 B　[A．6×2＝3×4，即＝，则能构成比例； B．4×10≠5×6，故不能构成； C．1×＝，即＝，能构成比例； D．3×12＝4×9，即＝，能构成比例． 故选B．] 2．(青岛版九上P25习题1.3拓展与延伸T4变式)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，则S△ADE∶S△ABC的值是(　　) A． B． C． D． D　[∵DE∥BC，AD＝2，BD＝3， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，＝， ∴△ADE∽△ABC，＝， ∴S△ADE∶S△ABC＝＝，故选D．] 3．(人教九下P31练习T1改编)如图，a∥b∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，那么下列式子中不成立的是(　　) A．EC∶CG＝5∶1 B．EF∶FC＝1∶1　 C．EF∶FC＝3∶2 D．EF∶EC＝3∶5 B　[∵a∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1， ∴EC∶CG＝AC∶CD＝5∶1，A成立； ∵a∥b，AB＝3，BC＝2， ∴EF∶FC＝AB∶BC＝3∶2，B不成立，C成立； ∵EF∶FC＝3∶2， ∴EF∶EC＝3∶5，D成立． 故选B．] 4．(人教九下P40例6改编)小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度．测量时，使直角边DE保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DF与点A在同一条直线上．测得边DE离地面的高度GB为1.4 m，点D到AB的距离DG为6 m(如图)．已知DE＝30 cm，EF＝20 cm，那么树AB的高度等于(　　) A．4 m B．5.4 m C．9 m D．10.4 m B　[根据题意得，DG＝6 m，DE＝30 cm＝0.3 m，EF＝20 cm＝0.2 m， ∵EF∥AG， ∴△DEF∽△DGA， ∴＝， 即＝， 解得，AG＝4(m)， ∴AB＝AG＋GB＝4＋1.4＝5.4(m)， 故选B．] 5．如图，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的．任取一点O，连接OA，OB，OC． 并取它们的中点D，E，F，得△EDF，下列说法： ①△ABC与△DEF是位似图形； ②△ABC与△DEF是相似图形； ③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1； ④△ABC与△DEF的面积比为4∶1． 其中正确的有________． ①②③④　[根据题意得△ABC∽△DEF，相似比为2∶1， ∴面积比为4∶1． ∴①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1． ∴其中正确的有①②③④．] 命题点1　比例线段 【典例1】　如果＝，那么的值等于(　　) A． B． C． D．2 B　[∵＝， ∴3(a－b)＝a， ∴a＝b， ∴＝＝． 故选B．] 　已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解． 【典例2】　(2024·菏泽三模)如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是(　　) A．1.5 B．6 C．9 D．12 C　[∵AD∥BE∥CF， ∴＝， ∵AB＝4，BC＝8，DE＝3， ∴＝， ∴EF＝6， ∴DF＝DE＋EF＝3＋6＝9． 故选C．] 　应用平行线分线段成比例定理解决问题的方法：(1)若已知条件中有平行，求两条线段的比，常考虑应用平行线分线段成比例性质求解；(2)应用时，看清平行线组，找准平行线组截得的对应线段和对应边． [对点演练] 1．已知＝＝＝，则＝(　　) A． B． C． D． A　[∵＝＝＝，b－3d＋2f≠0， ∴＝＝＝， ∴＝， 故选A．] 2．(2024·沂南县一模)如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________cm． 6　[如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D， ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴＝， 即＝， ∴BC＝6 cm． 故答案为6．] 命题点2　相似三角形的性质和判定 【典例3】　(2023·菏泽)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF． 【问题解决】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H． 【类比迁移】 (3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长． [解]　(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠ADE＝90°， ∴∠CDF＋∠DFC＝90°， ∵AE⊥DF， ∴∠DGE＝90°， ∴∠CDF＋∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠DFC， ∴△ADE∽△DCF． (2)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°， ∵AE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)， ∴DE＝CF， ∵CH＝DE， ∴CF＝CH， ∵点H在BC的延长线上， ∴∠DCH＝∠DCF＝90°， 又∵DC＝DC， ∴△DCF≌△DCH(SAS)， ∴∠DFC＝∠H， ∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∴∠ADF＝∠H． (3)如图，延长BC到点G，使CG＝DE＝8，连接DG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DCG， ∴△ADE≌△DCG(SAS)， ∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG， ∵AE＝DF， ∴DG＝DF， ∴△DFG是等边三角形， ∴FG＝DF＝11， ∵CF＋CG＝FG， ∴CF＝FG－CG＝11－8＝3， 即CF的长为3． 　三角形相似的判定思路 (1)有平行截线→用平行线的性质找等角． (2)有一对等角→找另一对等角或该角的两边对应成比例． (3)有两边对应成比例→找夹角相等或第三边对应成比例． (4)直角三角形→找一对锐角相等或两条边对应成比例． (5)等腰三角形→找顶角相等或一对底角相等或底和腰对应成比例． [对点演练] 3．(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是(　　) A．1∶3 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶9 D　[∵两个相似三角形的相似比是1∶3， ∴这两个相似三角形的面积比是12∶32＝1∶9． 故选D．] 4．(2024·陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为(　　) A．2 B．3 C． D． B　[∵正方形ABCD，AB＝6， ∴AB＝AD＝CD＝6， ∵四边形CEFG是正方形，CE＝2， ∴CE＝GF＝CG＝2， ∴DG＝CD－CG＝4， 由题意得AD∥GF， ∴△ADH∽△FGH， ∴＝，即＝， 解得DH＝3， 故选B．] 命题点3　图形的位似 【典例4】　(2024·浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(　　) A．(－4，8) B．(8，－4) C．(－8，4) D．(4，－8) A　[∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2， ∵点B的坐标为(－2，4)， ∴点B的对应点B′的坐标为(－2×2，4×2)， 即(－4，8)， 故选A．] 　在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k． [对点演练] 5．(2024·四川凉山州)如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是(　　) A．90 cm2 B．135 cm2 C．150 cm2 D．375 cm2 D　[由题意可知，△A1B1C1与△ABC是位似图形，且相似比为＝， 所以△A1B1C1的面积是60÷＝375(cm2)． 故选D．] 6．[易错题](2024·嘉祥二模)△AOB三个顶点的坐标分别为A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是________． (2，4)或(－2，－4)　[∵△AOB顶点B的坐标为(3，6)，以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小， ∴点B的对应点B′的坐标为或，即(2，4)或(－2，－4)．] 课时分层评价卷(十九)　图形的相似 (说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分) 1．(2024·四川内江)已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是(　　) A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9 B　[∵△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3， ∴△ABC与△DEF的周长比为1∶3． 故选B．] 2．(2024·江苏连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　　) A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 D　[观察可得，甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同．故选D．] 3．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是(　　) A． B． C． D． A　[∵DE∥BC， ∴＝＝＝＝． 故选A．] 4．(2024·黑龙江绥化)如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(3，2)，C(0，2)，以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是(　　) A．(9，4) B．(4，9)　 C． D． D　[依题意，B(3，2)，以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是．故选D．] 5．若＝2，则＝________． 1　[∵＝2， ∴＝－1＝2－1＝1．] 6．(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是________．(写出一种情况即可) ∠ADE＝∠C(答案不唯一)　[∵∠DAE＝∠BAC， ∴添加条件：∠ADE＝∠C(答案不唯一)，判定△ADE∽△ACB．] 7．[跨学科](2024·江苏扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′，设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为________cm． 20　[设小孔O到A′B′的距离为x cm， 由题意，得△ABO∽△A′B′O， 则＝＝， 解得x＝20．] 8．[数学文化](2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且＝，若NP＝2 cm，则BC的长为________cm(结果保留根号)． －1　[∵四边形MNPQ是正方形， ∴∠N＝∠P＝90°， 又∵AB∥NP， ∴∠BAN＋∠N＝180°， ∴∠BAN＝90°， ∴四边形ABPN是矩形， ∴AB＝NP＝2 cm． 又∵＝， ∴BC＝(－1)cm．] 9．(10分)[跨学科]书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m，b m，c m，d m．若装裱后AB与AD的比是16∶10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度． [解]　由题意，得AB＝(1.2＋c＋d)m，AD＝(0.8＋a＋b)m， ∵a＝b，c＝d，c＝2a， ∴AB＝(1.2＋c＋d)m＝(1.2＋4a)m，AD＝(0.8＋a＋b)m＝(0.8＋2a)m， ∵AB与AD的比是16∶10， ∴(1.2＋4a)∶(0.8＋2a)＝16∶10， ∴a＝0.1， ∴b＝0.1，c＝d＝0.2． ∴上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m． 10．(10分)(2024·广东广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF． [证明]　∵BE＝3，EC＝6，CF＝2， ∴BC＝3＋6＝9， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°， ∵＝＝＝， ∴＝， 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECF． 11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为(　　) A． B． C． D． B　[∵正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，令AC与BD交于点O， ∴OD＝OC，∠ODC＝∠OCD＝45°，DE＝CF， ∴OE＝OF， ∵∠EOF＝∠DOC，＝， ∴△EOF∽△DOC， ∴∠OFE＝∠OCD＝45°， ∵点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点， ∴＝， ∵正方形ABCD， ∴AB∥CD， ∴△ABE∽△GDE， ∴＝＝， ∴DG＝AB＝CD＝CG， ∴△DEG≌△CFG(SAS)， ∴GE＝GF， ∴∠GEF＝(180°－∠AGF)＝90°－α， ∴∠FAG＝∠GEF－∠AFE＝90°－α－45°＝45°－α＝，故选B．] 12．(2024·四川乐山)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若＝，则＝________． 　[∵AD∥BC， ∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离， ∴＝＝， ∴△AOD∽△COB， ∴＝＝＝．] 13．(12分)[项目式学习试题](2024·四川广元)数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图 1)产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD． (1)【初步探究】 如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD·AB； (2)【尝试应用】 如图3，在(1)的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长； (3)【创新提升】 如图4，点E为CD的中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的长． [解]　(1)证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴＝， ∴AC2＝AD·AB． (2)∵点D为AB的中点， ∴设AD＝BD＝m， 由(1)知△ACD∽△ABC， ∴AC2＝AD·AB＝m·2m＝2m2， ∴AC＝m， ∴△ACD与△ABC的相似比为＝， ∴＝， ∵BC＝4， ∴CD＝2． (3)过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H，使得BH＝DB，过点C作CY⊥AB，如图所示． ∵点E为CD的中点， ∴设CE＝DE＝a， ∵∠CDB＝∠CBD＝30°， ∴CB＝CD＝2a，∠DCB＝120°， 在Rt△BCY中，CY＝CD＝a，则由勾股定理可得BD＝2a， 过点B作BF⊥EC于点F． ∴∠FCB＝60°， ∴∠CBF＝30°， ∴CF＝BC， ∴CF＝a，BF＝a， ∴EF＝2a， ∴BE＝a， 又∵CH∥BE，点E，点B分别为CD，DH中点， ∴CH＝2BE＝2a，DH＝2DB＝4a，∠EBD＝∠H， 又∵∠ACD＝∠EBD， ∴∠ACD＝∠H，△ACD∽△AHC， ∴＝＝＝＝， 又∵AC＝2， ∴AD＝2，AH＝14， ∴DH＝12，即4a＝12， ∴a＝， ∴BE＝a＝． 14．(13分)[项目式学习试题](2024·贵州)综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A． (1)【操作判断】 如图1，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图1中画出PC，图中∠APC的度数为________度； (2)【问题探究】 如图2，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM＋ON＝2PA； (3)【拓展延伸】 点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求的值． [解]　(1)如图，PC即为所求． ∵∠AOB＝90°，PA⊥OA，PC⊥OB， ∴四边形OAPC是矩形， ∴∠APC＝90°． (2)证明：如图，过点P作PC⊥OB于点C． 由(1)知四边形OAPC是矩形， ∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB， ∴PA＝PC， ∴矩形OAPC是正方形， ∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°， ∵PN⊥PM， ∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC， 又∠MAP＝∠PCN＝90°，AP＝CP， ∴△APM≌△CPN(ASA)， ∴AM＝CN， ∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋AM＋OC＝OA＋OC＝2AP， ∴OM＋ON＝2PA． (3)①当点M在线段AO上时，如图，延长NM，PA相交于点G． 由(2)知OM＋ON＝2AP， 设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x． ∴AM＝AO－OM＝x＝OM， ∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG， ∴△MON≌△MAG(ASA)， ∴AG＝ON＝3x． ∵AP∥OB， ∴△ONF∽△PGF， ∴＝＝＝， ∴＝， ∴＝． ②当点M在AO的延长线上时，如图，过点P作PC⊥OB于点C，并延长交MN于点G． 由(2)知，四边形OAPC是正方形， ∴△APM≌△CPN， ∴AM＝CN， ∴ON－OM＝OC＋CN－OM＝AO＋AM－OM＝2AO， 设OM＝x， 则ON＝3OM＝3x， ∴AO＝x，CN＝AM＝2x， ∵PC∥AO， ∴△CGN∽△OMN， ∴＝，即＝， ∴CG＝， ∵PC∥AO， ∴△OMF∽△PGF， ∴＝＝＝， ∴＝， ∴＝． 综上，的值为或． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $