2026年中考数学二轮复习 图形的相似 综合复习训练题

**基本信息** 聚焦图形相似的判定与性质，通过分层题型系统整合全等、勾股定理等知识，强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础证明|题1、4、15|SAS/AA证相似、中点性质应用|从菱形/正方形性质到相似判定，构建"性质-判定-应用"链条| |计算应用|题2、5、13|相似比与勾股定理结合、面积转化|由图形性质推导比例关系，实现几何量精确计算| |动态探究|题3、8、10|折叠/动点分类讨论、辅助线构造|以运动变化为载体，深化空间观念与创新意识|

2026年中考数学二轮复习《图形的相似》综合复习训练题 1,如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上，且AE=CF.连接BE、BF,延 长BF交AD的延长线于点G. EDG (I)求证：△ABE≌△CBF; (2)若AB=4,AE=3,求DG的长 2.如图1，在矩形ABCD中(AB>AD),点E是线段CD上的一动点，连接BE.作点C 关于BE的对称点F.连接CF并延长，射线CF交矩形的边于点G,过点A作AH⊥CG, 交CG的延长线于点H. 图1 图2 备用图 (I)若CF的延长线交AD于点G时，求证：∠BFH=∠BAH; (2)连接BD交CH于点I,且AB=4,AD=3 ①若CF的延长线交AD于点G时，如图2，若CE=CD,求CI的长： ②在E点的运动过程中，当GH:CG=1:8时，请直接写出△HCD的面积. 3.矩形ABCD中，AB=10,AD=17,E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AB.将 △ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处， A D A D E B E 图1 图2 【初步感知】 (I)如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F,求证：FP=FC 试卷第1页，共3页 【深入探究】 (2)如图2，点M在线段CD上，CM=3,在点E的移动过程中，当点P恰好落在线段AM 上时，求PM的长 【拓展运用】 (3)如图2，点N在线段AD上，AN=4,在点E的移动过程中，当点P在矩形内部、且 △PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长 4.如图，在菱形ABCD中，AC,BD相交于点O,过点B作∠CBE=∠ACB,BE交AC于 点M,交CD于点E:DF‖BE,交AC于点N,交AB于点F.连接EN,FM. (I)求证：（①△AWD兰△CMB:(i)器=器， (2)若∠CAD=30°，求器的值. 5.【问题背景】 如图1，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F, 我们可以证明：△AED∽△BFE:.(不需要证明) D 图1 图2 图3 (I)【尝试应用】如图2，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作 EF⊥DE交BC于点F. ①求证：△AED∽△BFE: ②若E为AB的中点，AB=10,AD=6,求BF的长 (2)【拓展探究】如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=4,E为AB边 上一点（点E不与点A、B重合），连接CE,过点E作∠CEF=45°交BC于点F,当 △CEF为等腰三角形时，直接写出BE的长， 6.在矩形ABCD中，点M,N分别是AD,BC边上的动点，且AM=CN,连接MN,将 试卷第1页，共3页 矩形ABCD沿MN折叠，点C,D分别落在点C,点D'处，直线MD'与直线BC相交于点P. D 图1 图2C 备用图 (1)如图1，当点P在线段CB上时，与∠PMN相等的角有_和_； (②)如图2，当点P在线段CB的延长线上时，连接AC,交MN于点O,连接OP.求证： OP⊥MN; (3)AB=6,BC=8,当MN=2√10时，请直接写出BP的长。 7.【动手操作】如图1，在矩形纸片ABCD中，在边BC上取一点E,连接AE.沿着直线 AE将纸片剪开，得到△A1B1E1和四边形AECD,如图2所示. E D AA D A(A) B E B EE B E 图1 图2 图3 将三角形纸片A1B1E1置于四边形纸片AECD上方，使得A点与A1点重合，B1点在边AD上 连接EE1,交边AD于点F.连接BB1,分别交线段AE,EE1于点H,G,如图3所示. 【问题解决】在图3中，请解决下列问题 (I)∠AEE1= 度； (2)求证：EG·AF=HG·AE: (3)若tan∠EAB=方，求噩的值. 8.如图，AB=8cm,AC=6cm,∠A=60°，动点P,Q分别以每秒2cm和1cm的速 度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边 一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动） 试卷第1页，共3页 B (1)请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出t的取值范围： (2)当△APQ是直角三角形时，求t的值： (3)当△APQ与△ABC相似时，直接写出t的值. 9.如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且AE=DE,连接DE并延长， 交BC于点F,点G在DF上，连接AG,CG,且∠AGD=2∠ADF,GH平分∠AGD交AD 于点H,交AC于点P,连接EH A (I)【初步感知】求证：△AGH兰△EDH; (②)【深入探究】若E为AC中点，且AB=6,BC=8,求GH的长； (3)【拓展延伸】若DF为∠ADC的平分线，且EH:AG=2:3,求器的值. 10.在△ABC中，∠ABC=a(0°<a<90o),点D在边BC上，且CD=kBD.将 射线CD绕点C按顺时针方向旋转(180°一&)得射线CM,点E在射线CM上（点E与 点C不重合)，连接AD,DE M 图1 图2 图3 (I)如图1，当k=1时，若DE=AD,AB与CE的位置关系为 —'∠ADE与∠CED的 数量关系为（用等式表示) (2)当k=2时，AC与DE交于点F,连接AE ①如图2，若DE=2AD,(1)的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请 试卷第1页，共3页 说明理由； ②如图3，若AB=2CE,求△AEF与△ABC的面积比. 11.如图1，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,AC为对角线，将△ABC绕点A逆时针 方向旋转，得到△AEF(点B的对应点为点E,点C的对应点为点F). 图1 图2 图3 (1)在图1中，连接BE,CF,求证：△ABE∽△ACF; (2)如图2，当点F落在AD的延长线上时，延长FE交BC于点G,求GE的长； (3)如图3，当点E落在矩形的对角线BD上时，延长FE交AC于点H ①求证：AD平分∠FAC; ②直接写出是的值 12.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点M、N分别在边AD、BC上，将矩形 ABCD沿着MN折叠，使点A、B分别落在E、F处，且点F在线段CD上（不与两端点重 合)，EF与AD交于点G,过点M作MH⊥BC于点H,连接BF分别与MH、MN交于点K、 P D B (I)请写出三个与△MHN相似的三角形，并从中任选一个证明它与△MHN相似： (2)求器的值。 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，E为CD中点，过点C作CFAB交 AE延长线于点F,连接BF. 试卷第1页，共3页 (I)证明：四边形DCFB为菱形： (2)AF与BC相交于点G,若AC=12,BF=10,求GC的长. 14.结合图形，解决问题 图1 图2 图3 (I)如图1，BD是∠ABC的角平分线，Rt△PGQ的直角顶点P在BD上，两条直角边分别 交AB、BC于E、F,∠ABC=90°，求证：PE=PF, 【深度探究】 (2)在平行四边形ABCD中，BC=4,点P为AC上一动点(P不与A,C重合)，AB=m, AP=nPC,点E为直线AB上一动点，连接PE,将射线PE绕点P逆时针旋转ax度 (0°<&<180°)交直线BC于点F ①如图2，若∠BAD=&=90°，m=3,n=2,求器的值； ②如图3，若∠BAD=,求器的值（用含有m,n的代数式表示）. 15.某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 图1 图3 (1)问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP,以AP为边 作等边△APQ,连接CQ.求证：BP=CQ, (2)变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC,点P是边BC上任意一点，以AP为腰 作等腰△APQ,使AP=PQ,∠APQ=∠ABC,连接CQ.求证：△ABP∽△ACQ; 试卷第1页，共3页 (3)解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形 APEF,Q是正方形APEF的中心，连接CQ.若正方形ADBC的边长为8，CQ=3V2,请 直接写出AP的长. 试卷第1页，共3页 《2026年中考数学二轮复习《图形的相似》综合复习训练题》参考答案 1.(1)见解析 (2)月 【分析】(1)根据菱形的性质，结合SAS证明即可； (2)先证明△DGF∽△CBF,进而即可求解. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是菱形， AB=BC,∠A=∠C AE=CF .△ABE≌△CBF(SAS): (2)解：：四边形ABCD是菱形， ,AD‖BC,AB=CD=BC=4, AE=CF=3, :DF=CD-CF=1 AD BC, :△DGFM△CBF, :器-器 :哭=清 DG= 2.(1)见解析 ②0，②3成号 【分析】(1)根据轴对称可得∠BCF=∠BFC,根据矩形的性质和四边形的内角和定理即 可解答； (2)①如图2，设BE,CF交于点O,证明△BCE∽△CDG,△BIC∽△DIG,列 比例式即可解答； ②分两种情况：若点G在线段AD上，如图3，过点H作HQ⊥AD于点Q,证明 △QHG∽△DCG,求出QG的长，再根据三角形的面积公式求解即可；若点G在线段 AB上，如图4，过点H作HQ⊥AB于点Q,证明△HQG△CBG求出QH的长，再根 据三角形的面积公式求解即可， 答案第1页，共2页 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为矩形， ∠ABC=90°， 点C关于BE的对称点为F, :BC=BF, ∠BCF=∠BFC, AH⊥CG, ∠H=90o, ∠BCF+∠BAH=360°-∠ABC-∠H=180°， ∠BFC+∠BFH=180°， ∠BAH=∠BFH; (2)解：①如图2，设BE,CF交于点0， 图2 :四边形ABCD为矩形， ∠BCE=∠CDG=90°，BCIDG,CD=AB=4,BC=AD=3, 由轴对称的性质可得BE⊥CF, .∠CB0+∠BC0=90°， :∠BC0+∠0CE=90°， .∠CB0=∠OCE, .△BCEM△CDG, 荒=器， CE=CD, .CE=1, “=, DG= BCIDG, 答案第1页，共2页 .△BIC△DIG, “=脱=青=青， 在Rt△CDG,由勾服定莲得CG=VD+DG=42+()-. c1=品cG=是×= 13 ②若点G在线段AD上，如图3，过点H作HQ⊥AD于点Q, 图3 :四边形ABCD为矩形， AD⊥CD, :QH IICD, △QHG△DCG, :88=器， GH:CG=1:8, 8=, :QG=吉DG=言， :DQ=DG+QG=3 S△HcD=CD·DQ=克×4X号=3； 若点G在线段AB上，如图4，过点H作HQ⊥AB于点Q, H A 图4 同理可证明QHBC, .△HQG∽△CBG, 答案第1页，共2页 :-器， :GH:CG=1:8, :哭=， :QH=言， :点H到CD的距离为3+鲁=晋， :SAHCD=专×4×号=： 综上所述，△HCD的面积为3或？， 3.(1)见解析 (2)13V2-10 (3)5 【分析】(I)连接EF,证明Rt△EPF兰Rt△ECF,即可求证； (2)对Rt△ADM运用勾股定理求解AM即可； (3)过点P作PH⊥AD于H,交BC于点G,证明△PHN∽△DHP,可得 HP2=HNHD,设HN=x,HD=13-x,根据勾股定理得到关于x的方程，可得到 HP=6,AH=8.HG=AB=10,PG=4,BG=AH=8.设BE=m,则 PE=m,GE=8-m,在Rt△PGE中，根据勾股定理求出m=5,即可求解. 即BE的长为5.， 【详解】(1)证明：连接EF, A D F B B C :四边形ABCD为矩形， ∴∠B=∠C=90o. 由折叠可得∠APE=∠B=90°，PE=BE. ∠EPF=90°， :E为BC的中点，BE=EC, 答案第1页，共2页 :PE=EC 在Rt△EPF与Rt△ECF中， :EP=EC,EF=EF, .Rt△EPF≌Rt△ECF(HL), :FP=FC; (2)解：如图， AN D M E 图2 由折叠可得，AP=AB=10, :矩形ABCD中，AB=CD=10,AD=BC=17,∠D=90° 又：CM=3 :DM=CD-CM=7 ∴AM=AD2+DM2=132, :PM=AM-AP =132-10: (3)解：过点P作PH⊥AD于H,交BC于点G, .∠1十∠3=90°. B E G :∠NPD=90o, .∠1十∠2=90。， ∠3=∠2 :∠PHN=∠DHP, .△PHN△DHP, 答案第1页，共2页 㗊=器， :HP2=HN.HD, AN=4,AD=17, DN=13 设HN=x,HD=13-x, AH=x+4,HP2=x(13-x) AB=10, .AP=AB=10, HP2=AP2-AH2, HP2=102-(x+4)2 x(13-x)=102-(x+4)2, 解得x=4. HP=6,AH=8.HG=AB=10,PG=10-6=4,BG=AH=8. 设BE=m,则PE=m,GE=8-m. 在Rt△PGE中，PE2=EG2+PG2, m2=(8-m)2+42. 解得，m=5, 即BE的长为5.， 4.(1)(i)见解析；(i)见解析 号 【分析】(I)(i)由菱形的性质可推出AD=BC,AD‖BC,可得出∠BCM=∠DAN, ∠CBD=∠ADB,由DFIBE可得出∠DBE=∠BDF,∠CBM=∠ADN,再根据ASA证 明△AND兰△CMB: (ii)证明∠ADN=∠CBM=∠ACB=∠ACD结合∠DAN=∠CAD,可证明 △AND△ADC,得器=器.证明△ANF△CND,得器=器，得器=罂： (2)分别证明AP=专AD,A0=AD,可得AC=2A0=5AD,即可求出5=誓 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：(i):四边形ABCD是菱形， ·AD=BC,AD‖BC, ·∠BCM=∠DAN,∠CBD=∠ADB :∠DBE=∠BDF, :DFI‖BE, ·∠DBE=∠BDF, ·∠CBD-∠DBE=∠ADB-∠BDF.即∠CBM=∠ADN. 在△AND和△CMB中 I∠DAN=∠BCM AD=CB ∠ADN=∠CBM :△AND≌△CMB(ASA): (i)由(i)知，∠ADN=∠CBM, 又：四边形ABCD是菱形， ·∠ACD=∠ACB. 又∠CBE=∠ACB, :∠ADN=∠CBM=∠ACB=∠ACD. 又∠DAN=∠CAD, :△AND△ADC, …船=器。 ABII CD, ∴∠NAF=∠NCD,∠NFA=∠NDC, .△ANF∽△CND, “歌=部，即器=器， 器=器； (2)解：：四边形ABCD是菱形， ·∠AOD=90°，∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=30°， 又：∠ADF=∠CBE=∠ACB=30°， :∠AFD=180°-∠ADF-∠BAC-∠CAD=90°， 在Rt△AFD中，∠ADF=30°， 答案第1页，共2页 ·AF=支AD. 在Rt△AD0中，∠DAO=30°， HA0=ADc09300=号AD, ..AC=2A0=3AD. 3AD 5.(1①见解析；② (22或2V2 【分析】(1)①由题意得∠ADE=∠BEF,进而可证△AED△BFE;由题意知，② AE=BE=5,由①知△AED△BFE,则器=器，即号=品，计算求解即可： (2)由勾股定理得AB=VAC2+BC2=4,则AC=BC=2√2，证明 △ACE∽△BEF;由题意知，当△CEF为等腰三角形时，分CE=EF,CF=EF, CE=CF,三种情况求解；当CE=EF时，则△ACE兰△BEF,BE=AC,进而可求 结果；当CF=EF时，∠FCE=∠CEF=45°，则CE⊥AB,BE=AB,进而可求结 果；当CE=CF时，此时不成立. 【详解】(1)①证明：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠B=90°， :∠ADE+∠AED=90°. :DE⊥EF, ∠DEF=90°， ·∠BEF+∠AED=90°， ·∠ADE=∠BEF, 又：∠A=∠B, ·△AEDM△BFE: ②：E为AB的中点，AB=10, ·AE=BE=5, 由①知△AED∽△BFE, 答案第1页，共2页 “船=器，即=品， ·BF=ξ (2)解：：∠ACB=90°，AC=BC, ·∠A=∠B=45°，AB=VAC2+BC=4, 解得AC=BC=2V2, :∠ACE+∠AEC=180°-∠A=135°=∠AEC+∠BEF, .∠ACE=∠BEF, .△ACE∽△BEF; 由题意知，当△CEF为等腰三角形时，分CE=EF,CF=EF,CE=CF,三种情况求 解； 当CE=EF时，则△ACE兰△BEF, ·BE=AC=22, 当CF=EF时，∠FCE=∠CEF=45°， .∠CEB=180°-∠B-∠FCE=90°，即CE⊥AB, 又AC=BC, :BE=AB=2; 当CE=CF时，∠CFE=∠CEF=45°， ·∠FCE=90°，此时点A与点E重合，不符合题意； 综上所述，BE的长为2或2V2. 6.(I)∠PNM,∠DMN (2)证明见解析 (3)BP=5或13 【分析】(1)根据折叠与平行线的性质可得答案； (2)结合(1)的方法易证PM=PN,由AAS证得△AMO≌△CNO,得出OM=ON ，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； (3)如图，过M作MH⊥BC于H,求解HN=VMN2-MH2=2,设PH=x,结合(2) 可得：PM=PN=x+2,可得PM=10,PH=8,过O作OK⊥BC于K,则OKAB, 答案第1页，共2页 而AO=CO,证明△COK△CAB,进一步可得答案，如图，过M作MH⊥BC于H, 过0作0K⊥BC于K,同理可得：CP=5,BP=BC+CP=13 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， :ADIBC, .∠DMN=∠PNM, 由翻折的性质得：∠DMN=∠PMN, ·∠PMN=∠PNM=∠DMN (2)证明：：四边形ABCD是矩形， :ADIIBC, ∴∠MAO=∠NCO,∠DMN=∠PNM, 由翻折的性质得：∠DMN=∠PMN, ∠PMN=∠PNM, :PM=PN, :AM=CN,∠A0M=∠C0N, .△AM0≌△CN0(AAS), :.OM=ON,AO=CO, .OP⊥MN; (3)解：如图，过M作MH⊥BC于H, D D B H K C :矩形ABCD, ∠ABC=∠BAD=90o=∠MHB=∠MHN, 四边形ABHM是矩形， ∴.AB=MH=6, :MN=2W0, 答案第1页，共2页 :HN=MN2-MH2 =2. 设PH=x,结合(2)可得：PM=PN=x+2, (x+2)2=x2+62, 解得：x=8, PM=10,PH=8, 过0作OK⊥BC于K,则OKAB,而AO=CO, △COK△CAB, :盟=器=， :.CK=BK=4, 同理：HK=NK=1, BH=4-1=3, .BP=8-3=5, 如图，过M作MH⊥BC于H,过O作OK⊥BC于K, D' B 同理可得：CP=5, :BP=BC+CP=13, 综上：BP=5或13 7.(1)45 (②)证明见解析 【分析】(1)由题意得AE=AE1,∠BAE=∠B1AE1,结合矩形∠BAD=90°得出 ∠EAE1=90°，证明△AEE1是等腰直角三角形，即可得出∠AEE1=45°： (2)先由AB1=AB和∠BAD=90·证△BAB1是等腰直角三角形得∠ABB1=45°，结 答案第1页，共2页 合对顶角相等证△AHB∽△GHE得对应角相等，再结合等腰直角三角形的45·角证 △GHE∽△AFE1,最后由相似三角形对应边成比例交叉相乘即可得证； (3)设BE=a,由tan∠EAB=专得AB=2a,用勾股定理和等腰直角三角形性质求出 AE、EE1、BB1,再利用AD‖BC证△AB1H∽△EBH求出BH和EH,接着通过 △AHB∽△GHE求出EG,通过△ABH∽△AFE1求出E1F,最后用EE1减去E1F和 EG得到FG,进而求出噩的值。 【详解】(1)解：由题意得AE=AE1,∠BAE=∠B1AE1, :四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°， :∠BAE+∠B1AE=90°， ∠B1AE1+∠B1AE=90°，即∠EAE1=90°， △AEE1是等腰直角三角形， :∠AEB1=45°； (2)证明：由题意得AB1=AB, 又：∠BAD=90°， :△BAB1是等腰直角三角形， ∠ABB1=45°， :∠AEE1=45°， .∠ABB1=∠AEE1, 又：∠AHB=∠GHE, .△AHB△GHE, .∠EGH=∠BAE, ∠BAE=∠B1AE1, :∠EGH=∠BAE1, :△ABE1是等腰直角三角形， .∠AE1E=∠AEE1=45°， △GHE△AFE1, :噩=噩， :EG·AF=HG·AE1: 答案第1页，共2页 (3)解：在Rt△ABE中，tan∠EAB=焉=方，设BE=a,则AB=2a, :AB=AB=2a,AE=AB2+BE2=5a. :△AEE1和△BAB,都是等腰直角三角形， .EE=2AE=10a.AE=AF=V5 a.BB1=2AB=22a. :四边形ABCD是矩形， ∴AD‖BC, △AB,H∽△EBH, :盟--品=等=2， :B H=2BH,AH=2EH, BB1=BH+BH=2v2a,AE=AH+EH =V5 a, BH=9,H=, △AHB△GHE, 器=器，即晶-玉 解得EG=0a :∠BAE=∠B1AE1,∠ABB1=∠AE1E=45°， .△ABH△AEF, 铝=器，即高=家。 解得ER=0 3 FG=EE1-EF-EG=10a-0ao 0a 器号零 12tcm(0≤t<3 8.(①AP= (6cm3≤t≤8)，AQ=(8-t0cm(0≤t≤8) (2)t=昌或t=5 3)t=登或t=号 答案第1页，共2页 【分析】(1)因为点P的速度是每秒2cm,从A出发沿AC运动，所以AP的长可直接用速 度乘时间表示；因为AB=8cm,根据AQ=AB-BQ可表示出AQ的长；所以先算出P、 Q运动的最长时间，即可确定t的取值范围 (2)因为△APQ是直角三角形，且∠A=60·，,所以分两种情况讨论：∠APQ=90°和 ∠AQP=90°；同时要注意t的取值范围，对解进行筛选， (3)因为△APQ与△ABC相似，且∠A是公共角，所以分两种情况： △APQ∽△ACB和△APQ∽△ABC;根据对应边成比例，代入含t的代数式建立方 程；结合t的取值范围，求解方程得到t的值， 【详解】(1)AP:点P速度为2cm/s,点P到达点C用时号=3s, 12tcm(0≤t<3 AP= (6cm(3≤t≤8' AQ:点Q速度为1cm/s,从B走到A总用时8s,BQ=t, ∴AQ=(8-t)cm(0≤t≤8： (2)AP=2t,AQ=8-t, ∠A=60°， 直角只能是∠APQ或∠AQP,分情况讨论： ①当LAPQ=90°时，∠AQP=30°， ..AQ =2AP. 当0≤t≤3时，得8-t=2·2t,解得t=昌，符合题意。 当3<t≤8时，AP=6,则8-t=2×6,解得：t=一4，不符合题意. ②当∠AQP=90°时，∠APQ=30°， .AP =2AQ 当0≤t≤3时，代入得2t=2(8-t),解得t=4,超出0≤t≤3，舍去； 当3<t≤8时，AP=6,代入得6=2(8-t),解得t=5,符合题意. 综上，t的值为t=号或t=5. (3)两个三角形有公共角∠A,仅需夹∠A的两边成比例，分两种对应情况： 当是=器（即△APQ∽△ACB)时： 当0≤t≤3时，代入AP=2t,AC=6,AQ=8-t,AB=8,得若=号，解得t= 答案第1页，共2页 ，符合题意 当3<t≤8时，代入AP=6,AC=6,AQ=8-t,AB=8,得名=言，解得t=0,不 符合题意，舍去 当器=器（即△APQ~△ABC时： 当0≤t≤3时，代入得普=若，解得t=曾，不符合题意，舍去. 当3<t≤8时，AP=6,代入得=若，解得t=五，符合题意. 综上，t的值为t=登或t=. 9.(1)证明见解析 2号 6房 【分析】(1)通过等边对等角，得到∠DAE=∠ADF,再利用角的倍数关系和外角性质， 得到∠AGE=∠AEG,从而得到AG=AE=DE,利用角平分线的性质得到 ∠HGD=∠HDG,从而得到GH=DH,利用SAS即可证明全等； (2)通过中点的条件，确定四边形ABCD为矩形，利用矩形的性质和(1)中的结论，构 建相似三角形，用勾股定理列方程求解即可； (3)借助(1)的结论，可以得到以∠HAE为底角的等腰三角形，腰与底边之比为2：3， 根据(1)的推导过程，找出图中底角等于∠HAE的等腰三角形，设参数利用比例求解，分 别表示出FG和DG,再求比例即可， 【详解】(I)证明：：AE=DE, ∠DAE=∠ADF, ∠AEG=∠DAE+∠ADF=2∠ADF, 又∠AGD=2∠ADF, .∠AGD=∠AEG, :.AG=AE, :.AG=ED, :GH平分∠AGD, .∠AGH=∠DGH=∠AGD=∠ADE, 答案第1页，共2页 :GH=DH, △AGH≌△EDH(SAS); (2)解：如图，若E为AC中点，则点B与点F重合，DF为平行四边形的对角线， G B(F) 又AE=DE, :AC=2AE=2DE=DF=DB, :平行四边形ABCD是矩形， ∠ABC=90°，AD=BC=8, :.AC=VAB2+BC2 =10, :DE=DB=专AC=5, 如图，作HM⊥DB, H D E G B(F) :∠MDH=∠ADB,∠DMH=90°=∠DAB, .△DMH△DAB, :器=器=器， :HM=DH,DM=DH, 由(1)，得EH=AH=AD-DH=8-DH,GH=DH, 又EM=DE-DM=5-DH, EH2=EM2+HM2,即(8-DH)2=(5-告DH)2+(得DH)2, 解得DH=碧， 答案第1页，共2页 :GH=DH=器； (3)解：由(1)，得AG=AE,AH=EH, EH:AG=EH:AE=2:3,∠HAE=∠HEA, 设EH=2k,则AH=EH=2k,AE=3k=DE, :∠HAE=∠EAD,∠HEA=∠HAE=∠ADE, ∴△EAH∽△DAE, :器=器=， .AD=4.5k, :DH=AD-AH=2.5k, 由(1)，得GH=DH, .∠HDG=∠HGD=∠EAD, 又∠HDG=∠EDA, .△HGD△EAD, :器=器=名， .DG=k, :DF为∠ADC的平分线， ∠ADE=∠CDE, 在平行四边形ABCD中，AD‖BC, ∠ADE=∠CFD,∠DAE=∠ECF, :∠CDE=∠CFD=∠ADE=∠ECF, :.EF=EC,CF=CD, 同证明△HGD∽△EAD的过程，可得△CDF△EDA∽△EFC, 器=器=， 设EF=2m,则CF=CD=3m,FD=号CD=4.5m, 又FD=EF+DE=2m+3k, .2m+3k=4.5m, m=号k, 答案第1页，共2页 :FG=FD-DG=4.5m-k=号×号k-k=0k, 器-素-岩 10.(I)ABII CE,∠ADE=2∠CED (2)①(1)中结论仍然成立，理由见解析；②号， 【分析】(I)延长AD交EC延长线于点H,先证AB‖CE,利用平行线性质和BD=CD, 证明△ABD兰△HCD,再结合AD=DE,推导线段与角的数量、位置关系， (2)①延长AD交EC延长线于点H,先证AB‖EH,由边长比例证明△ABD∽△HCD ,推出HD=2AD,结合DE=2AD得HD=DE,进而验证(1)中结论是否成立.②过 点D作DNI‖AB交AC于N,先由平行证△CDN∽△CBA得比例；再证DNICE,得 △ECF~△DNF;设份数表示各三角形面积，依次推导△ECF、△AEF、△ABC的 面积关系，最终求出面积比 【详解】(1)解：延长AD交EC的延长线于点H 图1 :∠ABC=&,∠DCE=180°-&， :∠ABC+∠DCE=180°， ·AB ICE. ÷∠BAD=∠CHD. :k=1, :BD=CD 在△ABD和△HCD中， I∠BAD=∠CHD ∠ADB=∠HDC BD=CD ·△ABD≌△HCD(AAS. :AD =HD AD=DE, 答案第1页，共2页 HD=DE, ·∠DHE=∠DEH· :∠ADE=∠DHE+∠CED, ·∠ADE=2∠CED (2)解：①(1)中结论仍然成立，理由如下： 如图，延长AD交EC的延长线于点H M :∠ABC=,∠DCE=180°-， ÷∠ABC+∠DCE=180°， AB‖EH. ·△ABD△HCD. :k=2 …器=， …器=， ·HD=2AD DE =2AD, :HD=DE ·∠DHE=∠DEH :∠ADE=∠DHE+∠CED, :∠ADE=2∠CED, :(1)中结论仍然成立 ②过点D作DNI‖AB,交AC于点N. 答案第1页，共2页 :DN‖AB, :△CDN∽△CBA, :器=， 器=号， …器=器=， :∠ABC=,∠DCE=180°-X, ÷∠ABC+∠DCE=180°， :DN‖AB, ·∠DNC=∠ABC, ÷∠DNC+∠DCE=180°， ÷DNCE :△ECFM△DNF, 器=焉， 设AB=6k, AB =2CE, ·CE=3k, DN=号AB=4k, “器=焉==， …==(得)2-品 M 设S△ECF=9x, S△DNF=16x, 答案第1页，共2页 :器=是，△DCF与△DNF同高，面积比等于底之比： 器=贯= SADCR=×16x=12x, SADCN=S△DCF+S△DNF=12x+16x=28x, :△CDN△CBA,器=， 器=（眉）=， S△4Bc=28x÷号=63x, :CFFN=3:4, CF:CN=3:7=6:14, CN:AC=2:3=14:21 CF:AC=6:21=2:7, .AF:FC=5:2, S△4E=号SAECR=×9x=号x, --品， 11.(1)见解析 (2)GE=2 (G)0见解析：②是=器 【分析】(1)由旋转得AB=AB,AP=AC,∠BAC=∠EAP,所以可证器=器，即 可求证△ABE∽△ACF; (2)过点G作GM⊥AD,垂足为M,先证明四边形GMDC是矩形，再证明 △GMF≌△AEF(AAS),即可求解： (3)①延长EH交BC于点N,连接AN,DF,设EF交AD于点S,先证明 ∠BEN=∠NBE,NB=NE,由外角的性质得出∠HNC=2∠EBN,再由三角形内角和 定理得出∠FAH=2∠EBN,即可求证： ②先证明AN垂直平分BE,再证明△ABN∽△CBA,求出BN,NC的值，接着证明 △ACD兰△AFD(SAS),求出SD,AS的值，再证明△ASH△CNH,利用相似三 答案第1页，共2页 角形的性质即可求解. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8, BC=AD=8,∠ABC=90°， :由勾股定理得AC=AB2+BC区=V62+82=10. 由旋转可得：AE=AB=6,AF=AC=10,∠BAC=∠EAF, ∠BAE=∠BAC-∠EAC, ∠CAF=∠EAF-∠EAC, .∠BAE=∠CAF, :是=器-品=， ∴△ABE∽△ACF; (2)解：如图1，过点G作GM⊥AD,垂足为M,则∠GMD=90°， 图1 :四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8, ∴AF=AC=VAB2+BC2=10,∠ADC=∠DCB=90°， 则∠GMD=∠MDC=∠DCG=90°， .四边形GMDC是矩形， :MG=DC, 由旋转得：AB=AE,BC=EF,∠ABC=∠AEF,∠ACB=∠AFE, MG=EA,∠GMF=∠AEF=90°， 又：∠F=∠F △GMF≌△AEF(AAS), :GF=AF=AC,MF=EF=BC=AD, :GE=GF-EF=AF-MF=AC-AD=10-8=2; (3)解：①如图2，延长EH交BC于点N,连接AN,DF,设EF交AD于点S,AC交BD 于点H, 答案第1页，共2页 H N 图2 由旋转得AB=AE,∠ABC=∠AEF=90°，∠ACB=∠AFE, .∠ABE=∠AEB,∠ABC=∠AEN=90°， ∠NBE=∠ABC-∠ABE,∠BEN=∠AEN-∠AEB, .∠BEN=∠NBE, .NB=NE,∠HNC=2∠EBN, :∠AHF=∠CHN,∠ACB=∠AFE, 180°-∠AHF-∠AFE=180°-∠CHN-∠ACB, 即∠FAH=∠HNC,.∠FAH=2∠EBN, :四边形ABCD是矩形， :BG=GC,AD BC, .∠EBC=∠ACB=∠DAC, ∠FAH=2∠EBN=2∠DAC=∠DAC+∠DAF, .∠DAC=∠DAF, ·AD平分∠FAC: ②答案：提=器 解：“AB=AE,NB=NE .AN垂直平分BE ∠BAN+∠ABE=∠ABE+∠EBN=90°， .∠BAN=∠EBN=∠ACB 又：∠ABN=∠CBA=90°， .△ABN△CBA, 盼=器=，即踏=， :.BN=,NC=BC-BN= 答案第1页，共2页 :∠DAC=∠DAF,AD=AD,AC=AF, △ACD≌△AFD(SAS), CD=FD,∠ADC=∠ADF=90°， D为FC的中点， :四边形ABCD是矩形， :SD NC .△FSDM△FNC, 器=咒= :SD=NC=子，AS=AD-SD=8-子=9， ASIINC, .△ASH△CNH, 能=祭=等=得.AH=HC. 是=c=器 AH 【点晴】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质， 垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键熟练掌握基本 图形和基本推理。 12.(I)△MPK,△BHK,△BPN;选择证明△MHN△BCF,证明见解析（答案 不唯一) (21 【分析】(1)利用矩形和折叠的性质，得出两组相等的角，即可证明全等； (2)证明四边形ABHM为矩形，由(1)得△MHN∽△BCF,利用对应边成比例求解 即可. 【详解】(1)解：△MPK,△BHK,△BPN,△BCF,△FPN.(写出3个即可)； 选择证明△MHN∽△BCF, 答案第1页，共2页 E G B- N 证明：在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=∠C=90°. :MH⊥BC, :∠MHN=∠MHB=90o. ·∠C=∠MHN,∠PNH+∠HMN=90o. 由折叠可知，MN⊥BF, :∠BPN=90°. :∠PNH+∠PBN=90o. .∠HMN=∠PBN. ·△MHN∽△BCF. (2)解：：∠A=∠ABC=∠MHB=90°， ·四边形ABHM为矩形， .AB=MH=6,BC=8. 由(1)得△MHN∽△BCF, 器=哭 …器=提= 13.(1)见解析 2号 【分析】(1)先证明△ADE兰△FCE,根据全等三角形的性质可得：AD=CF=BD, 根据CFAB可判定四边形DCFB是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线性质得 DC=BD,据此即可得出结论： (2)连接DF交BC于点H,根据菱形性质得DH⊥BC,CH=BH=吉BC,FH=DH, BD=BF=10,进而得AB=2BD=20,在△ABC中，由勾股定理得BC=16,继而 得CH=BH=8,再证明DH是△ABC的中位线得FH=DH=6,然后证明△FHG和 △ACG相似，利用相似三角形的性质即可得出GC的长. 答案第1页，共2页 【详解】(1)证明：：CFAB, ·∠EAD=∠EFC, :点E为CD的中点， ·DE=CE, ∠EAD=∠EFC 在△ADE和△FCE中， ∠AED=∠FEC DE=CE ·△ADE≌△FCE(AAS), ÷AD=CF, :点D为AB中点， :BD=AD, :BD=CF, 又：CFAB, ·四边形DCFB是平行四边形， 在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点， :DC=BD=AD=支AB, :平行四边形DCFB是菱形； (2)解：连接DF交BC于点H,如下图所示： 由(1)可知：四边形DCFB是菱形， :DH L BC,CH=BH=BC.FH=DH,BD=BF, :BF=10, :BD=BF=10, :点D为AB中点， ·AB=2BD=20, 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12, 答案第1页，共2页 由勾股定理得：BC=VAB2-AC2=V202-12=16, :.CH=BH=BC=8, :DF⊥BC, ·∠DHB=∠ACB=90o, ·DFAC, 又：点D为AB中点， :DH是△ABC的中位线， ·DH=号AC=6, ·FH=DH=6, DFILAC, ÷△FHG△ACG, 照=器=品=， 设HG=a,GC=2a, .CH=CG+HG=3a=8, 解得：a=号， GC=2a=9. 14.(1)见解析 2)①器=号；②器=0 【分析】(1)利用角平分线的性质作辅助线，再证明全等即可求出答案。 (2)①利用矩形的性质过点P分别作AB,BC的平行线，构造相似三角形，再利用相似三角 形的性质求解。 ②借鉴第(2)①问的方法，过点P作BC的平行线，构造相似三角形求解. 【详解】(1)证明：如图，作PH⊥AB,PN⊥BC, :BD是∠ABC的角平分线， :PH=PN, :∠ABC=∠GPQ=90°，PH⊥AB,PNLBC, :四边形HPNB为矩形， 答案第1页，共2页 .∠HPN=90°， ·∠HPE=∠NPF, 在△HPE和△NPF中， I∠HPE=∠NPF PH-PN ∠PHE=∠PNF :△HPE≌△NPF(ASA), :PE=PF. (2)①解：如图所示，过点P分别作AB,BC的垂线，交AB于点H,交BC于点N, :PH⊥AB,∠B=90°， :∠B=∠AHP=90°， ÷HP‖BC, ·∠APH=∠ACB, ·△APH△ACB, …器=器=胱， :AB=3,BC=4,n=2, AH=2,HP=9, :BH=PN=1, '∠HPN=∠EPF=90o,， ·∠HPE=∠NPF, 又：∠PHE=∠PNF=90°， ·△HPE△NPF, …器=器=， 答案第1页，共2页 D H- E B ②解：如图，作PH‖BC,作∠PNF=a, PH BC. ·△AHP∽△ABC, :器=器=光=品，AB=mBC=4, AH=器，HP=器， BH=AB-AH=m-器=器， :∠B=∠PNB=180°-x, BH=PN=器， '∠PNF=∠PHE=∠BAD=, :∠HPE=∠NPF, ·△HPE∽△NPF, 器=器=鹄骋=。 D B 【点晴】本题主要考查了利用已知条件作辅助线，构造全等或相似三角形，解题关键是找到 破题点，作辅助线，再利用全等或相似求解. 15.(1)见解析 (2)见解析 3)2W17 【分析】(1)证明△BAP兰△CAQ(SAS),即可证得结论： (2)证明△BAC∽△PAQ,则是=器，由∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ得到 ∠BAP=∠CAQ,即可证得结论： 答案第1页，共2页 》连接A5:证明△P△ACQ,得到器-器=方=导.g BP=V2CQ=6,可得PC,根据勾股定理，即可得AP的长. 【详解】(1)证明：：△ABC与△APQ都是等边三角形， AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ=60°， ∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ, ∠BAP=∠CAQ, 在△BAP和△CAQ中， AB-AC ∠BAP=∠CAQ AP=AQ △BAP≌△CAQ(SAS), :.BP=CQ; (2)解：：在等腰△ABC中，AB=BC, :∠BAC=∠BCA=专(180·-∠ABC), :在等腰△APQ中，AP=PQ, .∠PAQ=∠PQA=支(180°-∠APQ), :∠APQ=∠ABC, ∠BAC=∠PAQ, △BAC△PAQ, 骆=股， :∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ, ∠BAP=∠CAQ, .△ABP△ACQ, (3)解：连接AB,AE,PF,如图3所示： 图3 四边形ADBC是正方形， 答案第1页，共2页 是=V2,∠BAC=45°， :Q是正方形APEF的中心， :0=V2,∠PAQ=45, .∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ, .∠BAP=∠CAQ, :器=最=反， .△ABP∽△ACQ, 指=器方号。 :cQ=32, :.BP=V2CQ=6. :正方形ADBC的边长为8， :CP=BC-BP=2, AP=VAC2+PC2=82+22=2v17 答案第1页，共2页