第1部分 第4章 第1节 线段、角、相交线和平行线-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

第一节　线段、角、相交线和平行线 考点一　直线、射线与线段 基本事实 (1)直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． (2)线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短． 考点二　角的计算 1．角的表示：可以用三个大写字母表示，如∠AOB；也可用顶点的大写字母表示，如∠A；或用一个数字或希腊字母表示，如∠1，∠α等． 2．角的单位与换算：1度＝60分，1分＝60秒，1周角＝360度＝2平角＝4直角． 3．角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线． 4．余角与补角 (1)定义：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称互余；如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称互补． (2)性质：同角(等角)的余角相等，同角(等角)的补角相等． 5．对顶角：对顶角相等． 考点三　相交线与平行线 1．三线八角 (1)同位角：形如“F” ； (2)内错角：形如“Z” ； (3)同旁内角：形如“U” ． 2．垂线 (1)两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线． (2)性质：①在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 3．平行线 (1)平行线的性质与判定：①同位角相等⇔两直线平行；②内错角相等⇔两直线平行；③同旁内角互补⇔两直线平行． (2)平行公理及其推论：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 考点四　命题、公理与定理、证明 1．命题 (1)命题：判断一件事情的语句，叫做命题． ①真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题． ②假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题． 2．公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理． 3．定理：除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实．经过推理证实的真命题叫做定理． 4．证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明． 1．(人教版七上P128思考改编)如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近C处搭顺风车．他选择第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是(　　) A．两点确定一条直线　 B．两点之间，直线最短　 C．两点之间，线段最短　 D．经过一点有无数条直线 C　[两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．] 2．(青岛版七下P12练习T1改编)下列换算错误的是(　　) A．47.28°＝47°16′48″ B．0.25°＝900″ C．16°5′24″＝16.09° D．83.5°＝83°50′ D　[A．∵1°＝60′， ∴0.28°＝16.8′， ∵1′＝60″， ∴0.8′＝48″， ∴47.28°＝47°16′48″， 故A不符合题意； B．∵1°＝3 600″， ∴0.25°＝900″， 故B不符合题意； C．∵1°＝60′， ∴0.09°＝5.4′， ∵1′＝60″， ∴0.4′＝24″， ∴16°5′24″＝16.09°， 故C不符合题意； D．∵1°＝60′， ∴0.5°＝30′， ∴83.5°＝83°30′， 故D符合题意．故选D．] 3．如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠2＝34°，则∠1的度数为(　　) A．43° B．46° C．50° D．56° D　[∵m∥n，∠2＝34°， ∴∠2＝∠ABC＝34°， 又∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∴∠1＋∠ABC＝90°， ∴∠1＝90°－34°＝56°， 故选D．] 4．如图所示，以下四种结论：①若∠1＝∠2，则AB∥CD；②若∠1＝∠2，则AD∥BC；③若∠3＝∠4，则AB∥CD；④若∠3＝∠4，则AD∥BC，其中正确的是(　　) A．①② B．③④ C．①④ D．②③ C　[∵∠1＝∠2，∴AB∥CD， ∵∠3＝∠4，∴AD∥BC， ∴①④正确． 故选C．] 5．下列命题正确的是(　　) A．如果两个锐角的和为90°，那么这两个锐角互为余角　 B．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等 C．如果两个角的和是180°，那么这两个角互为邻补角 D．相等的角是对顶角 A　[A．如果两个锐角的和为90°，那么这两个锐角互为余角，正确，是真命题； B．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，是假命题； C．两个角的和为180°时互补，但不一定相邻，故错误，是假命题； D．相等两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题． 故选A．] 命题点1　直线、射线与线段 【典例1】　如图，下列说法正确的是(　　) A．点O在射线BA上　 B．线段AO和线段OA是同一条线段　 C．直线AO比直线BO长　 D．射线OA和射线AO是同一条射线 B　[∵点O在射线AB上， ∴选项A不正确，不符合题意； ∵线段AO和线段OA是同一条线段， ∴选项B正确，符合题意； ∵直线可以向两端无限延长，无法比较大小， ∴选项C不正确，不符合题意； ∵射线OA和射线AO是两条不同的射线， ∴选项D不正确，不符合题意． 故选B．] 【典例2】　已知线段AB＝30，直线AB上有一点C，且AC∶BC＝1∶4，D为AC的中点，则BD的长为(　　) A．24 B．35 C．24或26 D．27或35 D　[如图，∵线段AB＝30，直线AB上有一点C，且AC∶BC＝1∶4， ∴BC＝AC＋AB＝AC＋30， ∴＝， ∴AC＝10， ∵D为AC的中点， ∴DA＝AC＝×10＝5， ∴BD＝AB＋DA＝30＋5＝35． 如图，∵线段AB＝30，直线AB上有一点C，且AC∶BC＝1∶4， ∴BC＝AB－AC， ∴＝， ∴＝， ∴AC＝6， ∵D为AC的中点， ∴AD＝AC＝×6＝3， ∴BD＝AB－AD＝30－3＝27． 综上所述，BD的长为35或27． 故选D．] [对点演练] 1．[易错题]如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．点A在直线BD外　 B．点C在直线AB上　 C．射线AC与射线BC是同一条　 D．直线AC和直线BD相交于点B C　[射线AC与射线BC的端点不同，不是同一条射线． 故选C．] 2．如图，点B，C，D在线段AE上，已知BD＝3，BD＝AE，则图中所有线段的长度之和为(　　) A．42 B．48 C．50 D．56 A　[∵BD＝3，BD＝AE， ∴AE＝9， 题图中所有线段的长度之和为AB＋BC＋CD＋DE＋AC＋BD＋CE＋AD＋BE＋AE ＝(AB＋BC＋CD＋DE)＋(AC＋CE)＋BD＋(AD＋BE)＋AE ＝AE＋AE＋BD＋(AD＋BE)＋AE ＝3AE＋BD＋(AB＋BD＋BE) ＝3AE＋2BD＋(AB＋BE) ＝4AE＋2BD ＝4×9＋2×3 ＝42． 故选A．] 命题点2　相交线与角 【典例3】　(2023·临沂)如图中用量角器测得∠ABC的度数是(　　) A．50° B．80° C．130° D．150° C　[根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．故选C．] [对点演练] 3．(2024·甘肃)若∠A＝55°，则∠A的补角为(　　) A．35° B．45° C．115° D．125° D　[若∠A＝55°，则∠A的补角为180°－55°＝125°，故选D．] 4．如图，OD平分∠BOC，∠AOC＝110°，则∠COD度数为(　　) A．25° B．30° C．35° D．45° C　[∵∠AOC＝110°， ∴∠BOC＝180°－∠AOC＝70°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠COD＝∠BOC＝35°，故选C．] 命题点3　平行线的性质与判定 【典例4】　(2023·济宁)如图，a，b是直尺的两边，a∥b，把三角板的直角顶点放在直尺的b边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是(　　) A．65° B．55° C．45° D．35° B　[∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝35°． ∴∠BEC＝180°－∠BEF－∠3＝180°－90°－35°＝55°，∠2＝∠BEC， 故选B． ] 　平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由线的平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，避免出错． [对点演练] 5．(2023·菏泽)一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝(　　) A．30° B．40° C．50° D．60° B　[如图， 由题意得：∠CAD＝60°， ∵AB∥DE，∠1＝20°， ∴∠3＝∠1＝20°， ∴∠2＝∠CAD－∠3＝40°． 故选B．] 6．(2023·临沂)在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是(　　) A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 C　[∵l⊥m，n⊥m，∴l∥n．故选C．] 命题点4　命题与定理 【典例5】　(2024·湖南)下列命题中，正确的是(　　) A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为720° D．直角三角形是轴对称图形 A　[A．两点之间，线段最短，命题正确，符合题意；B．菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故本选项命题错误，不符合题意；C．正五边形的外角和为360°，故本选项命题错误，不符合题意；D．直角三角形不一定是轴对称图形，故本选项命题错误，不符合题意．故选A．] [对点演练] 7．下列语句中，是真命题的是(　　) A．不相交的两条直线叫平行线　 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．任何数都有立方根 D．若a为实数，则|a|＞0 C　[A．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故本选项命题是假命题；B．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项命题是假命题；C．任何数都有立方根，是真命题；D．若a为实数，则|a|≥0，故本选项命题是假命题，故选C．] 8．下列命题中，其逆命题是真命题的是(　　) A．如果x＞0，那么x2＞0　 B．全等三角形的面积相等　 C．两直线平行，内错角相等　 D．如果a＝b，那么a2＝b2 C　[A．逆命题为：如果x2＞0，那么x＞0，错误，为假命题；B．逆命题为面积相等的三角形全等，错误，是假命题；C．逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，为真命题；D．逆命题为如果a2＝b2，那么a＝b，错误，为假命题．故选C．] 课时分层评价卷(十四)　线段、角、相交线和平行线 (说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分) 1．下列命题中，是假命题的是(　　) A．内错角相等　 B．对顶角相等　 C．互余的两个角不一定相等　 D．两点之间，线段最短 A　[内错角不一定相等，故是假命题．故选A．] 2．(2024·广西)如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为(　　) A．20° B．40° C．60° D．80° C　[2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是30°×2＝60°，故选C．] 3．[跨学科](2024·江苏常州)如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是(　　) A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 A　[F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短． 故选A．] 4．(2024·内蒙古包头)如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G，则图中与∠AEF互补的角有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　[∵AB∥CD， ∴∠AEF＋∠CGE＝180°， ∵∠CGE＝∠DGF， ∴∠AEF＋∠DGF＝180°， 又∠AEF＋∠BEG＝180°， ∴图中与∠AEF互补的角有∠CGE，∠DGF，∠BEG，共3个． 故选C．] 5．(2024·广东)如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为(　　) A．120° B．90° C．60° D．30° C　[由题知，∠ACD＝∠ABC＋∠A＝90°， 又∵∠ECD＝30°， ∴∠ACE＝90°－30°＝60°． 故选C．] 6．[情境题](2024·青海)如图，一个弯曲管道AB∥CD，∠ABC＝120°，则∠BCD的度数是(　　) A．120° B．30° C．60° D．150° C　[∵AB∥CD， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°． ∵∠ABC＝120°， ∴∠BCD＝60°． 故选C．] 7．(2024·福建)在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° A　[∵AB∥CD， ∴∠CDB＝60°． ∵CD⊥DE，则∠CDE＝90°， ∴∠1＝180°－∠CDB－∠CDE＝30°， 故选A．] 8．(2024·邹城模拟)如图，点A，O，B在同一条直线上，OC平分∠DOB，已知∠AOE＝30°30′，∠DOC＝64°15′，则∠DOE的度数是(　　) A．72° B．80° C．78° D．82° D　[∵OC平分∠DOB，∠DOC＝64°15′， ∴∠BOD＝2∠DOC＝128°30′． ∵点A，O，B在同一条直线上， ∴∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－128°30′＝51°30′， ∴∠DOE＝∠AOD＋∠AOE＝51°30′＋30°30′＝82°． 故选D．] 9．(2024·江苏无锡)命题“若a＞b，则a－3＜b－3”是________命题．(填“真”或“假”) 假　[∵a＞b ∴a－3＞b－3， ∴若a＞b，则a－3＜b－3是假命题， 故答案为假．] 10．[情境题]如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是________． 两点之间，线段最短　[其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短． 故答案为两点之间，线段最短．] 11．(2024·广西)已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝________． 35°　[∵∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°， ∴∠2＝∠1＝35°．] 12．(9分)[情境题]如图是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM． (1)求证：OE∥DM； (2)若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数． [解]　(1)证明：∵∠BNM＝∠AND，∠AOE＝∠BNM， ∴∠AOE＝∠AND， ∴OE∥DM． (2)∵AB与底座CD都平行于地面EF， ∴AB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝30°． ∵∠AOF＋∠BOD＝180°， ∴∠AOF＝150°． ∵OE平分∠AOF， ∴∠EOF＝∠AOF＝75°， ∴∠BOE＝∠BOD＋∠EOF＝105°． ∵OE∥DM， ∴∠ANM＝∠BOE＝105°． 13．(2024·内蒙古呼伦贝尔)如图，AD∥BC，AB⊥AC，若∠1＝35.8°，则∠B的度数是(　　) A．35°48′ B．55°12′ C．54°12′ D．54°52′ C　[∵AB⊥AC，∠1＝35.8°， ∴∠BAD＝∠BAC＋∠1＝90°＋35.8°＝125.8°． ∵AD∥BC， ∴∠B＋∠BAD＝180°， ∴∠B＝180°－∠BAD＝54.2°＝54°12′， 故选C．] 14．[跨学科](2024·四川南充)如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为(　　) A．80° B．90° C．100° D．120° C　[如图，∵∠1＝∠2＝40°， ∴∠4＝180°－∠1－∠2＝100°． ∵两个平面镜平行放置， ∴经过两次反射后的光线与入射光线平行， ∴∠3＝∠4＝100°， 故选C．] 15．[跨学科](2024·山西)一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为(　　) A．155° B．125° C．115° D．65° C　[如图，∵重力G的方向竖直向下， ∴∠α＋∠1＝90°， ∴∠2＝∠1＝90°－25°＝65°． ∵摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠β＋∠2＝180°， ∴∠β＝180°－∠2＝180°－65°＝115°， 故选C．] 16．(2024·陕西)如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为(　　) A．25° B．35° C．45° D．55° B　[∵AB∥DC， ∴∠B＋∠C＝180°． ∵∠B＝145°， ∴∠C＝180°－∠B＝35°． ∵BC∥DE， ∴∠D＝∠C＝35°． 故选B．] 17．(9分)已知，如图，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON． (1)如图1，若∠MOC＝28°，求∠BON的度数． (2)若∠MOC＝m°，则∠BON的度数为________． (3)由(1)和(2)，我们发现∠MOC和∠BON之间有什么样的数量关系？ (4)若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，试问∠MOC和∠BON之间的数量关系是否发生变化？请说明理由． [解]　(1)∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°， ∴∠NOC＝90°－28°＝62°， 又∵OC平分∠AON， ∴∠AOC＝∠NOC＝62°， ∴∠BON＝180°－2∠NOC＝180°－62°×2＝56°． (2)∵∠MOC＝m°，∠MON＝90°， ∴∠NOC＝90°－m°＝(90－m)°， 又∵OC平分∠AON， ∴∠AOC＝∠NOC＝(90－m)°， ∴∠BON＝180°－2∠NOC＝180°－(90－m)°×2＝2m°， 故答案为2m°． (3)由(1)和(2)可得：∠BON＝2∠MOC． (4)∠MOC和∠BON之间的数量关系不发生变化． ∵OC平分∠AON， ∴∠AOC＝∠NOC， ∵∠MON＝90°， ∴∠AOC＝∠NOC＝90°－∠MOC， ∴∠BON＝180°－2∠NOC＝180°－2(90°－∠MOC)＝2∠MOC， ∴∠BON＝2∠MOC． 18．(12分)【学习新知】射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2． (1)【初步应用】如图2，有两块垂直的平面镜AB，BC，入射光线DO1经过两次反射，得到反射光线O2E，若∠B＝90°，证明：DO1∥O2E； (2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F，已知∠1＝36°，∠B＝120°，若要使EO1∥O3F，则∠C为多少度？ [解]　(1)证明：∵∠B＝90°，∠B＋∠2＋∠3＝180°， ∴∠2＋∠3＝90°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∵∠1＋∠DO1O2＋∠2＝180°，∠3＋∠O1O2E＋∠4＝180°， ∴∠DO1O2＋∠O1O2E＝180°， ∴DO1∥O2E． (2)如图，过点O2作O2M∥O1E， ∵∠1＝∠2＝36°，∠B＝120°， ∴∠3＝180°－36°－120°＝24°， ∴∠4＝∠3＝24°， ∵∠1＝∠2＝36°，∠1＋∠EO1O2＋∠2＝180°， ∴∠EO1O2＝108°， 同理，∠O1O2O3＝132°， ∵O2M∥O1E， ∴∠EO1O2＋∠O1O2M＝180°， ∴∠O1O2M＝72°， ∴∠MO2O3＝∠O1O2O3－∠O1O2M＝60°， ∵O2M∥O1E，EO1∥O3F， ∴O2M∥O3F， ∴∠MO2O3＋∠O2O3F＝180°， ∴∠O2O3F＝120°， ∴∠5＝∠6＝×(180°－∠O2O3F)＝30°， ∴∠C＝180°－∠4－∠5＝126°． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $